5 Groupes-Permutations

5 Groupes-Permutations
1 Groupes
La définition des groupes est connue : c’est un ensemble Gmuni d’une loi de composition interne
associative et possédant un élément neutre. de plus, tout élément de Gadmet un symétrique
pour cette loi. La loi d’un groupe est notée, sauf exception, multiplicativement. Le neutre de G
est noté en général eGou e, le symétrique de xest noté x−1; il est aussi alors appelé inverse.
1.1 Sous-groupes, morphismes
Si Gest un groupe, un sous-ensemble (non vide) Hest un sous-groupe s’il est lui-même un
groupe (pour la même loi).
Proposition 75. Hnon vide est un sous-groupe de Gs’il est stable pour la loi et pour la prise
d’inverse.
On écrit alors H < G. La seconde condition est indispensable : Nn’est pas un sous-groupe de
(Z,+). Avec la première, elle montre que le neutre de Hest forcément le même que celui de G
(comparer avec la notion de sous-anneau).
Définition 39. Une application φentre un groupe Get un groupe G′est un morphisme (de
groupes) si elle vérifie
∀(x, y)∈G2, φ(xy) = φ(x)φ(y)
Il est alors facile de vérifier (en utilisant que G′est un groupe) que φ(eG) = eG′et φ(x−1) =
φ(x)−1.
Proposition 76. Si φest un morphisme de groupe, les images et les images réciproques de
sous-groupes sont des sous-groupes. C’est en particulier le cas de
Im φ=φ(G),et Ker φ=φ−1(eG′) = {x∈G|φ(x) = eg′}
Bien sûr, le lien entre injectivité et noyau,et entre surjectivité et image subsiste. Un isomorphisme
de groupe est un morphisme bijectif. On vérifie facilement que son application réciproque est aussi
un morphisme de groupe.
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1.2 Groupes cycliques, produit de groupes cycliques
On rappelle que, si n∈N∗, l’ensemble Undes racines n-ièmes de l’unité est formé des complexes
définis par :
Un={z∈C|zn−1 = 0}={z∈C| ∃k= 0..n, z =e2kiπ
n}
Si on note zkle nombre e2kiπ
n, on remarque que zk=zk
1et donc que
Un={1, z1, z2
1, . . . , zn−1
1}
L’ensemble Unest un groupe pour le produit. Compte-tenu de zn
1= 1, il est constitué de toutes
les puissances de z1. Il faut connaître les cas n= 1,n= 2,n= 3 et n= 4.
Définition 40. Tout groupe Gisomorphe à Unest dit cyclique d’ordre n. On note Cn"le"
groupe cyclique à néléments.
Ainsi, tout groupe à deux éléments est cyclique d’ordre 2: c’est le cas de U2={−1,1}et de
(Z/2Z,+) ou du groupe formé par une symétrie vectorielle et l’identité, etc... De même, on vérifie
que tout groupe à trois éléments est isomorphe à C3. Enfin, il est immédiat que l’application
kÔ→ ωk
où ω=e2iπ/n est un isomorphisme de groupe entre (Z/nZ,+) et Un.
La notion de sous-espace vectoriel engendré par une partie se généralise aux groupes : si Sest une
partie de G, le sous-groupe engendré par Sest le plus petit sous-groupe de Gqui contient tous
les éléments de S. On le note éSê. Comme dans le cas des sous-espaces vectoriels son existence
est claire, éSêest l’intersection de tous les sous-groupes de Gqui contiennent S(l’intersection
de sous-groupes est évidemment elle-même un sous-groupe.) La description de éGên’est pas
toujours facile : il doit comprendre les éléments de S, leurs puissances, leurs inverses, et tous les
produits de ces éléments entre eux.
Définition 41. De même, un groupe Gest dit monogène s’il existe un élément gde Gtel que
G=égê; on écrit G=égê.
Les groupes monogènes finis ne sont autres que les groupes cycliques.
Théorème 77. Un groupe monogène égê, s’il est fini de cardinal n, est cyclique d’ordre n, donc
isomorphe à Un. S’il est infini, il est isomorphe à (Z,+).
Démonstration. Soit φl’application
Z−→ égê
kÔ−→ gk
est un morphisme surjectif de groupes. Si φest injectif, c’est un isomorphisme. Sinon, son noyau
est un sous-groupe de Z, donc de la forme nZ,nnon nul. Ainsi gk=e⇐⇒ k∈nZ. Mais alors,
pour tout couple (i, j)de l’ensemble E={0,1, . . . , n −1}, on a iÓ=j⇒giÓ=gjsinon gi−j=e
avec i−jnon multiple de n. Ces éléments sont donc distincts. De plus, si k>n,gk=gkq+r=gr
où k=nq +rest la division euclidienne de kpar n. On a donc E=égê. Enfin, il est immédiat
que Eest un groupe isomorphe à Un.
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Définition 42. Si G=égêest de cardinal n, on dit que l’ordre de gest n. C’est aussi le plus
petit entier non nul tel que gn=e. Si égêest infini, on dit que gest d’ordre fini. L’ordre d’un
élément est invariant par isomorphisme.
Si G=égêest de cardinal n, on dit que l’ordre de gest n. C’est aussi le plus petit entier non nul
tel que gn=e. Si égêest infini, on dit que gest d’ordre fini. Un petit résultat assez pratique :
Corollaire 78. Un groupe de cardinal nest cyclique si et seulement si il contient un élément
d’ordre n.
Ainsi, le groupe du rectangle n’est pas cyclique.
Outre le fait bien sûr qu’ils sont commutatifs, il y a deux théorèmes importants sur les groupes
cycliques.
Théorème 79. Soit gd’ordre n. Alors, pour tout entier k,gkest d’ordre n
n∧k. En particulier,
le groupe égêa pour générateurs les gkavec kpremier à n.
Démonstration. Soit k∈ {0,1, . . . , n −1}. Notons pl’ordre de gk. Alors (gk)p=e⇐⇒ kp =
ℓn. Soit dle pgcd de ket n. On peut écrire
Ik=k′d
n=n′d
où k′∧n′= 1. L’égalité précédente s’écrit
k′p=n′ℓ
Par le théorème de Gauss, pdoit être un multiple de n′. La plus petite valeur non nulle de pest
donc n′. L’ordre de gkest donc
p=n′=n
n∧k
Ainsi, un groupe cyclique G=égêde cardinal 6a pour générateurs get g5. S’il était de cardinal
7, il aurait 6générateurs.
On définit le produit direct de deux groupes G×G′par :
(x, y)(x′, y′) = (xx′, yy′)
pour deux couples de G×G′.
Théorème 80. Le produit de deux groupes cycliques Cn×Cmest cyclique, d’ordre nm, si et
seulement si n∧m= 1
Démonstration. C’est un sous-produit du théorème chinois.
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1.3 Groupes de permutations
1.3.1 Première définition, exemples
Soit E={1,2, . . . , n}l’ensemble des entiers de 1àn. Les bijections de Edans lui-même s’ap-
pellent des permutations. L’ensemble de ces permutations forme un groupe, que l’on appelle
groupe symétrique Sn.
Exemple :
S1={id},S2={id, τ},S3=D6groupe du triangle
Les deux premiers sont cycliques, ce sont les seuls.
1.3.2 Première notation, cycles, supports
Une première notation possible est la suivante :
σ=31 2 3 4 5 6 7 8
3 1 2 4 8 7 5 64
Cette notation désigne un élément σde S8telle que σ(1) = 3,σ(2) = 1, etc.
Parmi les permutations, certaines ont une description qui les fait appeler « cycles » ou plus
précisément k-cycles.
Définition 43. Soit 26k6nun entier. Une permutation σde Snest appelée k-cycle s’il existe
(i1, i2, . . . , ik)entiers distincts de {1, . . . , n}tels que
σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . . σ(ik−1) = ik, σ(ik) = i1
Il est facile de vérifier que
Proposition 81. Un k-cycle est d’ordre k.
La démonstration est laissée en exercice. Remarquons que si σest un k-cycle, le sous-groupe éσê
est cyclique d’ordre k.
On note σ= (i1, i2, . . . , ik)ce k-cycle. Les k-cycles de longueur 2, notés τ= (i1, i2)sont appelés
transpositions. Toutes les permutations ne sont pas des k-cycles, ainsi l’exemple supra.
Les éléments qui sont dans la liste (i1, i2, . . . , ik)forment ce qu’on appelle le support du k-cycle,
les autres constituent les points fixes. Cette définition s’applique à toutes les permutations :
l’identité est la seule permutation dont le support est vide. Un lemme utile dans les calculs, et
même sur le plan théorique.
Lemme 82. (Principe de conjugaison) Soit (a, b, c, . . . , k)un k-cycle et σune permutation
quelconque. Alors σ◦(a, b, c, . . . , k)◦σ−1est un k-cycle, et
σ◦(a1, a2, a3, . . . , ak)◦σ−1= (σ(a1), σ(a2), . . . , σ(ak))
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La démonstration est calculatoire : on commence par étudier l’image d’un élément qui n’est pas
de la forme σ(ai).
Les k-cycles permettent de reconstituer tout le groupe symétrique :
Théorème 83. Toute permutation σse décompose de façon unique en composés de cycles à
supports disjoints. De plus, ce composé est commutatif.
Démonstration. On utilise une méthode algorithmique.
Exemple : étude des éléments de S4.
1.3.3 Générateurs du groupe symétriques
Bien sûr, les k-cycles engendrent le groupe symétrique. Mais on peu faire mieux.
Théorème 84. Le groupe symétrique est engendré par les transpositions.
Il suffit de montrer que tout k-cycle est composé de transpositions. C’est immédiat en obser-
vant :
(a, b, c, d, e) = (a, b)(b, c)(c, d)(d, e)
On remarque qu’il suffit de k−1transpositions. Ce résultat peut être amélioré jusqu’à réduire
à deux générateurs.
1.3.4 Signature, groupe alterné
Il existe un morphisme de Sndans le groupe à deux éléments U2={1,−1}. Ce morphisme,
appelé signature est de toute première importance dans la théorie des déterminants.
Théorème 85. Il existe un seul morphisme ǫde groupes entre Snet U2={1,−1}différent
du morphisme constant. Ce morphisme s’appelle la signature, il est égal à −1pour toutes les
transpositions.
Démonstration. Définissons la signature par
ǫ(σ) = (−1)n−k
où kest le nombre des cycles entrant dans la décomposition de σ, augmenté du nombre des
points fixes : on dit que c’est le nombre des orbites. Pour une transposition, on obtient bien une
signature égale à −1(un cycle et n−2points fixes). Montrons que la signature est un morphisme.
Il faut montrer que ǫ(σ′◦σ) = ǫ(σ′)ǫ(σ). On peut se contenter du cas où σ′est une transposition
(car les transpositions engendrent le groupe symétrique). Prenons τ= (a, b)et soit kle nombre
des orbites de σ(= cycles et points fixes de σ). Il faut montrer que la signature est multiplié par
−1. Il y a plusieurs alternatives :
– Si aet bsont fixes par σ, il y a une orbite de plus.
– Si aet bapparaissent dans deux cycles disjoints, on utilise
(a, b)(a, x1, . . . , xk)(b, y1, . . . , yℓ) = (a, x1, . . . , xk, b, y1, . . . , yℓ)
pour observer qu’il y a une orbite de moins.
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