VECTEURS 1 Translation et vecteur 2 Somme de deux
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VECTEURS 1 Translation et vecteur Définitions 1 −− → Soit A et B deux points. On appelle translation de vecteur AB, la transformation qui a tout point −− → M associe l’unique point N telle que [AM ] et [BN ] aient le même milieu. AB est le vecteur associé à la translation qui transforme A en B. Remarques : N − −→ −−→ • Les vecteurs AB et M N définissent une même trans− −→ −−→ lation. On dit que AB = M N • AM N B est un parallélogramme • Si A et B sont confondus, tout point M sera confondu avec son image. M est dit alors invariant −→ et le vecteur AA est appelé vecteur nul. M B A • Dans la translation qui transforme A en B, (AB) est la direction du déplacement, AB est la − − → longueur ; AB contient en plus l’indication du sens de déplacement : de A vers B. Propriété 1 Soit A, B, C et D quatre points distincts du plan. −− → −−→ AB = CD ⇔ D est l’image de C par la translation qui transforme A en B. ⇔ [AD] et [BC] ont le même milieu. ⇔ ABDC est un parallélogramme. Remarques : Pour désigner l’unique vecteur associé à une translation, on utilise une lettre unique, par exemple → − → − → u . On notera ainsi t− u la translation de vecteur u . 2 Somme de deux vecteurs Propriété 2 Soit A, B et C trois points du plan. → qui transforme A en B, puis la translation t− − → qui Appliquer successivement la translation t− AB BC → qui transforme A en C. transforme B en C, revient à appliquer la translation t− AC Définition 1 Soit A, B et C trois points du plan. −→ → obtenue en appliquant successivement les translation t−→ • Le vecteur AC de la translation t− AC − −→ −−→ −→ −− → −−→ AB − → , est appelé somme des vecteurs AB et BC. On écrit : AC = AB + BC suivie de t− BC −→ − −→ −−→ • La relation AC = AB + BC est dite relation de chasles. 1 Remarques : − → v • Pour additionner, graphiquement, deux → → vecteurs − u et − v , on place trois points −− → → −−→ − A, B et C tels que AB = − u et BC = → v. −→ → − → − On a alors u + v = AC. • D’après le relation de Chasles : − −→ − −→ −→ − − −→ − − → → AB + BA = AA = 0 . soit AB = −BA. − −→ − −→ • BA est l’opposé du vecteur AB B − → u − → v − → u A − → → u +− v Propriété 3 − → −→ 1. Le point I est le milieu du segment [AB] si, et seulement si, AI = IB − − → −−→ −→ 2. ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, AB + AD = AC 3 Coordonnées d’un vecteur Soit (O, I, J) un repère. → Définition 2 Soit − u un vecteur. → Soit M , l’image du point O par la translation t− u. → − On appelle coordonnées du vecteur u les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). x → Si M (x; y), on note − u . y M y − → u J O I x Exemple 3.1 3 − → v 3 − → u 2 −2 → − v 3 2 → − w −1 − → u 2 1 −3 −2 −1 −1 1 2 − → w 3 −2 Propriété 4 Soit A et B deux points du plan. • Deux vecteurs sont dits égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont égales. x = x x x → − → ⇐⇒ u =− v y y = y y 2 − → u C x + x x x − → − → alors → u +− v . • Si → u et − v y y + y y −− → xB − xA • Si A(xA ; yA ), et B(xB ; yB ) alors AB . yB − yA x kx → → • Soit k un nombre. Si − u alors k− v . y ky 4 Colinéarité de deux vecteurs Définition 3 − − − → Deux vecteurs non nuls → u et → v sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre k tel que → v = k− u. Propriété 5 • Dans un repère (O, I, J), deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles. 1→ → → → → → v. • Si − u et − v sont non nuls et si − v = k− u alors k est non nul et on a − u = − k Propriété 6 Soit A, B, C et D quatre points du plan. −− → −→ • Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. − − → −−→ • Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires 3
