Exercices Probabilité Classe : SV I- Une urne contient 2 - studynet-lb

Exercices
Probabilité
Classe : SV
I- Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires .
1) On tire successivement et au hasard 4 boules sans remise. Calculer la probabilité des événements :
A : ″ Tirer dans l’ordre des boules , blanche, noire, blanche, noire ″
B : ″ Tirer une seule boule blanche ″.
2) Même question que 1) dans le cas de 4 tirages successifs avec remise .
II- On dispose de deux urnes :- U contient 3 boules rouges et 7 boules noires ,
- V contient 4 boules rouges et 6 boules noires .
1) On extrait simultanément deux boules de l’urne U.
a- Quelle est la probabilité p1 que les 2 boules tirées soient rouges ?
b- Quelle est la probabilité p2 que les 2 boules tirées soient noires ?
c- Quelle est la probabilité p3 que les 2 boules tirées soient de la même couleur ?
d- Quelle est la probabilité p4 que les 2 boules tirées soient de couleurs différentes ?
2) On tire maintenant 2 boules de U et 1 boule de V. On considère les événements :
R : ″ les trois boules tirées sont rouges ″
M : ″ les trois boules tirées sont de la même couleur ″
D : ″ les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur ″
B : ″ la boule tirée de l’urne V est rouge ″
a- Calculer la probabilité p(R) , p(M) et p(D).
b- Calculer p(B/D).
3) On choisit l’une de deux urnes puis de l’urne choisie on tire deux boules. On note
A :″ l’urne choisie est U ″ et E :″ les deux boules tirées sont de la même couleur ″
a- Calculer p(E/A) , p(E/ A ) et calculer p(E).
b- Les deux boules tirées sont de la même couleur . Quelle la probabilité qu’elles proviennent de l’urne U ?
III- Une urne contient 3 boules blanches et 9 boules noires. On tire simultanément trois boules de l’urne.
1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues .
Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de couleurs obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de Y.
-1-
IV- 1) On donne p(A) =
1
1
1
, p(B) =
et p(A  B) =
. Calculer p(A/B) et p(B/A).
2
4
10
2) On donne p(A) =
1
1
2
, p(B) = et p(A  B) = . Calculer p(A/B) et p(B/A).
2
3
3
3) On donne p(A) =
1
1
1
, p(B/A) =
et p(B/ A ) = . Calculer p(B).
3
4
2
4) On donne p(A) =
1
3
2
, p(B) =
et p(A  B) = . Calculer p( B / A ).
2
4
5
V- Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux
types de défauts , désignés par a et b. 2% de montres fabriquées présentent le défaut a et 10% le défaut b .
Une montre est tirée au hasard . On note les événements:
A : ″ la montre tirée présente le défaut a ″ et
B : ″ la montre tirée pressente le défaut b ″.
On suppose que les événements A et B sont indépendantes .
1) Calculer la probabilité p(A  B) et p(A  B).
2) Calculer p(C) où C : ″ la montre tirée ne présente aucun des deux défauts ″ .
3) le prix initial d’une montre sans défaut est 50$ mais si elle présente un et un seul défaut ,
on fait une réduction de 5 $ et si elle présente les deux défauts , on fait une réduction de 20% de sa prix
initiale.
Soit X la variable aléatoire égale au prix d’une montre choisie .
a- Déterminer la loi de probabilité de X.
b- Calculer l’espérance mathématique E(X). Que représente ce nombre ?.
VI- Une agence de voyages propose exclusivement 3 destinations A ,G et M.
50% des clients choisissent la destination A , 30% la destination G et les autres la destination M.
Au retour de leur voyage , tous les clients de l’agence répondent à une enquête de satisfaction :
90% des clients M sont satisfaits , de même que 80% des clients G.
On choisit au hasard un client et on note les événements :
A :″ le client a choisit la destination A″ ,
B :″ le client a choisit la destination B″ ,
C :″ le client a choisit la destination C″ ,
S :″ le client est satisfait ″ .
1) Traduire les données de l’énoncé sur un arbre de probabilité.
2) a- Calculer les probabilités p(G  S) et p(M  S).
b- L’enquête montre que 72% des clients sont satisfaits . Calculer p(A  S)
c- Déduire la probabilité p(S/A) .
3) Le client choisi est satisfait . Quelle est la probabilité qu’il ait choisi la destination G ?
-2VII- Une urne contient 7 boules : 1 boule rouge , 2 boules jaunes et 4 boules vertes .
Un joueur tire au hasard une boule :
• Si elle est rouge, il gagne 10$
• Si elle est jaune , il perd 6$
• Si elle est verte ,il tire une deuxième boule de l’urne sans avoir replacé la première boule tirée .
Si cette deuxième boule est rouge ,il gagne 12$ ; sinon il perd 6$.
1) Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
a- Montrer que p[X = -6] =
16
.
21
b- Déterminer la loi de probabilité de X .
c- Le jeu est il favorable au joueur ? justifier .
2) On suppose , dans cette question, que le joueur gagne m $ si la deuxième boule tirée est rouge.
Calculer m pour que le jeu soit équitable.
VIII- Un jeu forain utilise une roue divisée en 10 secteurs : 7 sont verts et 3 sont rouges.
On fait tourner la roue , et lorsqu’elle s’arrête , un repère désigne un secteur .
Chaque secteur ayant la même probabilité d’être obtenu .
Jouer une partie est l’expérience aléatoire consistant à faire tourner la roue trois fois de suite ,
de façon indépendante , en notant à chaque arrêt la couleur obtenue .
1) a- Montrer que la probabilité d’obtenir trois fois le vert est égale à 0,343 .
b- Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois le rouge.
c- Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux fois le rouge.
2) Pour jouer une partie , un joueur doit miser une somme d’argent égale à m .
• S’il obtient trois fois le vert , il perd sa mise .
• S’il obtient une ou deux fois le rouge , il récupère sa mise .
• S’il obtient trois fois le rouge , il récupère sa mise et gagne une somme d’argent égale à 10 fois sa mise .
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur
a- Déterminer la loi de probabilité de X .
b- Exprimer l’espérance mathématique de X en fonction de m .
Ce jeu est-il favorable au joueur ? expliquer.
-3-
IX- A- Une urne contient 2 boules blanches et n boules noires Un joueur tire simultanément deux boules de
l’urne .
On note A2 : ″ le joueur a tirée 2 boules blanches ″ . Calculer n pour que p(A2) =
1
15
B- Dans la suite du problème , on prend n=4 .
Un joueur tire simultanément 2 boules . On note A0 : ″ le joueur a tirée 2 boules noires ″ ,
A1 : ″ le joueur a tirée 1 boule blanche ″ et A2 : ″ le joueur a tirée 2 boules blanches ″ .
1) Calculer p(A0) et p(A1) .
2) Lors de ce tirage , le joueur gagne 5$ pour chaque boule blanche tirée et perd 3$ pour chaque boule noire
tirée .
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
a- Déterminer la loi de probabilité de X .
b- Calculer l’espérance mathématique E(X).
3) Après ce premier tirage , le joueur remet les boules noires dans l’urne et laisse les boules
blanches tirées de coté, puis effectue un nouveau tirage simultané de deux boules .
On note B0: ″ le joueur a tirée deux boules noires lors du deuxième tirage ″.
a- Calculer p(B0/A0) et déduire p(B0  A0).
b- Calculer p(B0  A1) , p(B0  A2) et déduire p(B0).
X- On considère les trois urnes U ; V et W qui contiennent des boules .
U(3 vertes et 2 rouges) , V(4 vertes et 5 jaunes) et W(5jaunes et 4 rouges et 1 verte).
Un joueur tire une boule de U :
• Si elle est verte , il la met dans V puis il tire une boule de V ,
• Si elle est rouge , il la met dans W puis il tire une boule de W .
1) Calculer la probabilité d’avoir une boule verte au 2ème tirage sachant que la 1ère boule est verte.
2) Calculer la probabilité d’avoir une boule verte au 2ème tirage sachant que la 1ère boule est rouge.
3) Déduire la probabilité d’avoir une boule verte au 2ème tirage .
4) Calculer la probabilité d’avoir une boule rouge au 2ème tirage.
5) Calculer la probabilité d’avoir une boule jaune au 2ème tirage .
6) Lors du deuxième tirage : si la boule tirée est rouge on gagne 100 000 LL
si la boule tirée est jaune on gagne 50 000 LL
si la boule tirée est verte on perd
50 000 LL
On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique réalisé par le joueur .
a- Déterminer la loi de probabilité de X .
b- Calculer l’espérance mathématique E(X).
-4-
XI- Une urne U contient six boules : quatre boules numérotées 2 et deux boules numérotées 3.
Un sac S contient cinq billets : un billet de 50$ , deux billets de 20$ et deux billets de 10$.
1) On tire une boule de l’urne U :
• Si on obtient une boule numérotée 2 , on tire successivement et sans remise deux billets de S
• Si on obtient une boule numérotée 3 , on tire simultanément trois billets de S.
On note les événements suivants :
D :″ tirer une boule numérotée 2″ et A :″ la somme des billets tirés est égale à 70$ ″ .
a- Calculer p(D) , p(A/D) et p(A  D).
b- Calculer p(A  D ). Déduire p(A) .
2) On tire successivement et sans remise 2 billets du sac S et on désigne par X la somme d’argent obtenue.
a- Déterminer les cinq valeurs possibles de X.
b- Déterminer la loi de probabilité de X.
c- Calculer l’espérance mathématique E(X) .
d- Calculer p[X<60].
XII- (1ere session 2011)
Dans une école, chaque élève des deux sections SG et SV pratique un seul sport.
Les élèves sont distribués comme l’indique le tableau suivant.
Football
Basketball
Tennis
SV
1
6
3
SG
4
4
2
On prend 20 cartons identiques. Sur chaque carton on écrit le nom d’un élève.
A- Les cartons portant les noms des élèves de la section SV sont placés dans une boîte B1 et ceux portant
les noms des élèves de la section SG sont placés dans une autre boîte B2.
Le directeur de l’école choisit au hasard une boîte puis tire au hasard et simultanément deux cartons de
cette boîte. On considère les événements suivants:
E : « la boîte choisie est B1 »
S : « les deux cartons tirés portent les noms de deux élèves qui pratiquent le même sport »
2
1) a- Montrer que la probabilité p(S/E) est égale à et déduire p(E  S) .
5
31
b- Prouver que p(S) =
.
90
2) Sachant que les deux cartons tirés portent les noms de deux élèves pratiquant des sports différents,
quelle est la probabilité que les noms soient ceux de deux élèves de la section SV ?
B- On suppose dans cette partie que les 20 cartons portant les noms des élèves sont tous placés dans
une même boîte B. On tire simultanément et au hasard trois cartons de cette boîte.
1) Prouver que la probabilité que les trois cartons tirés portent les noms de trois élèves pratiquant
7
le même sport, est égale à
.
57
2) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de sports pratiqués par les trois élèves dont les noms
sont inscris sur les trois cartons tirés. Déterminer la loi de probabilité de X.
-5XIII- (2eme session 2011)
Une urne contient 8 boules :
• 4 boules blanches portant chacune le nombre 0 ;
• 3 boules rouges portant chacune le nombre 5 ;
• 1 boule blanche portant le nombre 2.
On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne.Soit les évènements suivants :
A : « les trois boules tirées portent des nombres pouvant former le nombre 200».
B : « les trois boules tirées portent des nombres identiques».
C : « les trois boules tirées sont blanches».
D : « les trois boules tirées sont de même couleur.
3
et calculer p(B), p(C) et p(D).
28
2) Déterminer la probabilité pour que parmi les trois boules tirées une seule porte le nombre 0.
3) Les trois boules tirées sont blanches ; calculer la probabilité que les nombres portés par ces
boules peuvent former le nombre 200.
4) Soit X la variable aléatoire égale au produit des trois nombres portés par les trois boules tirées.
a- Donner les trois valeurs possibles de X.
b- Déterminer la loi de probabilité de X.
1) Montrer que la probabilité p(A) est égale à
XIV- (1ere session -Tripoli)
Une urne contient 4 boules noires, 3 boules blanches et n boules rouges. (n 2)
A- Dans cette partie on prend n = 2.
On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne.
1) Calculer la probabilité de tirer trois boules de même couleur.
2) On désigne par E l’événement :
« Parmi les trois boules tirées il y a exactement 2 boules de même couleur ».
Montrer que la probabilité P(E) est égale à
55
84
B- Dans cette partie on tire simultanément et au hasard 2 boules parmi les n+7 boules de l’urne.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
1) Démontrer que p(X=2) =
n(n  1)
(n  6)(n  7)
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer n pour que l'espérance mathématique E(X) soit égale à 1.
-6-