Cours fonction expo

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Chapitre 5 : Fonction exponentielle
I. Etude de la fonction exponentielle :
Définition :
La fonction exponentielle associe à tout nombre
le nombre
.
Elle est définie sur R et donne toujours une valeur positive.
Elle se note
  
Grace à la calculatrice donner les nombres suivants :

=………


= …….
= ……..

= ……. .


= …….

=………
Compléter le tableau de valeurs
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6

Représentation graphique de
Compléter les phrases suivantes :
La courbe représentative de la fonction

est situé au ……………… de l’axe des abscisses
donc pour tout réel,
est toujours……………… . On écrit
……..0.
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Propriétés
Pour tout nombres réels x et y et pour tout entier naturel n, on peut écrire :
= ……………….

= ………………
 = …………………
=
…………………
Exemple 1 :
Simplifier les expressions suivantes

 
 = ……………………………………………………………………………………………………


 = ……………………………………………………………………………………………...


 

= ……………………………………………………………………………………………..
Equation et Inéquation :
Soit a et b deux nombres réels, on a toujours les relations ci-dessous :
=
est équivalente à ………………………………………………………………
<
est équivalente à …………………………………………………
>
est équivalente à ………………………………………………………………
Exemple 2 : soudre les équations et inéquations ci-dessous :
1)
 =
 ……………………………………………………………………………………
2)
 =
 …………………………………………………………………………………..
3)
 = 0 ………………………………………………
4)
 >
 ……………………………………………………………………………………..
5)
 <

………………………………………………………………………………..…………………………………………………
………………
Exemple 3 : soudre l’équation ci-dessous :
 + 5
 = - 6
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
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Fonction dérivée :
Pour tout nombre réel
la fonction
est définie et dérivable, sa dérivée est …………………………
Exemple 4 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :

2
3
+ 3
2
+ 3
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

- 4
2
+ 10 - 2
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 2
3
+ 10
2
- 7
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
II. Fonction

Soit une fonction
définie par
, avec
un nombre réel connu.
Ce type de fonction est définie et dérivable sur R et sa dérivée est :………………………………
a)
Sens de variation :
Si
> 0, alors ………………………………………………………………………………………
Si
< 0, alors ……………………………………………………………………………………
Exemple 5 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
 
 

……………………………………………………………………………………………………………………….………
…………………………………………………………………………………………


  

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Application :
Dans un refroidisseur, la température du lait est fonction du temps. Elle peut être modélisée par la fonction
définie sur l’intervalle [0 ; 30] par
25 x

représente le temps en secondes et
la température en degrés Celsius.
a)
Calculer la température du lait au bout de 30 secondes. Arrondir le sultat à une décimale.
………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………….
b)
Déterminer et interpréter
.
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
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c)
Calculer la dérivée de la fonction
puis donner son signe sur l’intervalle [0 ; 30]
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………
d)
Compléter le tableau de variation de la fonction

.
e)
Avec votre calculatrice, tracer la courbe de la fonction

.
f)
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
0
1
5
10
17
23
25
27
30

g)
Résoudre l’équation
= 23. (Méthode laissée à votre choix)
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..……………………………
h)
Interpréter le sultat obtenu à la question précédente.
……………………………………………..…………………………………………………………………..
……………………………………………………….………………………………………………………..
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Fiche d’exercices exponentielle
Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes :
a.) e 2x x e3x b.) ( e 2x )3 c.)


d.) e -x x e x
e.) e 10x x e -3x f.) 2 (e x) -5 x ( 4 e 5x) g.) (e x + e4x ) (e x e4x )
Exercice 2 : Résoudre dans IR les équations suivantes :
a.) e 2x + 3 = e x 1 b.) e x ( x + 3 ) = e x 4
c.) e x + 1 e 2x 3 = 0 d.) e x 1 x e 3x + 5 = 1
Exercice 3 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
a.) f(x) = 1 + e x b.) g(x) = 5x - 10 e x
c.) h(x) = 3x 2 + e x 10 d.) f(x) = 5x 3 7x + 3 e x
Exercice 4 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
a.) f(x) = 4x 3 + 5x 10 3 e x b.) h(x) = 5x 2 + 7 e x + 12
c.) f(x) = (7x e x ) (2x + e x ) d.) f(x) =
  


Exercice 5 : Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous :
a.) f(x) = x 3 x 2 e 2x b.) g(x) = 4x 3 10 + e -3x
c.) h(x) = 10x 2 + 7 e 2x d.) f(x) = 5x 2 7x 3 3 e 5x
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