ENONCE : Partie A : Une urne contient 10 boules

ENONCE : Partie A : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 boules numérotées 0, 3 boules
numérotées 1 et une boule numérotée 2 . On tire successivement et sans remise 2 boules de cette urne. On considère les
événements A : « les deux boules portent le même numéro » , B : « la première boule porte le numéro 0 » et C : « la
somme des numéros égale 2 ».
a) Déterminer les probabilités P(A), P(B) et P(C).
b) On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres des deux boules. Déterminer la loi de probabilité
de X et préciser son espérance mathématique.
Partie B : a) On lance un dé cubique équilibré un grand nombre de fois. On note P( n ) la probabilité que le 6
apparaisse pour la première fois au n-ième lancer. Calculer P( 1 ) et P( 2 ).
Montrer que la suite (P( n )) définie pour n entier supérieur ou égal à 1 est une suite géométrique dont on précisera la
raison.
b) Cette fois-ci, on lance n fois le dé et on désigne par X le nombre de fois où le 6 apparaît. Déterminer la loi de
probabilité de la variable aléatoire X et préciser son espérance mathématique.
CORRIGE : Partie A : Les tirages sont des tirages successifs sans remise, donc il s’agit de 2-listes à éléments
distincts ; P(A) = P(« obtenir deux boules numérotées 0 » ou « obtenir deux boules numérotées 1 ») =
6! 3!
4! 1!
10! 10!
8! 8!
30 6 2
90 90 5
+ = + =
. P(B) =
6
10
. P(C) = P(« obtenir deux boules numérotées 1 » ou « obtenir une boule numérotée 0
et la boule numérotée 2 ») =
3! 6!
2
1! 5!
10! 10!
8! 8!
6 12 1
90 90 5
×
+ = + =
.
La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 et 3. On a P(X = 0) = P(« obtenir deux boules numérotées 0 ») =
30 1
90 3
=
; P(X = 1) = P(« obtenir une boule 0 et une boule 1 ») =
36 2
90 5
=
; P(X = 2) = P(C) =
1
5
; et P(X = 3) =
6 1
90 15
=
. Son espérance mathématique est E(X) =
1 2 1 1
0123 1
3 5 5 15
× + × + × + × =
.
Partie B : a) Le lancer d’un dé est une épreuve de Bernouilli ; avec n lancers, il s’agit d’un schéma de Bernouilli de
paramètres n et 1/6. P(1) est la probabilité d’obtenir le 6 au premier lancer est 1/6 ; P(2) est la probabilité d’obtenir le 6
au deuxième lancer, soit
5 1 5
6 6 36
× =
; et la probabilité d’obtenir le 6 au n-ième lancer est P(n) =
1
5 1
6 6
n
−
×
; c’est une
suite géométrique de raison 5/6 et de premier terme 1/6.
b) La loi de probabilité de la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres n et 1/6 ; d’où
1 5
6 6
k n k
n
k
p( X k )
−
= =
. L’espérance mathématique de X est égale au produit des paramètres =
6
n
.