Cours de mathématiques de terminale S

Cours de mathématiques de terminale S
Nicolas FRANCOIS
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3 février 2011

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Table des matières
I Le plan complexe et les nombres complexes 7
I L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A Définitions ........................................... 8
B Addition et multiplication des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C Leplancomplexe........................................ 9
II Conjugaison,module,division..................................... 10
A Définitions, premières conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B Division............................................. 10
C Opérationsetconjugaison................................... 10
III Équation du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II Le raisonnement par récurrence 13
I Principe du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II Desexemples.............................................. 15
III Exercices ................................................ 16
III Dérivation, primitives d’une fonction 17
I RappelsdepremièreS......................................... 18
II Compléments.............................................. 19
A Dérivation d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
B Dérivéessuccessives ...................................... 20
C Demi-tangentes, tangentes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
III TP : étude de la fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
IV Primitivesd’unefonction ....................................... 23
A Définition............................................ 23
B Calculdeprimitives ...................................... 24
V Notiond’équationdifférentielle .................................... 24
IV Combinatoire 27
I Généralités ............................................... 28
A Définitions ........................................... 28
B Quelques grands principes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3

C Factorielle............................................ 29
II Permutations, p-listes ......................................... 30
A Permutationsd’unensemble ................................. 30
Bp-listes ............................................. 30
III Combinaisons.............................................. 31
A Définition............................................ 31
B Calcul de n
p.......................................... 32
IV Propriétés des coefficients du binôme, formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 33
A Quelques propriétés des n
p................................. 33
B FormuledubinômedeNewton................................ 34
V Produit scalaire dans le plan et l’espace 37
I Rappels sur le produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A Définitions ........................................... 38
B Propriétés............................................ 38
C Un complément : distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II Produitscalairedansl’espace..................................... 39
A Définition............................................ 39
B Propriétés............................................ 40
III Orthogonalitédansl’espace...................................... 40
A Vecteursorthogonaux ..................................... 40
B Vecteurnormalàunplan................................... 41
IV Applications .............................................. 42
A Équationsdeplans....................................... 42
B Distanced’unpointàunplan ................................ 42
C Planmédiateur......................................... 43
D Équationsdesphères ..................................... 43
VI La fonction exponentielle 45
I Introduction .............................................. 46
II L’équation y0=y............................................ 46
A Unlemmeimportant...................................... 46
B Unepremièrepropriété .................................... 46
C De l’importance d’une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
D Construction de la courbe représentative de la fonction exp ................ 47
III La fonction exponentielle : propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A Une relation fonctionnelle fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B Nouvellenotation ....................................... 49
IV Étude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A Sensdevariation........................................ 49
B Limites en ±∞ ......................................... 50
C Tableau de variations et courbe détaillée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
D Dérivées des fonctions de la forme exp ◦u.......................... 51
E Approximation affine en 0................................... 52
4

VII Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes 53
I Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A Module,argument ....................................... 54
B Propriétés............................................ 55
C FormuledeMoivre....................................... 55
II Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A Définition............................................ 56
B Propriétés............................................ 56
C Propriétés............................................ 57
III Applicationsgéométriques....................................... 57
VIII Étude des suites réelles 59
I Différents modes de définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A RappelsdepremièreS..................................... 60
B TD : suites ariméthico-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
III Diverses formes de représentations graphiques d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A Représentationsurunaxe................................... 62
B Représentation sous forme fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
C Représentation des suites définies par une relation de la forme un+1 =f(un)...... 63
IV Différents modes de définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
V Propriétésgénérales .......................................... 65
VI Limites ................................................. 66
A Définitions ........................................... 66
B Théorèmes ........................................... 66
VII Théorèmes liés au sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A Convergencemonotone .................................... 68
B Suitesadjacentes........................................ 69
IX Le conditionnement 71
I Rappelsducoursdepremière..................................... 72
II Probabilitésconditionnelles ...................................... 73
A Introduction .......................................... 73
B Définition............................................ 73
C Conséquences.......................................... 73
D Arbrespondérés ........................................ 73
E Loidesprobabilitéstotales .................................. 74
III Indépendance.............................................. 74
A Indépendanced’événements.................................. 74
B Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A Index 77
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