Rudiments d`arithmétique dans N

Rudiments d'arithmétique dans
1 Multiples et diviseurs.
1.1
1.2
1.3
1.4
Dénition et propriétés élémentaires.
Division euclidienne. . . . . . . . . .
PGCD. . . . . . . . . . . . . . . . .
PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Nombres premiers.
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2.1 Dénitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Décomposition en produit de facteurs premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
N
1
1
1
2
3
3
3
5
Multiples et diviseurs.
1.1 Dénition et propriétés élémentaires.
Dénition 1.
Soit (a, b) ∈ N2 . On dit que b divise a (ou est un diviseur de a) s'il existe un entier k ∈ N tel que
a = kb. On note b | a. On dit encore que a est un multiple de b si b divise a.
Par exemple, 1, 2, 3, et 6 sont les diviseurs de 6. Notons que 1 divise tout nombre entier. Tous les entiers
sont diviseurs de 0, qui ne divise que lui-même.
Proposition 2.
Soient (a, b, c) ∈ N3 .
1. a | a (réexivité)
2. Si a | b et b | a alors a = b (antisymétrie)
3. Si a | b et b | c, alors a | c (transitivité)
Remarque. La relation | que l'on vient de dénir sur N possède donc des propriétés similaires à la relation
≤ dénie sur R. En un certain sens, elle est aussi une relation d'ordre. Cet ordre est dit partiel car on ne
peut pas toujours comparer deux entiers. Par exemple 3 est "plus petit" que 12 (3 divise 12) mais 9 n'est ni
plus petit que 12, ni plus grand.
1.2 Division euclidienne.
Voici deux divisions de 22 par 4 :
22 = 4 × 4 + 6
22 = 4 × 5 + 2
1
PCSI1
L ycée
Albert
S
chweitzer
Il n'y a rien à redire à la première égalité sinon que l'on peut encore trouver une fois 4 dans le reste 6. La
seconde division est meilleure de ce point de vue : ce sera la division euclidienne de 22 par 4.
Théorème 3.
Soit (a, b) ∈ N × N∗ . Il existe un unique couple (q, r) ∈ N2 tel que
a = bq + r
et
0 ≤ r < b.
Les entiers q et r sont appelés respectivement quotient et reste dans la division euclidienne de
a par b.
Exemple. Faire la division euclidienne de 666999 par 123, en utilisant la méthode apprise en CE2.
1.3 PGCD.
La preuve de l'existence d'un PGCD pour deux entiers a et b repose sur le lemme suivant.
Lemme 4.
Soit (a, b, c, k) ∈ N4 . Supposons a = bk + c. Alors D(a, b) = D(b, c), où D(p, q) est l'ensemble des
diviseurs communs à deux entiers naturels p et q .
Théorème -Dénition 5.
Soient a et b deux entiers naturels. Il existe un unique entier d appelé Plus Grand Commun
Diviseur de a et b satisfaisant
1. d | a et d | b.
2. ∀δ ∈ N (δ | a et δ | b) =⇒ δ | d.
On le notera PGCD(a, b) (la notation a ∧ b est aussi utilisée.)
Remarque. Le PGCD de a et b est le "plus grand", parmi les diviseurs communs de a et b pour la relation
d'ordre ≤ mais aussi (et surtout) pour la relation |.
Ci-dessous, écrit en Python, l'algorithme d'Euclide utilisé dans la preuve.
Algorithme 6 (d'Euclide).
def PGCD(a,b):
while b!=0:
a,b=b,a%b
return a
Remarque. En Python, a%b renvoie le reste dans la division euclidienne de a par b tandis que a//b donne
le quotient.
2
Proposition 7.
Soit (a, b) ∈ N2 et k ∈ N.
PGCD (ka, kb) = k · PGCD(a, b).
Une des conséquences pratiques de la proposition précédente est le fait suivant. Si d = PGCD(a, b), alors
il existe deux entiers a0 et b0 tels que a = da0 et b = db0 . Il peut être pratique de travailler avec a0 et b0 car
leur PGCD vaut 1.
Proposition 8 (Lemme de Gauss).
Soient a, b, c trois entiers.
Si a | bc et PGCD(a, b) = 1 alors a | c.
Remarque. Lorsque PGCD(a, b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
1.4 PPCM
Théorème -Dénition 9.
Soient a et b deux entiers naturels. Il existe un unique entier m appelé Plus Petit Commun
Multiple de a et b satisfaisant
1. a | m et b | m.
2. ∀µ ∈ N (a | µ et b | µ) =⇒ m | µ.
On le note PPCM(a, b) (la notation a ∨ b est aussi utilisée).
Proposition 10.
Pour tous a, b ∈ N,
PGCD(a, b) · PPCM(a, b) = ab.
2
Nombres premiers.
2.1 Dénitions et premières propriétés.
Dénition 11.
Un entier p ∈ N \ {0, 1} est dit premier si ses seuls diviseurs sont 1 et p.
Exemples. 2, 3, 5, 7, 11, 13. . .
3
Proposition 12.
Soit p un nombre premier et a, b deux entiers naturels. Si p divise ab, alors il divise a ou b.
Proposition 13.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.
On peut aner quantitativement le résultat précédent.
Proposition 14.
Pour tout √
entier n non premier (et supérieur à 2), il existe un nombre premier divisant n et
inférieur à n.
Application : crible d'Eratosthène. Un nombre non premier inférieur à 100 a d'après ce qui précède un
diviseur premier inférieur à 10. Ainsi, une fois éliminé de la grille ci-dessous tous les multiples (non triviaux)
de 2, 3, 5 et 7, il ne restera que les entiers premiers inférieurs à 100.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
Théorème 15 (d'Euclide).
Il existe une innité de nombres premiers.
Hors-programme, hors de portée, mais très beau : le théorème des nombres premiers (1896).
Théorème 16 (des nombres premiers, HP).
Soit π(n) le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à n. On a
π(n) ∼
4
n
.
ln(n)
2.2 Décomposition en produit de facteurs premiers.
Le théorème suivant, admis, est une conséquence de la proposition 13
Théorème 17.
Pour tout entier n ≥ 2, il existe un entier m ≥ 1, des nombres premiers p1 , p2 , . . . pm , et des entiers
non nuls v1 , . . . vm tels que
n=
m
Y
pvkk .
k=1
Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
Ce théorème nous permet de décrire les diviseurs d'un entier qu'on a décomposé en facteurs premiers.
Théorème 18.
Soit n ≥ 2. On suppose que la décomposition en facteurs premiers de n est n =
diviseurs de n sont exactement les entiers q de la forme
q=
m
Y
k=1
puk k
avec ∀k ∈ J1, mK 0 ≤ uk ≤ vk .
5
m
Q
k=1
pvkk . Les