DÉVELOPPEMENT 20 GROUPES D`ORDRE pq

D´ EVELOPPEMENT 20
GROUPES D’ORDRE pq
On rappelle que si Het Ksont deux sous-groupes d’un groupe Gv´erifiant HCG,KCG,HK =Get
H∩K={e}alors Gest isomorphe au produit direct H×K.
Lemme. — Si Het Ksont deux sous-groupes d’un groupe Gv´erifiant HCG,H∩K={e}et HK =G
alors Gest isomorphe au produit semi-direct HoαKo`u α:k7→ αkest donn´ee par αk(h) = khk−1.
D´emonstration. — Tout d’abord αest bien une action par automorphismes de Ksur H. Puisque HK =
G, l’application f:H×K→G, (h, k)7→ hk est surjective. Si hk =h0k0alors h0−1h=k0k−1∈H∩K
et l’hypoth`ese H∩K={e}donne donc l’injectivit´e de f. Enfin, on a
f(h, k)f(h0, k0) = hkh0k0=hkh0k−1kk0=hαk(h0)kk0=f(hαk(h0), kk0) = f((h, k)(h0, k0))
i.e. fest bien un morphisme.
Corollaire. — Si Het Ksont deux sous-groupes d’un groupe Gv´erifiant HCG,H∩K={e}et
HK =Galors on a ´equivalence entre
(i)G=HK est le produit direct H×K
(ii)KCG
(iii)hk =kh pour tous h∈Het k∈K
(iv)l’action αest triviale
Proposition. — Soit Gun groupe d’ordre pq o`u p < q sont premiers.
(i)Si q6≡ 1 (mod p)alors G'Z/pqZ.
(ii)Si q≡1 (mod p)alors Ga deux structures possibles (`a isomorphismes pr`es) :
– soit Gest ab´elien et G'Z/pqZ,
– soit Gn’est pas ab´elien et est isomorphe au produit semi-direct Z/qZoθZ/pZo`u θ:Z/pZ→
Aut(Z/qZ)est tel que θ(1) soit d’ordre pdans Aut(Z/qZ).
D´emonstration. — Notons respectivement npet nqles nombres de p-Sylow et de q-Sylow de G; en
particulier, on consid`ere un p-Sylow Ket un q-Sylow H. D’apr`es le th´eor`eme de Sylow, nq≡1 (mod q)
et nqdivise por p < q donc nq= 1 et on a donc HCG.
D’apr`es le th´eor`eme de Lagrange, l’ordre de H∩Kdivise celui de Het celui de Kor ceux-ci sont
premiers ente-eux donc H∩K={e}. Donc HK est un sous-groupe de Gdans lequel Hest distingu´e
et on a HK/H 'K/(H∩K)i.e. HK/H 'Kd’o`u il vient |HK|=|H||K|=pq ; on a donc HK =G.
Il s’ensuit que G'HoθKo`u θ:Z/pZ→Aut(Z/qZ).
Puisque np≡1 (mod p) et npdivise q, on a np= 1 ou q. On distingue ces deux cas.
– Si np= 1 alors KCGet il s’ensuit que le produit semi-direct HoθKest en fait un produit direct
i.e. G'H×Kor H'Z/qZet K'Z/pZavec pet qpremiers entre eux donc G'Z/pqZ.

58 Groupes d’ordre pq
– Si np=qalors q≡1 (mod p)i.e. pdivise q−1. L’image du morphisme θ:Z/pZ→Aut(Z/qZ) est
soit triviale, soit isomorphe `a Z/pZ(puisque pest premier). On distingue ces deux sous-cas.
– Si θest trivial alors le produit semi-direct HoθKest un produit direct et on a comme plus haut
G'Z/pqZ.
– Sinon, notons que le groupe Aut(Z/qZ) est cyclique d’ordre ϕ(q) = q−1 donc, pour tout diviseur
dde q−1, Aut(Z/qZ) admet un unique sous-groupe d’ordre d; en particulier, Aut(Z/qZ) admet
un unique sous-groupe Γ d’ordre p, d’o`u Im θ= Γ. En particulier θest d´etermin´e par le choix
de θ(1). Consid´erons un autre morphisme θ0:Z/pZ→Aut(Z/qZ) alors α=θ0−1◦θest un
automorphisme de Z/pZdonc l’application
f:HoθK→Hoθ0K, (e h, k)7→ (e h, α(k))
est bijective. De plus, on a
f(e h, k)( e h0, k0)=f(e hθ(k)( e h0), kk0) = f(e hθ(k)( e h0), kk0) = (e hθ(k)( e h0), α(kk0))
et
f(e h, k)f(e h0, k0) = (e h, α(k))( e h0, α(k0)) = (e hθ0(α(k))( e h0), α(k)α(k0)) = (e hθ(k)( e h0), α(kk0))
i.e. fest un morphisme. Les deux produits semi-directs sont donc isomorphes.
Exemple. — ` A isomorphisme pr`es, il n’y a que deux groupes d’ordre 2p(o`u p > 2 est premier) :
Z/2pZet le groupe di´edral Dp. En particulier, `a isomorphisme pr`es, il n’y a que deux groupes d’ordre
6 : Z/6Zet D6'S3.
Application. — S5n’a pas de sous-groupe d’ordre 15.
D´emonstration. — Supposons que S5admette un sous-groupe d’ordre 15, comme 15 = 3×5 mais 5 6≡ 1
(mod 3), Hest n´ecessairement ab´elien, cyclique d’ordre 15. Consid´erons un g´en´erateur sde Hque l’on
d´ecompose en un produit s=c1···ckde cycles disjoints. Comme l’ordre de sest le ppcm des ordres des
ci, les cisont d’ordre 3, 5 ou 15 mais S5ne contient pas d’´el´ements d’ordre 15 donc les cisont d’ordre 3
ou 5 et les deux cas doivent se produire pour que le ppcm soit 15. C’est absurde puisqu’il est impossible
de trouver un 3-cycle et un 5-cycle de S5qui soient `a supports disjoints.
Le¸cons concern´ees
04 Sous-groupes distingu´es, groupes quotients. Exemples et applications
05 Groupes finis. Exemples et applications
09 Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
10 Nombres premiers. Applications
R´ef´erence
F. Combes, Alg`ebre et g´eom´etrie, Br´eal, 1998.
S´ebastien Pellerin