Chapitre 5 : Fonction exponentielle I. Etude de la fonction exponentielle : Définition : • La fonction exponentielle associe à tout nombre 𝑥 le nombre 𝑒 𝑥 . Elle est définie sur R et donne toujours une valeur positive. Elle se note 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 • Grace à la calculatrice donner les nombres suivants : 𝑒 −2 =……… • 𝑥 𝑒 −1 = ……. 𝑒 0 = …….. 𝑒1 = ……. . 𝑒 2 = ……. 𝑒 3 =……… Compléter le tableau de valeurs -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 𝑓(𝑥) • Représentation graphique de 𝑓 Compléter les phrases suivantes : • La courbe représentative de la fonction 𝑓 est situé au ……………… de l’axe des abscisses donc pour tout réel, 𝑒 𝑥 est toujours……………… . On écrit 𝑒 𝑥 ……..0. cours exponentielle Page 1 Propriétés Pour tout nombres réels x et y et pour tout entier naturel n, on peut écrire : 𝑒 𝑥 × 𝑒 𝑦 = ………………. (𝑒 𝑥 )𝑛 = ……………… 𝑒 −𝑥 = ………………… ex ey = ………………… Exemple 1 : Simplifier les expressions suivantes 𝒆𝟐𝒙 × 𝒆𝟑𝒙 = …………………………………………………………………………………………………… (𝒆−𝒙 )𝟑 × 𝒆𝟓𝒙 = ……………………………………………………………………………………………... 𝒆𝟒𝒙 𝒆𝟐𝒙 × (𝒆𝟐𝒙 )𝟑 = …………………………………………………………………………………………….. Equation et Inéquation : Soit a et b deux nombres réels, on a toujours les relations ci-dessous : 𝒆𝒂 = 𝒆𝒃 est équivalente à ……………………………………………………………… 𝒆𝒂 < 𝒆𝒃 est équivalente à ……………………………………………………………… 𝒆𝒂 > 𝒆𝒃 est équivalente à ……………………………………………………………… Exemple 2 : Résoudre les équations et inéquations ci-dessous : 1) 𝒆𝟑𝒙+𝟐 = 𝒆𝒙−𝟔 ……………………………………………………………………………………… 2) 𝒆𝟓(𝒙+𝟑) = 𝒆−𝟐(𝟐𝒙+𝟔) ………………………………………………………………………………….. 3) 𝒆𝟑𝒙+𝟑 = 0 4) 𝒆𝟓𝒙 −𝟖 > 𝒆𝟑𝒙 −𝟒 ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….. 5) 𝒆𝟓(𝟐𝒙 −𝟐) < 𝒆𝟏𝟓𝒙 −𝟑𝟎 ………………………………………………………………………………..…………………………………………………… ………………………… Exemple 3 : Résoudre l’équation ci-dessous : 𝒆𝟐𝒙 + 5 𝒆𝒙 = - 6 ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………. cours exponentielle Page 2 Fonction dérivée : Pour tout nombre réel 𝒙 la fonction 𝒆𝒙 est définie et dérivable, sa dérivée est ………………………… Exemple 4 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous : 𝒇(𝒙) = 2 𝒙 3 + 3 𝒙 2 + 3 𝒆𝒙 ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 𝒈(𝒙) = - 4 𝒙 2 + 10 - 2 𝒆𝒙 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 𝒉(𝒙) = - 2 𝒙 3 + 10 𝒙 2 - 7 𝒆𝒙 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… II. Fonction 𝒆𝒂𝒙 Soit une fonction 𝒇 définie par 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒂𝒙 , avec 𝒂 un nombre réel connu. Ce type de fonction est définie et dérivable sur R et sa dérivée est :……………………………… a) Sens de variation : Si 𝒂 > 0, alors ………………………………………………………………………………………… Si 𝒂 < 0, alors ………………………………………………………………………………………… Exemple 5 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous : 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝒆𝟑𝒙 ……………………………………………………………………………………………………………………….……… ………………………………………………………………………………………… 𝒈(𝒙) = − 4 𝒙𝟐 + 10 − 2 𝒆𝟑𝒙 ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Application : Dans un refroidisseur, la température du lait est fonction du temps. Elle peut être modélisée par la fonction 𝒇 définie sur l’intervalle [0 ; 30] par 𝒇(𝒙) = 25 x 𝒆−𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟔𝒙 où 𝒙 représente le temps en secondes et 𝒇(𝒙) la température en degrés Celsius. a) Calculer la température du lait au bout de 30 secondes. Arrondir le résultat à une décimale. ……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….… b) Déterminer et interpréter 𝑓(𝟎) . ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… cours exponentielle Page 3 c) Calculer la dérivée de la fonction 𝒇 puis donner son signe sur l’intervalle [0 ; 30] ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….……………………… d) Compléter le tableau de variation de la fonction (𝒙) . 𝒙 𝒇′(𝒙) 𝒇 e) Avec votre calculatrice, tracer la courbe de la fonction (𝒙) . f) 𝒙 Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : 0 1 5 10 17 23 25 27 30 𝒇(𝒙) g) Résoudre l’équation 𝒇(𝒙) = 23. (Méthode laissée à votre choix) ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………..…………………………… h) Interpréter le résultat obtenu à la question précédente. ……………………………………………..………………………………………………………………….. ……………………………………………………….……………………………………………………….. cours exponentielle Page 4 Fiche d’exercices exponentielle Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes : 𝑒 4𝑥 a.) e 2x x e3x b.) ( e 2x )3 c.) e.) e 10x x e -3x f.) 2 (e x) -5 x (– 4 e 5x) g.) (e x + e4x ) (e x – e4x ) 𝑒 2𝑥 d.) e -x x e x Exercice 2 : Résoudre dans IR les équations suivantes : a.) e 2x + 3 = e x – 1 c.) e x + 1 – e 2x – 3 = 0 b.) e x ( x + 3 ) = e – x – 4 d.) e x – 1 x e 3x + 5 = 1 Exercice 3 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous : a.) f(x) = 1 + e x b.) g(x) = 5x - 10 – e x c.) h(x) = 3x 2 + e x – 10 d.) f(x) = 5x 3 – 7x + 3 e x Exercice 4 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous : a.) f(x) = – 4x 3 + 5x – 10 – 3 e x b.) h(x) = – 5x 2 + 7 e x + 12 c.) f(x) = (7x – e x ) (2x + e x ) d.) f(x) = √( 12 𝑥 + 𝑒 𝑥 ) Exercice 5 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous : a.) f(x) = x 3 – x 2 – e 2x b.) g(x) = – 4x 3 c.) h(x) = – 10x 2 + 7 e 2x d.) f(x) = 5x 2 – 7x cours exponentielle – 10 + e -3x – 3 – 3 e – 5x Page 5 Exercice 6 : Type Bac L’auto –entreprise Tailleboit teste durant 8 jours un nouveau désherbant bio sur des plantes indésirables d’environ 15 cm de hauteur. La plante traitée fane et sa taille diminue avec le temps. Son pouvoir d’action est tel que l’évolution de la taille f ( en entimètre) des plantes indésirables traitées en fonction du temps x (exprimé en jour) est modéliée par la fonction f définie sur l’intervalle I = [ 0 ; 8 ] par : f (x) =18 e -0,22 x – 3 . (les résultats seront arrondis à 10-2 près.) 1. a.) Calculer f (4,5). b.) Interpréter ce résultat. 2.) Montrer que sur l’intervalle I = [0 ; 8 ] la fonction dérivée de f est : f ’ (x) = - 3,96 e-0,22x . 3.) En déduire que la fonction f est décroissante sur l’intervalle I = [0 ; 8]. 4.) Tracer son tableau de variation. 5.) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 6.) Tracer sur le cahier la courbe de la fonction f sur l’intervalle I = [ 0 ; 8 ] . 7.) Retrouver graphiquement l’image de 4,5 par la fonction f . 8.) Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 5 . cours exponentielle Page 6
