Logique et raisonnements

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2015/2016
Fondements 1 – Logique et raisonnements
Exercice 1 – Soit R, S et T des propositions. Montrer à l’aide de tables de vérité, puis par un raisonnement déductif,
que les propositions suivantes sont vraies :
1. R =⇒ (S =⇒ R).
4. (R =⇒ (S ∨ T )) ⇐⇒ (S ∨ ¬R ∨ T ).
2. (R =⇒ S) =⇒ ((S =⇒ T ) =⇒ (R =⇒ T )).
5. (R =⇒ S) =⇒ ((R ∧ T ) =⇒ (S ∧ T )).
3. (R ∨ S) ⇐⇒ ((R =⇒ S) =⇒ S).
6. (R ⇐⇒ S) =⇒ ((T =⇒ R) ⇐⇒ (T =⇒ S)) .
Exercice 2 –
Nier formellement les propositions suivantes.
1. ∀x ∈ A, ∃y ∈ B, (P (y) =⇒ Q(x, y)) ;
2. ∀x ∈ A, ((∃y ∈ B, P (y)) =⇒ Q(x, y)) ;
3. (A =⇒ (∀x, B(x))) ⇐⇒ (∀y, C(y)) ;
4. A =⇒ ((∀x, B(x)) ⇐⇒ (∀y, C(y))) ;
5. A =⇒ (∀x, (B(x) ⇐⇒ (∀y, C(y)))).
Exercice 3 – Négations logiques
Nier formellement les propositions suivantes :
1. ((A ∨ B) =⇒ C) =⇒ (D ∧ E) ;
2. (A =⇒ B) ⇐⇒ (A =⇒ ¬C) ;
3. ∀x ∈ E, ∃y ∈ E, A(x, y) ∨ B(x) ;
4. (∃x ∈ E, A(x)) =⇒ (∀x ∈ E, A(x)) ;
5. ∃x ∈ E, A ⇐⇒ (∃y ∈ E, A(x, y) ∧ B(y)) ;
6. ∃!x, A(x).
Exercice 4 – Nier les propositions suivantes :
1. ∀x ∈ A, ∃y ∈ B, (x ∈ C et (x, y) ∈ D) ou x 6∈ C.
2. ∀x, ∃y, ((x, y) ∈ A =⇒ x ∈ B).
3. ∀x, ((∃y, (x, y) ∈ A) =⇒ x ∈ B).
4. (A et (B =⇒ C)) ⇐⇒ (B =⇒ (A ⇐⇒ C)).
Quelle différence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3 ?
Exercice 5 – Donner la contraposée des expressions suivantes :
1. (A et (B ou C)) =⇒ (B ou (A et C)).
2. (∃!x, (x ∈ A et x ∈ B)) =⇒ (∀y, ∃!x, (x ∈ A et (y − x) ∈ B)).
Exercice 6 – Soient n un entier strictement positif, et pn , s’il existe, le n-ième nombre premier.
1. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers (considérer p1 p2 · · · pn + 1)
2. Montrer que pour tout entier n strictement positif, pn 6 22
n−1
.
Exercice 7 – Soient a et n > 2 deux entiers. Montrer les assertions suivantes.
1
1. Si an − 1 est premier, alors a = 2 et n est premier.
2. Si an + 1 est premier, où a > 2, alors n est pair.
3. Si an + 1 est premier, où a > 2, alors a est pair et n est une puissance de 2.
Exercice 8 – Soit p un nombre premier. Montrer que
lorsque n n’est pas un carré parfait.
√
√
p est irrationnel. Généraliser à n, pour n entier quelconque,
Exercice 9 – Soit n ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xn+1 des points de l’intervalle [0, 1]. Montrer qu’il existe (i, j) ∈ [[1, n + 1]]2 tel
que i 6= j et |xi − xj | 6 n1 .
Exercice 10 – (Autour des triplets pythagoriciens)
Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien, c’est à dire un élément de (N∗ )3 tel que a2 + b2 = c2 . On suppose que a, b et c n’ont
pas de diviseur commun. Montrer que c est impair.
Exercice 11 – (Rallye mathématique d’Alsace 2012)
Dans un plan sont placés 66 points distincts. On trace toutes les droites déterminées par deux de ces points et on en
compte 2012 distinctes. Justifier que parmi ces 66 points, 4 au moins sont alignés.
Exercice 12 – Deux joueurs s’affrontent de la manière suivante : au début du jeu, ils disposent 100 allumettes sur la
table. Ils jouent chacun à leur tour. À chaque étape, le joueur qui joue enlève au choix de 1 à 7 allumettes. Le joueur qui
retire la dernière allumette gagne.
1. Montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante, et décrire cette stratégie.
2. Généraliser à un nombre n quelconque d’allumettes, les joueurs pouvant enlever de 1 à k allumettes à chaque tour
((k, n) ∈ (N∗ )2 ).
Exercice 13 –
1. Trouver les solutions de l’équation
p
√
x(x − 3) = 3x − 5.
2. De même avec l’équation (xx )x = xx
x
Exercice 14 –
1. Montrer que toute fonction continue f : [0, 1] −→ R s’écrit sous la forme f = g + c où
Cette décomposition est-elle unique ?
Z
1
0
g(t) dt = 0 et c ∈ R.
2. Montrer que toute fonction continue f : [0, 1] −→ R s’écrit sous la forme f = g+h, où h : x 7→ ax+b est une fonction
Z 1
P (t)g(t) dt = 0.
polynomiale de degré au plus 1, et où pour toute fonction polynomiale P de degré au plus 1,
Cette décomposition est-elle unique ? Si oui, exprimer g, a et b en fonction de f .
0
1
.
(x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 5)
En évaluant (x + 1)f (x) en un réel bien choisi, montrer qu’il existe des réels uniques a, b, c et d que l’on déterminera, tels
que :
a
b
c
d
∀x ∈ R \ {−1, 1, 2, 5}, f (x) =
+
+
+
.
x+1 x−1 x−2 x−5
Exercice 15 – Soit, pour tout x ∈ R \ {−1, 1, 2, 5}, f (x) =
Exercice 16 – Soit X = (x1 , . . . , xn ) un vecteur de Rn tel que x1 + · · · + xn 6= 0. et soit H le sous-ensemble de Rn défini
par :
H = {Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn | y1 + · · · + yn = 0.}
Montrer que tout vecteur Z de Rn se décompose sous la forme Z = λX + Y , où λ ∈ R et Y ∈ H. Justifier que cette
décomposition est unique.
2
Exercice 17 – (d’après Rallye mathématique d’Alsace 2012)
1. Mon code secret de téléphone portable est composé de quatre chiffres différents et tous non nuls. Quand j’effectue
la somme de tous les nombres possibles que je peux former avec deux de ces quatre chiffres (dans un sens ou dans
un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code ?
2. Oups, je m’étais trompé, il faut encore multiplier le résultat par 7 pour trouver mon code. Quel est mon code ?
Exercice 18 – Montrer que pour tout entier n positif, n4n+1 − (n + 1)4n + 1 est divisible par 9.
k
k!
k
Exercice 19 – Pour i1 , . . . , in > 0 tels que i1 +· · ·+in = k, on note
=
. Par convention,
i1 , . . . , in
i1 ! · · · in !
i1 , . . . , in
est nul dans les autres cas. Montrer la formule du multinôme :
X
k
n
k
xi1 · · · xinn .
∀n ∈ N, ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ R , ∀k ∈ N, (x1 + · · · + xn ) =
i1 , . . . , in 1
n
(i1 ,...,in )∈N
tq i1 +···+in =k
n √
X
2n 1 √
2n 1 √
+
+
n6
k6
n.
3
3
3
2
k=1
En déduire la limite quand n tend vers l’infini de la suite (un )n∈N∗ définie pour tout n ∈ N∗ par :
Exercice 20 – Montrer que : ∀n ∈ N∗ ,
n
1 X√
k.
un = √
n n
k=1
Exercice 21 – (Suite harmonique)
n
X
1
Soit Hn la suite harmonique, définie par : H0 = 0, et ∀n ∈ N∗ , Hn =
.
k
k=1
n
On rappelle que par convention,
est nul si p > n. Montrer que :
p
n X
k
1
n+1
2
,
1. ∀(m, n) ∈ N ,
Hk =
Hn+1 −
m+1
m
m+1
k=1
2. ∀n ∈ N∗ ,
3. ∀n ∈ N∗ ,
n
X
k=1
n
X
k=1
Hk = (n + 1)Hn − n,
Hk2 = (n + 1)Hn2 − (2n + 1)Hn + 2n.
Exercice 22 – (Multiplication par la méthode dite « du paysan russe »)
On propose l’algorithme suivant. Soient m et n deux entiers. Sur une première ligne, on écrit côte à côte m et n. Sur la
ligne suivante, on écrit le quotient de la division euclidienne de m par 2 (on oublie donc les décimales) sous la valeur de m,
et on écrit 2n sous la valeur de n. On continue ainsi : dans la première colonne, on passe d’une ligne à l’autre en divisant
par 2, dans la deuxième colonne, on multiplie par 2. On s’arrête lorsqu’on a obtenu 1 dans la première colonne. On barre
ensuite toutes les lignes pour lesquelles le nombre situé dans la première colonne est pair. On fait enfin la somme des
nombres situés dans la deuxième colonne et non barrés. On note ϕ(m, n) l’entier obtenu. Montrer que ϕ(m, n) = m · n.
Un exemple de mise en application de cet algorithme pour calculer 11 · 17 (les lignes à barrer sont en gris)
11
5
2
1
17
34
68
136
187
3
Exercice 23 – (Explicitation des suites récurrentes doubles)
Soit (un )n∈N une suite donnée par ses deux termes initiaux u0 et u1 , et la relation de récurrence suivante : ∀n ∈ N,
un+2 = aun+1 + bun , où a et b sont deux réels fixés.
1. On suppose que l’équation x2 − ax − b admet deux racines distinctes r et s dans C.
(a) Montrer que pour tous complexes λ et µ, la suite complexe (λrn +µsn )n∈N vérifie la même relation de récurrence
que (un )n∈N .
(b) Montrer qu’il existe un et un seul couple (λ, µ) de nombres complexes tels que λ + µ = u0 et λr + µs = u1 .
Montrer qu’alors, pour tout n > 0, un = λrn + µsn .
(c) Soit (un )n∈N définie par u0 = 2, u1 = 3 et ∀n > 0, un+2 = 3un+1 − 2un . Expliciter, pour tout n ∈ N, un en
fonction de n.
(d) Même question avec u0 = 0, u1 = 1, et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un (suite de Fibonacci).
(e) Même question avec u0 = 1, u1 = 1, et ∀n ∈ N, un+2 = 2un+1 − 2un .
2. On suppose que l’équation x2 − ax − b admet une racine double r 6= 0.
(a) Montrer qu’il existe d’uniques réels λ et µ tels que pour tout n > 0, un = (λ + µn)rn .
(b) Soit (un )n∈N définie par u0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 = 2un+1 − un . Expliciter, pour tout n ∈ N, un en
fonction de n.
(c) Même question avec u0 = 1, u1 = 4 et ∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 4un .
Exercice 24 – Soit n ∈ N∗ . Soit A un sous ensemble de [[1, 2n]] contenant n + 1 éléments. Montrer qu’il existe (p, q) ∈ A2
tels que p 6= q et p divise q.
Exercice 25 – (Tours de Hanoï)
Le casse-tête des tours de Hanoï consiste à déplacer une tour constituée d’un emplilement de n disques de plus en plus
petits d’un emplacement à un autre, en respectant les règles suivantes :
• On dispose de 3 emplacements ;
• On déplace un et un seul disque à chaque étape, pris au sommet d’une des 3 piles, pour la placer au sommet d’une
autre pile
• On ne peut placer un disque que sur un disque plus grand.
• Initialement, tous les disques sont sur l’emplacement 1 (empilés en rayon décroissant), le but étant de les déplacer
dans le même ordre sur l’emplacement 2.
En raisonnant par récurrence, montrer que le casse-tête des tours de Hanoï possède une solution. Déterminer le nombre
minimal de déplacements à effectuer.
Exercice 26 –
Jean attribue à chaque nombre entier strictement positif une couleur, soit bleue, soit rouge. Pour cela, il suit la règle
suivante : si trois nombres (distincts ou non) ont la même couleur, leur somme a également cette couleur. On sait que la
couleur rouge a été attribuée au nombre 58 et que la couleur bleue a été attribuée de nombreuses fois. Quelle couleur a
été attribuée au nombre 40 ? Et au nombre 2013 ?
Exercice 27 – (Fonction 91 de MacCarthy) Soit f une fonction définie sur Z et vérifiant :

n − 10
si n > 100
∀n ∈ Z, f (n) =
f (f (n + 11)) si n 6 100.
1. Calculer f (101), f (95), f (91), f (0). Qu’observez-vous ?
2. Prouver l’identité obtenue pour f (n), pour tout n 6 101.
Exercice 28 – (Rallye mathématique d’Alsace 2010)
On considère l’entier naturel ayant 32010 chiffres tous égaux à 1. Montrer qu’il est divisible par 32010 mais pas par 32011 .
4