Mécanique des fluides: TD3

M´ecanique des fluides: TD3
2016-2017
1 Dynamique des fluides parfaits : Partie 1
Dans tout ce TD, les fluide trait´es sont parfaits et incompressibles.
1.1 Exercice 1 : Tube de Pitot
Un tube de Pitot (de Henri Pitot, physicien fran¸cais) permet de mesurer la vitesse d’un ´ecoulement.
Il sert par exemple sur les avions pour mesurer la vitesse relative par rapport au vent (on parle aussi
de ”sonde Pitot”).
On consid`ere le tube Pitot ci-dessus, le fluide s’´ecoulant autour ´etant incompressible, de masse
volumique ρ.
1. A l’aide de la relation de Bernoulli, ´ecrire une relation entre les pressions en A et en B,
On suppose les pressions en Met N´egales aux pressions en Aet Brespectivement.
2. Donner l’expression de la diff´erence de pression entre Met N, dans le manom`etre, qu’on suppose
`a mercure (de masse volumique ρm).
On donne : ρm= 13,6×103kg.m−3,ρ= 1,225 kg.m−3et ∆h= 1 cm.
3. Donnez la valeur de la vitesse vBde l’´ecoulement autour du tube de Pitot.
1.2 Exercice 2 : Effet Venturi
L’effet Venturi (du physicien italien Giovanni Battista Venturi) est un ph´enom`ene de chute de
pression due `a un ´etranglement dans un ´ecoulement.
On consid`ere le Venturi repr´esent´e par la figure ci-dessous. ”PL” sur la figure correspond en r´ealit´e
`a ρL, la masse volumique du fluide entre B1et B2.
1

1. Donner l’expression de la vitesse V2en fonction de S1,S2,get ∆h.
2. En d´eduire le d´ebit volumique.
1.3 Exercice 3 : Formule de Toricelli (Evangelista Torricelli, physicien italien)
On consid`ere un r´ecipient rempli d’un liquide parfait et incompressible muni d’une petite ouverture
situ´ee `a la hauteur h sous la surface libre du liquide (le diam`etre de cette ouverture est n´egligeable
devant h). On recherche l’expression de la vitesse du liquide en A en fonction de h.
1. Appliquer la relation de Bernoulli entre la surface et la sortie de l’orifice.
2. En consid´erant que vA0<< vA, trouver la formule de Toricelli v=√2gh. Que vous rappelle
cette formule ?
1.4 Exercice 4 : Ecoulement au dessus d’un obstacle
On ´etudie un ´ecoulement au-dessus d’un obstacle. La hauteur de l’obstacle est not´ee e(x), la hau-
teur d’eau au-dessus de l’obstacle h(x), et la vitesse v(x). La vitesse loin de l’obstacle est v0et la
hauteur d’eau h0.
1. Appliquer la conservation du d´ebit et trouver une relation entre v0,h0,v(x) et h(x).

2. En appliquant la relation de Bernoulli sur une ligne de courant situ´ee `a la surface et en la d´e-
rivant, montrer que :
v0(x)
v(x)(v2(x)−g h(x)) + g e0(x) = 0 (1)
3. On appelle x0l’abscisse du sommet de l’obstacle. Montrer que l’on a alors 2 possibilit´es : v0(x0) =
0 ou v2(x0) = g h(x0). A quoi ressemble le profil de hauteur dans le premier cas ?
1.5 Exercice 5 : Fuite d’un r´eservoir sous pression
Un r´eservoir sous pression pRest perc´e `a sa surface sup´erieure (voir Figure 1). Le fluide qu’il
contient, de masse volumique ρfs’en ´echappe en un jet vertical `a pression ambiante (patm).
1. A quelle hauteur Hce jet montera-t-il initialement (tant que la chute de pression dans le r´eservoir
est n´egligeable) en fonction de pR,patm et ρf?
Figure 1 – R´eservoir sous pression
Remarque : on consid`ere le fluide comme incompressible et parfait. On consid`ere que le r´eservoir
est grand et donc que la vitesse du fluide en un point quelconque, loin du trou, est n´egligeable. On
n´eglige l’´epaisseur du r´eservoir par rapport `a la hauteur du jet.

1.6 Exercice 6 : Venturi vertical
On consid`ere le tube de Venturi donn´e par la figure ci-dessous (Figure 2), dans lequel circule un
fluide (de l’eau) de masse volumique ρe. Le point Fest `a pression atmosph´erique (patm). En Ale
tuyau a un diam`etre DA, et en Fun diam`etre DF. Le liquide (du mercure) entre Eet Da une masse
volumique ρminf´erieure `a ρe.
1. Exprimer la diff´erence de hauteur ∆Hentre Eet Den fonction de ρm, de la masse volumique
de l’eau (ρe), des diam`etres DAet DF, de get du d´ebit volumique dans le tube qu’on notera qV.
Remarque : ~g =−g ~z, les liquides sont consid´er´es comme parfaits et incompressibles.
Figure 2 – Venturi vertical