VECTEURS 1 Translation et vecteur 2 Somme de deux

VECTEURS
1 Translation et vecteur
D´efinitions 1
Soit Aet Bdeux points. On appelle translation de vecteur −−→ AB,latransformationquiatoutpoint
Massocie l’unique point Ntelle que [AM]et [BN]aient le mˆeme milieu. −−→ AB est le vecteur associ´e
`alatranslationquitransformeAen B.
Remarques :
•Les vecteurs −−→ AB et −−→ MN d´efinissent une mˆeme trans-
lation. On dit que −−→ AB =−−→ MN
•AMN B est un parall´elogramme
•Si Aet Bsont confondus, tout point Msera
confondu avec son image. Mest dit alors invariant
et le vecteur −→ AA est appel´e vecteur nul. A
B
M
N
•Dans la translation qui transforme Aen B,(AB) est la direction du d´eplacement, AB est la
longueur ; −−→ AB contient en plus l’indication du sens de d´eplacement : de Avers B.
Propri´et´e1Soit A,B,Cet Dquatre points distincts du plan.
−−→
AB =−−→ CD ⇔Dest l’image de Cpar la translation qui transforme Aen B.
⇔[AD]et [BC]ont le mˆeme milieu.
⇔ABDC est un parall´elogramme.
Remarques :
Pour d´esigner l’unique vecteur associ´e`a une translation, on utilise une lettre unique, par exemple
−→
u.Onnoteraainsit−→
ula translation de vecteur −→
u.
2 Somme de deux vecteurs
Propri´et´e2Soit A,Bet Ctrois points du plan.
Appliquer successivement la translation t−→
AB qui transforme Aen B,puislatranslationt−−→ BC qui
transforme Ben C, revient `a appliquer la translation t−→
AC qui transforme Aen C.
D´efinition 1 Soit A,Bet Ctrois points du plan.
•Le vecteur −→ AC de la translation t−→
AC obtenue en appliquant successivement les translation t−→ AB
suivie de t−−→
BC, est appel´esomme des vecteurs −−→
AB et −−→ BC.On´ecrit : −→ AC =−−→ AB +−−→ BC
•La relation −→ AC =−−→ AB +−−→ BC est dite relation de chasles.
1

Remarques :
•Pour additionner, graphiquement, deux
vecteurs −→ uet −→ v, on place trois points
A,Bet Ctels que −−→ AB =−→ uet −−→ BC =−→ v.
On a alors −→ u+−→ v=−→ AC.
•D’apr`es le relation de Chasles :
−−→
AB +−−→ BA =−→ AA =−→ 0.soit−−→ AB =−
−−→
BA.
•
−−→
BA est l’oppos´e du vecteur −−→ AB
−→
u
−→
v
A
−→
u
B
−→
v
C
−→
u+−→ v
Propri´et´e3
1. Le point Iest le milieu du segment [AB]si, et seulement si, −→ AI =−→ IB
2. ABCD est un parall´elogramme si, et seulement si, −−→ AB +−−→ AD =−→ AC
3Coordonn´ees d’un vecteur
Soit (O, I, J)unrep`ere.
D´efinition 2 Soit −→ uun vecteur.
Soit M, l’image du point Opar la translation t−→
u.
On appelle coordonn´ees du vecteur −→ ules coordonn´ees
du point Mdans le rep`ere (O, I, J).
Si M(x;y),onnote−→ ux
y.OI
J
x
yM
−→
u
−→
u
Exemple 3.1
1
2
3
−1
−2
123−1−2−3
−→
u
−→
v
−→
w
−→
u3
2
−→
v−2
3
−→
w2
−1
Propri´et´e4Soit Aet Bdeux points du plan.
•Deux vecteurs sont dits ´egaux si, et seulement si, leurs coordonn´ees sont ´egales.
−→
ux
y=−→
vx
y⇐⇒ x=x y=y
2

•Si −→ ux
yet −→
vx
yalors −→
u+−→ vx+x
y+y.
•Si A(xA;yA),etB(xB;yB)alors −−→
AB xB−xA
yB−yA.
•Soit kun nombre. Si −→ ux
yalors k−→
vkx
ky.
4 Colin´earit´e de deux vecteurs
D´efinition 3
Deux vecteurs non nuls −→ uet −→ vsont colin´eaires lorsqu’il existe un nombre ktel que −→ v=k−→ u.
Propri´et´e5
•Dans un rep`ere (O, I, J), deux vecteurs non nuls sont colin´eaires si, et seulement si, leurs
coordonn´ees sont proportionnelles.
•Si −→ uet −→ vsont non nuls et si −→ v=k−→ ualors kestnonnuletona−→ u=1
k
−→
v.
Propri´et´e6Soit A,B,Cet Dquatre points du plan.
•Trois points A,Bet Csont align´es si et seulement si les vecteurs −−→ AB et −→ AC sont colin´eaires.
•Deux droites (AB)et (CD)sont parall`eles si et seulement si les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont
colin´eaires
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