DEVOIR DE SYNTHESE DE LYCEE SECONDAIRE MATHEMATIQUES IBN SINA N° 2 MENZEL BOURGUIBA 4 Exercice 1 : ( Date : 5 Mars 2014 Proposé par : M. Zemzemi ème Jamel Bettaher Durée : 3 h T2 4 points ) Pour chaque question une seule réponse est exacte. Barème : Une réponse exacte avec justification rapporte 1 point, une réponse exacte sans justification rapporte 0,5 point , une réponse inexacte enlève 0,5 point et l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0. 1) L’ensemble de définition de la fonction : f(x) = Error! a) est : 0 ,+ b) 1 ln e 2) Le nombre réel c) 0 , e c) est égale à : 1 , e a) 1 b) 1 2 1 2 3) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que : p(A) = 0,4 , p(B) = 0,5 et p A B = 0,35 . La valeur de p A B est égale à : c) Les données sont insuffisantes a) 0,1 b) 0,25 pour répondre 4) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que : p A B = 1 6 1 et p B / A = . 4 La valeur de p A est égale à : Exercice 2 : ( a) 2 3 b) 1 24 c) 1 12 5 points ) Un enfant joue avec 20 billes , 13 rouges et 7 vertes , il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique. 1) Dans un premier jeu , il choisit simultanément trois billes au 0,5 hasard dans la boîte cubique 0,5 et il regarde combien de billes rouges il a choisies . Calculer la probabilité des événements : A « L’enfant obtient une boule rouge B « L’enfant obtient deux boules rouge 2) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des 1 Page 1 sur 3 0,7 5 0,7 deux boîtes , puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les événements suivants : C1 « L'enfant choisit la boîte cubique » C2 « L'enfant choisit la boîte cylindrique » R « L'enfant prend une bille rouge » ; V « L'enfant prend une bille verte ». a- Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu. b- Calculer la probabilité de l'événement R. c- Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ? 3) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu , en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place. a- Exprimer, en fonction de n , la probabilité p n que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix. b- Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n à 0,99 . Exercice 3 : ( 4 points ) On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé O , i , j , k , l’ensemble S des 1 points M x , y , z tels que : x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4 y + 4z + 5= 0 . 1) Montrer que (S) est une sphère dont-on déterminera le centre I 0,5le rayon R . et 1 2) Soit P le plan dont une équation cartésienne est : x - 2 y + 2z + 2= 0 . a- Montrer que l’intersection de la sphère S et du plan P est un cercle (C) . 1 b- Déterminer les coordonnées du centre H et du rayon r du 0,5 cercle (C) . 3) Soient M a , b , - 1 , un point de la sphère S , où deux réels a et b sont et le plan Q dont une équation cartésienne est : a - 1 x + b + 2 y + . a- Montrer que M appartient au plan Q . b- Montrer que (S) et (Q) sont tangents en M . Exercice 4 : ( 7 points ) Page 2 sur 3 z - a + 2b + 3= 0 Soit f la fonction définie sur Ë par : désigne par (C f) sa courbe f x = 2x + 3 e- x + x - 1 . représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé On O,i , j . 1) Soit g la fonction définie sur Ë par : g x = e x - 2x - 1 . a- Dresser le tableau de variation de g. b- Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans Ë , deux solutions 0 et . 0,2 Vérifier que 1<<2 . 5 c- En déduire le signe de g(x). 0,2 2) a- Déterminer la limite de f quand x tend vers -õ . 5 b- En écrivant f x = 2x e- x + 3e- x + x - 1 , déterminer la limite de f 0,5 quand x tend vers +õ . 0,7 5 c- Montrer que pour tout réel x ; on a : f ' x = e- x g x . 0,5 d- Dresser le tableau de variation de f. 0,5 3) a- Montrer que la droite (D) : y = x – 1 est une asymptote oblique à la courbe (C f) . 0,5 b- Etudier la position relative de la courbe (C f) par rapport à la droite D . 1 On précisera les coordonnées du point A intersection de (C ) et (D). f 4) Tracer (D) et (C f) . 0,5 5) Soit h la fonction définie sur Ë par : 0,5 1 h x = - 2 x + 5 e- x + x 2 - x . 2 a- Déterminer la fonction dérivée de h. b- En déduire la primitive de f qui prend la valeur (-3 ) en 0. 1 0,7 5 BON TRAVAIL Page 3 sur 3