Logique et raisonnements

Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2015/2016
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Fondements 1 – Logique et raisonnements
Exercice 1 – Soit R,Set Tdes propositions. Montrer à l’aide de tables de vérité, puis par un raisonnement déductif,
que les propositions suivantes sont vraies :
1. R=⇒(S=⇒R).
2. (R=⇒S) =⇒((S=⇒T) =⇒(R=⇒T)).
3. (R∨S)⇐⇒ ((R=⇒S) =⇒S).
4. (R=⇒(S∨T)) ⇐⇒ (S∨ ¬R∨T).
5. (R=⇒S) =⇒((R∧T) =⇒(S∧T)).
6. (R⇐⇒ S) =⇒((T=⇒R)⇐⇒ (T=⇒S)) .
Exercice 2 –
Nier formellement les propositions suivantes.
1. ∀x∈A, ∃y∈B, (P(y) =⇒Q(x, y)) ;
2. ∀x∈A, ((∃y∈B, P (y)) =⇒Q(x, y)) ;
3. (A=⇒(∀x, B(x))) ⇐⇒ (∀y, C(y)) ;
4. A=⇒((∀x, B(x)) ⇐⇒ (∀y, C(y))) ;
5. A=⇒(∀x, (B(x)⇐⇒ (∀y, C(y)))).
Exercice 3 –Négations logiques
Nier formellement les propositions suivantes :
1. ((A∨B) =⇒C) =⇒(D∧E);
2. (A=⇒B)⇐⇒ (A=⇒ ¬C);
3. ∀x∈E, ∃y∈E, A(x, y)∨B(x);
4. (∃x∈E, A(x)) =⇒(∀x∈E, A(x)) ;
5. ∃x∈E, A ⇐⇒ (∃y∈E, A(x, y)∧B(y)) ;
6. ∃!x, A(x).
Exercice 4 – Nier les propositions suivantes :
1. ∀x∈A, ∃y∈B, (x∈Cet (x, y)∈D)ou x6∈ C.
2. ∀x, ∃y, ((x, y)∈A=⇒x∈B).
3. ∀x, ((∃y, (x, y)∈A) =⇒x∈B).
4. (Aet (B=⇒C)) ⇐⇒ (B=⇒(A⇐⇒ C)).
Quelle différence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3 ?
Exercice 5 – Donner la contraposée des expressions suivantes :
1. (Aet (Bou C)) =⇒(Bou (Aet C)).
2. (∃!x, (x∈Aet x∈B)) =⇒(∀y, ∃!x, (x∈Aet (y−x)∈B)).
Exercice 6 – Soient nun entier strictement positif, et pn, s’il existe, le n-ième nombre premier.
1. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers (considérer p1p2···pn+ 1)
2. Montrer que pour tout entier nstrictement positif, pn622n−1.
Exercice 7 – Soient aet n>2deux entiers. Montrer les assertions suivantes.
1

1. Si an−1est premier, alors a= 2 et nest premier.
2. Si an+ 1 est premier, où a>2, alors nest pair.
3. Si an+ 1 est premier, où a>2, alors aest pair et nest une puissance de 2.
Exercice 8 – Soit pun nombre premier. Montrer que √pest irrationnel. Généraliser à √n, pour nentier quelconque,
lorsque nn’est pas un carré parfait.
Exercice 9 – Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn+1 des points de l’intervalle [0,1]. Montrer qu’il existe (i, j)∈[[1, n + 1]]2tel
que i6=jet |xi−xj|61
n.
Exercice 10 –(Autour des triplets pythagoriciens)
Soit (a, b, c)un triplet pythagoricien, c’est à dire un élément de (N∗)3tel que a2+b2=c2. On suppose que a,bet cn’ont
pas de diviseur commun. Montrer que cest impair.
Exercice 11 –(Rallye mathématique d’Alsace 2012)
Dans un plan sont placés 66 points distincts. On trace toutes les droites déterminées par deux de ces points et on en
compte 2012 distinctes. Justifier que parmi ces 66 points, 4 au moins sont alignés.
Exercice 12 – Deux joueurs s’affrontent de la manière suivante : au début du jeu, ils disposent 100 allumettes sur la
table. Ils jouent chacun à leur tour. À chaque étape, le joueur qui joue enlève au choix de 1 à 7 allumettes. Le joueur qui
retire la dernière allumette gagne.
1. Montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante, et décrire cette stratégie.
2. Généraliser à un nombre nquelconque d’allumettes, les joueurs pouvant enlever de 1àkallumettes à chaque tour
((k, n)∈(N∗)2).
Exercice 13 –
1. Trouver les solutions de l’équation px(x−3) = √3x−5.
2. De même avec l’équation (xx)x=xxx
Exercice 14 –
1. Montrer que toute fonction continue f: [0,1] −→ Rs’écrit sous la forme f=g+coù Z1
0
g(t) dt= 0 et c∈R.
Cette décomposition est-elle unique ?
2. Montrer que toute fonction continue f: [0,1] −→ Rs’écrit sous la forme f=g+h, où h:x7→ ax+best une fonction
polynomiale de degré au plus 1, et où pour toute fonction polynomiale Pde degré au plus 1,Z1
0
P(t)g(t) dt= 0.
Cette décomposition est-elle unique ? Si oui, exprimer g,aet ben fonction de f.
Exercice 15 – Soit, pour tout x∈R\ {−1,1,2,5},f(x) = 1
(x+ 1)(x−1)(x−2)(x−5).
En évaluant (x+ 1)f(x)en un réel bien choisi, montrer qu’il existe des réels uniques a,b,cet dque l’on déterminera, tels
que :
∀x∈R\ {−1,1,2,5}, f (x) = a
x+ 1 +b x−1+c x−2+d x−5.
Exercice 16 – Soit X= (x1,...,xn)un vecteur de Rntel que x1+···+xn6= 0. et soit Hle sous-ensemble de Rndéfini
par :
H={Y= (y1,...,yn)∈Rn|y1+···+yn= 0.}
Montrer que tout vecteur Zde Rnse décompose sous la forme Z=λX +Y, où λ∈Ret Y∈H. Justifier que cette
décomposition est unique.
2

Exercice 17 –(d’après Rallye mathématique d’Alsace 2012)
1. Mon code secret de téléphone portable est composé de quatre chiffres différents et tous non nuls. Quand j’effectue
la somme de tous les nombres possibles que je peux former avec deux de ces quatre chiffres (dans un sens ou dans
un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code ?
2. Oups, je m’étais trompé, il faut encore multiplier le résultat par 7pour trouver mon code. Quel est mon code ?
Exercice 18 – Montrer que pour tout entier npositif, n4n+1 −(n+ 1)4n+ 1 est divisible par 9.
Exercice 19 – Pour i1,...,in>0tels que i1+···+in=k, on note k
i1,...,in=k!
i1!···in!. Par convention, k
i1,...,in
est nul dans les autres cas. Montrer la formule du multinôme :
∀n∈N,∀(x1,...,xn)∈Rn,∀k∈N,(x1+···+xn)k=X
(i1,...,in)∈Nn
tq i1+···+in=k
k
i1,...,inxi1
1···xin
n.
Exercice 20 – Montrer que : ∀n∈N∗,2n
3+1 3√n6
n
X
k=1
√k62n
3+1 2√n.
En déduire la limite quand ntend vers l’infini de la suite (un)n∈N∗définie pour tout n∈N∗par :
un=1
n√n
n
X
k=1
√k.
Exercice 21 –(Suite harmonique)
Soit Hnla suite harmonique, définie par : H0= 0,et ∀n∈N∗, Hn=
n
X
k=1
1
k.
On rappelle que par convention, n
pest nul si p > n. Montrer que :
1. ∀(m, n)∈N2,
n
X
k=1 k
mHk=n+ 1
m+ 1Hn+1 −1
m+ 1 ,
2. ∀n∈N∗,
n
X
k=1
Hk= (n+ 1)Hn−n,
3. ∀n∈N∗,
n
X
k=1
H2
k= (n+ 1)H2 n−(2n+ 1)Hn+ 2n.
Exercice 22 –(Multiplication par la méthode dite « du paysan russe »)
On propose l’algorithme suivant. Soient met ndeux entiers. Sur une première ligne, on écrit côte à côte met n. Sur la
ligne suivante, on écrit le quotient de la division euclidienne de mpar 2(on oublie donc les décimales) sous la valeur de m,
et on écrit 2nsous la valeur de n. On continue ainsi : dans la première colonne, on passe d’une ligne à l’autre en divisant
par 2, dans la deuxième colonne, on multiplie par 2. On s’arrête lorsqu’on a obtenu 1 dans la première colonne. On barre
ensuite toutes les lignes pour lesquelles le nombre situé dans la première colonne est pair. On fait enfin la somme des
nombres situés dans la deuxième colonne et non barrés. On note ϕ(m, n)l’entier obtenu. Montrer que ϕ(m, n) = m·n.
Un exemple de mise en application de cet algorithme pour calculer 11 ·17 (les lignes à barrer sont en gris)
11 17
5 34
2 68
1 136
187
3

Exercice 23 –(Explicitation des suites récurrentes doubles)
Soit (un)n∈Nune suite donnée par ses deux termes initiaux u0et u1, et la relation de récurrence suivante : ∀n∈N,
un+2 =aun+1 +bun, où aet bsont deux réels fixés.
1. On suppose que l’équation x2−ax −badmet deux racines distinctes ret sdans C.
(a) Montrer que pour tous complexes λet µ, la suite complexe (λrn+µsn)n∈Nvérifie la même relation de récurrence
que (un)n∈N.
(b) Montrer qu’il existe un et un seul couple (λ, µ)de nombres complexes tels que λ+µ=u0et λr +µs =u1.
Montrer qu’alors, pour tout n>0,un=λrn+µsn.
(c) Soit (un)n∈Ndéfinie par u0= 2,u1= 3 et ∀n>0, un+2 = 3un+1 −2un. Expliciter, pour tout n∈N,unen
fonction de n.
(d) Même question avec u0= 0,u1= 1, et ∀n∈N, un+2 =un+1 +un(suite de Fibonacci).
(e) Même question avec u0= 1,u1= 1, et ∀n∈N, un+2 = 2un+1 −2un.
2. On suppose que l’équation x2−ax −badmet une racine double r6= 0.
(a) Montrer qu’il existe d’uniques réels λet µtels que pour tout n>0,un= (λ+µn)rn.
(b) Soit (un)n∈Ndéfinie par u0= 2,u1= 3 et ∀n∈N, un+2 = 2un+1 −un. Expliciter, pour tout n∈N,unen
fonction de n.
(c) Même question avec u0= 1,u1= 4 et ∀n∈N,un+2 = 4un+1 −4un.
Exercice 24 – Soit n∈N∗. Soit Aun sous ensemble de [[1,2n]] contenant n+ 1 éléments. Montrer qu’il existe (p, q)∈A2
tels que p6=qet pdivise q.
Exercice 25 –(Tours de Hanoï)
Le casse-tête des tours de Hanoï consiste à déplacer une tour constituée d’un emplilement de ndisques de plus en plus
petits d’un emplacement à un autre, en respectant les règles suivantes :
•On dispose de 3 emplacements ;
•On déplace un et un seul disque à chaque étape, pris au sommet d’une des 3 piles, pour la placer au sommet d’une
autre pile
•On ne peut placer un disque que sur un disque plus grand.
•Initialement, tous les disques sont sur l’emplacement 1 (empilés en rayon décroissant), le but étant de les déplacer
dans le même ordre sur l’emplacement 2.
En raisonnant par récurrence, montrer que le casse-tête des tours de Hanoï possède une solution. Déterminer le nombre
minimal de déplacements à effectuer.
Exercice 26 –
Jean attribue à chaque nombre entier strictement positif une couleur, soit bleue, soit rouge. Pour cela, il suit la règle
suivante : si trois nombres (distincts ou non) ont la même couleur, leur somme a également cette couleur. On sait que la
couleur rouge a été attribuée au nombre 58 et que la couleur bleue a été attribuée de nombreuses fois. Quelle couleur a
été attribuée au nombre 40 ? Et au nombre 2013 ?
Exercice 27 –(Fonction 91 de MacCarthy) Soit fune fonction définie sur Zet vérifiant :
∀n∈Z, f(n) = 
n−10 si n > 100
f(f(n+ 11)) si n6100.
1. Calculer f(101),f(95),f(91),f(0). Qu’observez-vous ?
2. Prouver l’identité obtenue pour f(n), pour tout n6101.
Exercice 28 –(Rallye mathématique d’Alsace 2010)
On considère l’entier naturel ayant 32010 chiffres tous égaux à 1. Montrer qu’il est divisible par 32010 mais pas par 32011.
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