26 49 = 13×2 7×7 26 49 18 45 =2×9 5×9 18 45 =2 5

La raison pour laquelle la méthode des différences donne le Plus Grand Diviseur
Commun de deux nombres est : Propriété : si un nombre d divise deux nombres a et b,
(avec a > b), alors ce nombre d divise aussi la différence a – b (et aussi la somme a + b).
Pour présenter les calculs de la méthode des différences au Brevet :
PGCD (378 ; 108) : 378 – 108 = 270
270 – 108 = 162
162 – 108 = 54
108 – 54 = 54
54 – 54 = 0 donc PGCD (270 ; 108) = 54.
b) Algorithme d'Euclide (méthode des divisions)
Propriété : si un nombre d divise deux autre nombres a et b, alors d divise
aussi le reste r de la division euclidienne de a par b :
a=b×q+r
.
Méthode des divisions pour trouver le PGCD de a et b, (avec a > b) :
•on fait la division euclidienne a par b :
a=b×q+r
;
•on divise ensuite le diviseur b et le reste r ;
•on recommence l'étape précédente jusqu'à obtenir un reste nul ;
•le PGCD de a et b est le dernier reste non nul.
Exemple : trouve le PGCD de 224 et de 20 par la méthode des divisions successives :
224 = 80 x 2 + 64 (avec 64 < 80) ;
80 = 64 x 1 + 16 (avec 16 < 64) ;
64 = 16 x 4 + 0 (avec 0 < 16) donc le PGCD de 224 et de 80 est 16.
c) Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
Définition : on dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque
leur PGCD est égal à 1.
Définition : on dit qu'un nombre entier est premier s'il a exactement deux
diviseurs : 1 et lui-même.
Les nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; …
Définition : on dit qu'une fraction est irréductible lorsque son numérateur et
son dénominateur sont premiers entre eux.
Exemple : *
26
49
=13×2
7×7
donc 26 et 49 n'ont pas de diviseur commun, donc
26 et 49 sont premiers entre eux donc
26
49
est une fraction irréductible.
*
18
45
=2×9
5×9
: le PGCD de 18 et de 45 est 9, donc on peut simplifier :
18
45
=2
5
.