Fonction exponentielle : Cours et exercices

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Chapitre 5 : Fonction exponentielle
I. Etude de la fonction exponentielle :
Définition :
• La fonction exponentielle associe à tout nombre le nombre .
Elle est définie sur R et donne toujours une valeur positive.
Elle se note
• Grace à la calculatrice donner les nombres suivants :
=……… = ……. = …….. = ……. . = ……. =………
• Compléter le tableau de valeurs
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
• Représentation graphique de
Compléter les phrases suivantes :
• La courbe représentative de la fonction est situé au ……………… de l’axe des abscisses
donc pour tout réel, est toujours……………… . On écrit ……..0.

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Propriétés
Pour tout nombres réels x et y et pour tout entier naturel n, on peut écrire :
 = ……………….
= ………………
 = …………………
=
…………………
Exemple 1 : Simplifier les expressions suivantes
 = ……………………………………………………………………………………………………
 = ……………………………………………………………………………………………...
 = ……………………………………………………………………………………………..
Equation et Inéquation :
Soit a et b deux nombres réels, on a toujours les relations ci-dessous :
 =  est équivalente à ………………………………………………………………
 <  est équivalente à ………………………………………………………………
 >  est équivalente à ………………………………………………………………
Exemple 2 : Résoudre les équations et inéquations ci-dessous :
1)
 =  ………………………………………………………………………………………
2)
 =  …………………………………………………………………………………..
3)
 = 0 …………………………………………………………………………………………
4)
 >  ……………………………………………………………………………………..
5)
 <
………………………………………………………………………………..……………………………………………………
…………………………
Exemple 3 : Résoudre l’équation ci-dessous :
 + 5  = - 6
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….

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Fonction dérivée :
Pour tout nombre réel la fonction
 est définie et dérivable, sa dérivée est …………………………
Exemple 4 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
2
3
+ 3
2
+ 3
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
- 4
2
+ 10 - 2
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
- 2
3
+ 10
2
- 7
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
II. Fonction
Soit une fonction définie par
, avec
un nombre réel connu.
Ce type de fonction est définie et dérivable sur R et sa dérivée est :………………………………
a) Sens de variation :
Si > 0, alors …………………………………………………………………………………………
Si < 0, alors …………………………………………………………………………………………
Exemple 5 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
……………………………………………………………………………………………………………………….………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Application :
Dans un refroidisseur, la température du lait est fonction du temps. Elle peut être modélisée par la fonction
définie sur l’intervalle [0 ; 30] par 25 x où représente le temps en secondes et
la température en degrés Celsius.
a) Calculer la température du lait au bout de 30 secondes. Arrondir le résultat à une décimale.
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………….…
b) Déterminer et interpréter .
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

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c) Calculer la dérivée de la fonction puis donner son signe sur l’intervalle [0 ; 30]
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………
d) Compléter le tableau de variation de la fonction .
e) Avec votre calculatrice, tracer la courbe de la fonction .
f) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
0
1
5
10
17
23
25
27
30
g) Résoudre l’équation = 23. (Méthode laissée à votre choix)
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..……………………………
h) Interpréter le résultat obtenu à la question précédente.
……………………………………………..…………………………………………………………………..
……………………………………………………….………………………………………………………..

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Fiche d’exercices exponentielle
Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes :
a.) e 2x x e3x b.) ( e 2x )3 c.) d.) e -x x e x
e.) e 10x x e -3x f.) 2 (e x) -5 x (– 4 e 5x) g.) (e x + e4x ) (e x – e4x )
Exercice 2 : Résoudre dans IR les équations suivantes :
a.) e 2x + 3 = e x – 1 b.) e x ( x + 3 ) = e – x – 4
c.) e x + 1 – e 2x – 3 = 0 d.) e x – 1 x e 3x + 5 = 1
Exercice 3 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
a.) f(x) = 1 + e x b.) g(x) = 5x - 10 – e x
c.) h(x) = 3x 2 + e x – 10 d.) f(x) = 5x 3 – 7x + 3 e x
Exercice 4 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
a.) f(x) = – 4x 3 + 5x – 10 – 3 e x b.) h(x) = – 5x 2 + 7 e x + 12
c.) f(x) = (7x – e x ) (2x + e x ) d.) f(x) =
Exercice 5 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
a.) f(x) = x 3 – x 2 – e 2x b.) g(x) = – 4x 3 – 10 + e -3x
c.) h(x) = – 10x 2 + 7 e 2x d.) f(x) = 5x 2 – 7x – 3 – 3 e – 5x