Devoir 1 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne
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Université de Picardie Jules Verne Faculté de Mathématiques et d’Informatique Année 2005-2006 Licence mention Mathématiques - Deuxième année - Semestre 4 Probabilités élémentaires Devoir 1 Exercice 1 Soit P une probabilité sur un espace probabilisable , A. Démontrer les résultats suivants : a) Pour tous A, B dans A, PA B ≤ PA PB. n b) Pour tous A 1 , … , A n dans A, avec n ≥ 2, P A i i1 n ≤ ∑ PA i . c) Pour tous A, B dans A, PA ∩ B ≥ PA PB − 1. n d) Pour tous A 1 , … , A n dans A, avec n ≥ 2, P ∩ A i i1 i1 n ≥ ∑ PA i − n − 1. i1 Exercice 2 Une grille de loto est constituée des 49 cases numérotées de 1 à 49. Chaque joueur doit cocher un certain nombre de cases (c’est-à-dire de numéros) sur la grille. Une fois les grilles validées, un tirage au sort télévisé désigne 6 numéros gagnants (dits bons numéros), ainsi qu’un numéro complémentaire. Les gagnants aux trois premiers rangs sont alors déterminés de la façon suivante : un joueur est gagnant au rang s’il a coché 1 6 bons numéros 2 5 bons numéros et le numéro complémentaire 3 5 bons numéros 1) Un joueur a validé une grille simple, c’est-à-dire une grille sur laquelle il a coché 6 numéros. a) Proposer un espace probabilisé , A, P adapté. b) Quelle est la probabilité que le joueur soit gagnant au rang 1 ? au rang 2 ? au rang 3 ? c) Quelle est la probabilité que le joueur n’ait aucun bon numéro dans sa grille ? 2) Un joueur a validé une grille multiple, c’est-à-dire une grille sur laquelle il a coché 7 numéros. a) Quelle est la probabilité que le joueur soit gagnant au rang 1 ? au rang 2 ? au rang 3 ? b) Quelle est la probabilité que le joueur n’ait aucun bon numéro dans sa grille ? 3) Une grille simple coûte 0,60 € et une grille multiple 4,20 €. Pouvez-vous justifier ces prix ? Exercice 3 Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous formes de fractions et sous forme décimale approchée par défaut à 10 −3 près. Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique, et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique. 1) Dans une premier jeu, il choisit simultanément 3 billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisi. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de billes rouges choisies. Déterminer la loi de probabilité de X. Expliquer le résultat et reconnaître une loi usuelle. 2) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse d’abord au hasard une des deux boîtes, puis qu’il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les événements suivants : C1 : "l’enfant choisit la boîte cubique", C2 : "l’enfant choisit la boîte cylindrique", R : "l’enfant prend une bille rouge", V : "l’enfant prend une bille verte". a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu. b) Calculer la probabilité de l’événement R. c) Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la boîte cubique. 1 3) L’enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place. a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité p n que l’enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix. b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n ≥ 0, 99. Exercice 4. 1) On considère une expérience aléatoire dont l’univers est 1, 2, 3, 4 et où chaque résultat a la même probabilité d’être obtenu. a) Proposer un espace probabilisé , A, P adapté. b) Etudier l’indépendance 2 à 2 des événements A 1, 2, B 1, 3 et C 1, 4. c) Etudier l’indépendance mutuelle des événements A, B et C. 2) On lance deux dés discernables équilibrés à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on considère les événements A : ”le deuxième dé donne 1, 2 ou 5”, B : ”le deuxième dé donne 4, 5 ou 6” et C : ”la somme des deux dés est égale à 9”. a) Proposer un espace probabilisé , A, P adapté. b) Etudier l’indépendance 2 à 2 des événements A, B et C. c) Comparer PA ∩ B ∩ C et PAPBPC. Conclure. 2
