Lycée Jules Verne 2016-2017 TES Exercices Loi binomiale A

Lycée Jules Verne 2016-2017
TES
Exercices Loi binomiale A. Heliard
Exercice 1
Une entreprise produit une pièce en grande série. Parmi les pièces produites, 5%
sont défectueuses.
On prélève, au hasard, des échantillons de dix pièces dans le stock. Le nombre de
pièces est suffisamment grand pour que la probabilité d’obtenir une pièce défectueuse
soit la même à chacun des dix prélèvements.
On note Xla variable aléatoire donnant le nombre de pièces défectueuses dans un
échantillon de dix pièces.
1. Donner les valeurs prises par X.
2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
3. Pour tout entier k, déterminer P(X=k).
4. Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement trois pièces défectueuses?
5. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune pièce défectueuse?
6. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une pièce défectueuse?
7. Déterminer l’espérance mathématique de X. Interpréter.
Exercice 2
Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de
pétrole est 0,1.
1. Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de
Bernoulli.
2. (a) Quelle hypothèse doit-on formuler pour pouvoir assimiler cette répétition
de 9 épreuves de Bernoulli à un schéma de Bernoulli?
(b) Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage con-
duise à une nappe de pétrole. En donner une valeur approchée à 10−3.
3. Soit Xla variable aléatoire définie par le nombre de forages conduisant à une
nappe de pétrole.
(a) Quelle loi de probabilité suit X?
(b) Donner une valeur approchée à 10−3près des probabilités P(X=k)pour
06k69.
Exercice 3
Un QCM comporte vingt questions. Pour chaque question, trois réponses sont pos-
sibles dont une seule est correcte.
Yannis décide de répondre au hasard à toutes les questions du QCM.
On note Xle nombre de bonnes réponses au QCM.
1. Justifier que Xsuit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que :
(a) Yannis donne exactement quatorze bonnes réponses
(b) Yannis donne au moins dix bonnes réponses.
(c) Yannis réponde correctement à toutes les questions du QCM.
(d) Yannis ne donne aucune bonne réponse.
3. Calculer E(X)et interpréter.
4. Le professeur choisit le barème suivant : 1 point par bonne réponse, -0,5 par
réponse fausse. Toute note négative est ramenée à 0.
Quelle note globale Yannis peut-il espérer?
Exercice 4 Pour les questions 1et 2, on donnera les résultats sous forme de
fraction et sous forme décimale approchée par défaut à 10−3près.
Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes
dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.
1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la
boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X
la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.
(a) Déterminer la loi de probabilité de X.
(b) Calculer l’espérance mathématique de X.
2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse d’abord au
hasard une des deux boîtes, puis qu’il prenne alors une bille, toujours au hasard,
dans la boîte choisie. On considère les évènements suivants :
C1 : " L’enfant choisit la boîte cubique ",
C2 : " L’enfant choisit la boîte cylindrique ",
R : " L’enfant prend une bille rouge ",
V : " L’enfant prend une bille verte ".
(a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième
jeu.
(b) Calculer la probabilité de l’évènement R.
3. L’enfant reproduit nfois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois
la bille tirée à sa place.
(a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité pnque l’enfant ait pris au moins
une bille rouge au cours de ses nchoix.
(b) Calculer la plus petite valeur de npour laquelle pn>0,99.