IBN SINA

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LYCEE SECONDAIRE
IBN SINA
MENZEL BOURGUIBA
DEVOIR DE SYNTHESE DE
MATHEMATIQUES
N° 2
Date : 5
Mars 2014
Proposé par : M.
Zemzemi
Jamel Bettaher
4 ème T2
Durée :
3 h
Exercice 1 : ( 4 points )
Pour chaque question une seule réponse est exacte.
Barème : Une réponse exacte avec justification rapporte 1 point, une réponse
exacte sans justification rapporte 0,5 point , une réponse inexacte enlève 0,5
point et l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la
note est ramenée à 0.
1) L’ensemble de définition de la fonction : f(x) =
Error!
est :
a)
0 ,+
b)
0 , e
c)
1, e
2) Le nombre réel
1
ln e
est égale à : a) 1 b)
1
2
c)
1
2
3) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :
p(A) = 0,4 , p(B) = 0,5 et
p A B
= 0,35 .
La valeur de
p A B
est égale à : a) 0,1 b) 0,25
c) Les données sont insuffisantes
pour répondre
4) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que :
p A B
=
1
6
et
p B/A
=
1
4
.
La valeur de
pA
est égale à : a)
2
3
b)
1
24
c)
1
12
Exercice 2 : ( 5 points )
Un enfant joue avec 20 billes , 13 rouges et 7 vertes , il met
10 rouges et 3 vertes dans une
boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.
1) Dans un premier jeu , il choisit simultanément trois billes au
hasard dans la boîte cubique
et il regarde combien de billes rouges il a choisies .
Calculer la probabilité des événements :
A « L’enfant obtient une boule rouge 
B « L’enfant obtient deux boules rouge 
2) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant
choisisse d'abord au hasard une des
0,5
0,5
1
0,7
5
0,7

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deux boîtes , puis qu'il prenne alors une bille, toujours au
hasard, dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C1 « L'enfant choisit la boîte cubique » C2
« L'enfant choisit la boîte cylindrique »
R « L'enfant prend une bille rouge » ; V
« L'enfant prend une bille verte ».
a- Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant
à ce deuxième jeu.
b- Calculer la probabilité de l'événement R.
c- Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la
probabilité qu'elle provienne
de la boîte cubique ?
3) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu , en
remettant à chaque fois la bille
tirée à sa place.
a- Exprimer, en fonction de n , la probabilité
n
p
que l'enfant
ait pris au moins une bille
rouge au cours de ses n choix.
b- Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle
n
p
à 0,99
.
Exercice 3 : ( 4 points )
On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé
O , i , j , k
,
l’ensemble S des
points
M x , y , z
tels que :
2 2 2
x + y + z - 2x + 4y + 4z+ 5= 0
.
1) Montrer que (S) est une sphère dont-on déterminera le centre I
et le rayon R .
2) Soit P le plan dont une équation cartésienne est :
x - 2y + 2z+ 2= 0
.
a- Montrer que l’intersection de la sphère S et du plan P est
un cercle (C) .
b- Déterminer les coordonnées du centre H et du rayon r du
cercle (C) .
3) Soient
M a , b , -1
, un point de la sphère S , où a et b sont
deux réels et le plan Q dont
une équation cartésienne est :
a - 1 x + b+ 2 y + z - a+ 2b+ 3= 0
.
a- Montrer que M appartient au plan Q .
b- Montrer que (S) et (Q) sont tangents en M .
Exercice 4 : ( 7 points )
1
0,5
1
1
0,5

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Soit f la fonction définie sur
Ë
par :
-x
f x = 2x + 3 e + x - 1
. On
désigne par (C f) sa courbe
représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé
O,i,j
.
1) Soit g la fonction définie sur
Ë
par :
x
g x = e - 2x - 1
.
a- Dresser le tableau de variation de g.
b- Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans
Ë
, deux
solutions 0 et  .
Vérifier que 1<<2 .
c- En déduire le signe de g(x).
2) a- Déterminer la limite de f quand x tend vers -
õ
.
b- En écrivant
- x - x
f x = 2xe + 3e + x - 1
, déterminer la limite de f
quand x tend vers +
õ
.
c- Montrer que pour tout réel x ; on a :
-x
f ' x = e g x
.
d- Dresser le tableau de variation de f.
3) a- Montrer que la droite (D) : y = x – 1 est une asymptote
oblique à la courbe (C f) .
b- Etudier la position relative de la courbe (C f) par rapport
à la droite D .
On précisera les coordonnées du point A intersection de (C
f) et (D).
4) Tracer (D) et (C f) .
5) Soit h la fonction définie sur
Ë
par :
2
-x 1
h x = - 2x + 5 e + x - x
2
.
a- Déterminer la fonction dérivée de h.
b- En déduire la primitive de f qui prend la valeur (-3 ) en 0.
BON TRAVAIL
1
0,7
5
0,2
5
0,2
5
0,5
0,7
5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5