1 Université P. et M. Curie Probabilités LM 231 2005-2006

Université P. et M. Curie
LM 231
Probabilités
2005-2006
Feuille d'exercices n°2
Ex.1
1) On lance une fois un dé équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. Soit X le point
obtenu. Donner la loi de X.
2) On lance deux fois le dé. Soit S la somme des points obtenus. Donner la loi de S.
3) En déduire la probabilité que la somme des deux points amenés soit supérieure ou égale à 10.
Ex.2
1) On lance un dé équilibré dont les six faces sont numérotées 1, 2, 2, 3, 3 et 3. Soit X le point
obtenu. Donner la loi de X.
2) On lance deux fois le dé précédent. Soit S la somme des points obtenus. Donner la loi de S.
Ex.3
Soit Ω = { ω1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 } un espace fini à 5 éléments de probabilités respectives 1/4 ,
1/4 , 1/6 , 1/6 et 1/6 . On note X et Y les variables aléatoires définies par
X(ω1)=X(ω2)=0 , X(ω3)=X(ω4)=1 , X(ω5)=2 ; Y(ω1)=Y(ω2)=0 , Y(ω3)=Y(ω5)=1 , Y(ω4)=2 .
1) Déterminer les loi de X et Y, puis celles de X2 et Y2.
2) Calculer la loi conjointe de (X,Y) , puis celle de X+Y.
3) Calculer E(X) et E(Y). Calculer E(X+Y) de deux manières différentes .
Ex.4
Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire 3 boules d'un seul coup ( 3<n ).
Soit X la v.a. égale à 1 si on a tiré la boule n° 1, égale à 0 dans le cas contraire. Donner la loi de X
et calculer E(X).
Ex.5
On lance n fois une pièce dont la probabilité de faire pile est p .
On note Xi la v.a. égale à 1 si on obtient pile au ième lancer, et égale à 0 sinon , i=1,…,n.
1) Donner la loi de Xi et calculer E(Xi).
2) On pose X= X1+…+ Xn . Donner la loi de X et calculer E(X).
3) Pour p=1/2 , la pièce est équilibrée, calculer la probabilité d'obtenir 5 piles en 10 lancers.
Ex.6
On range au hasard n boules dans 4 cases numérotées de 1 à 4 , chaque case pouvant
recevoir plus d'une boule. Soit X le nombre de boules rangées dans la case 1. Calculer la loi de X.
Ex.7
Vingt microbes sont réparties de façon quelconque dans un kilogramme de jambon frelaté.
En mangeant 100g de ce jambon, quelle est la probabilité d'avaler 5 microbes ?
Ex.8
D'un jeu de 52 cartes, on tire une à une n cartes sans remise (2≤n≤52). Soit Xi la v.a. égale
ème
à 1 si la i carte tirée est un as, et égale à 0 sinon ; i=1,…,n.
1) Donner la loi de Xi et calculer E(Xi).
2) On pose X= X1+…+ Xn . Que représente X ? Donner la loi de X et calculer E(X).
Ex.9
D'un ensemble de 50 boules numérotées, on extrait 20 boules sans remise. Puis, on les
remet dans l'ensemble des boules. Ensuite, on extrait au hasard 12 boules sans remise. Calculer la
probabilité que ces deux extraits aient exactement k éléments en commun.
Ex.10 Un lac contient un nombre inconnu N de poissons que l'on se propose de déterminer. Pour
cela, on pêche 100 poissons, on les marque et on les rejette à l'eau. On pêche à nouveau 100
poissons. Soit X la v.a. égale au nombre de poissons marqués parmi les 100 pêchés.
1) Déterminer la loi de X en fonction de N.
2) Quelle est la valeur de X la plus probable, c'est-à-dire l'entier k pour lequel P(X=k) atteint son
P( X = k )
maximum ? On pourra étudier
.
P( X = k − 1)
3) En pêchant 100 poissons, on a observé 10 poissons marqués.
a) Déduire de la question précédente une estimation de N ( c'est un estimateur du maximum de
plausibilité ).
b) Quelle est la valeur de N qui rend maximum P(X=10) ? En déduire une 2ème estimation de N
( c'est un estimateur du maximum de vraisemblance ).
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Ex.11 Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.
1) On tire une boule de l'urne. Soit X la v.a. qui désigne le numéro de la boule tirée. Donner la loi
de X et calculer E(X).
2) On tire des boules une à une, sans remise, jusqu'à obtenir la boule n° 1. Soit Y le nombre de
tirages ainsi effectués. Donner la loi de Y et calculer E(Y).
Ex.12 D'un jeu de 52 cartes, on tire une à une des cartes avec remise, jusqu'à obtenir un as.
1) Soit X le nombre de tirages. Donner la loi de X et calculer E(X).
2) Soit Y le nombre de cartes autres qu'un as qu'il aura fallu tirer pour obtenir le 1er as.
Exprimer Y en fonction de X. En déduire la loi de Y et calculer E(Y).
Ex.13 Un footballeur s'entraîne au tir au but. En moyenne, il réussit ses tirs 2 fois sur 3. En 9 tirs,
quelle est la probabilité qu'il mette exactement 6 fois le ballon dans le filet.
Ex.14 Dans un pays donné, la probabilité de naissance d'un garçon est 0,48. En supposant que les
naissances de fille et garçon sont indépendantes, calculer la probabilité qu'une famille de 8 enfants
ait 4 filles.
Ex.15 On jette 5 dés équilibrés. Calculer la probabilité que 3 dés exactement montrent le point 6.
Ex.16 On tire une à une 5 cartes, sans remise, d'un jeu de 52 cartes. On note X le nombre d'as
obtenus. Donner la loi de X et calculer E(X).
Ex.17 On lance deux dés équilibrés. On note X le plus grand des numéros obtenus , et Y le plus
petit des numéros.
1) Déterminer les lois de X et Y.
2) Calculer E(X) et E(Y).
Ex.18 On suppose que la probabilité de naissance est la même toute l'année et une année
comporte 365 jours. On tire au hasard n personnes d'une population.
1) Quelle est la probabilité que 2 personnes au moins aient le même anniversaire ?
2) Quelle est la probabilité que 2 personnes au moins soient nées le même jour donné ?
Ex.19 Soit X une v.a. de loi géométrique de paramètre p à valeurs dans N*, et soit m≥1 un entier
fixé. Déterminer les lois de Y=max(m,X) et Z=min(m,X).
Ex.20 Une population étudiée comporte 60% de femmes et 40% d'hommes. On sait par ailleurs
que 30% des femmes portent les cheveux courts et que 10% des hommes portent les cheveux longs.
Calculer la probabilité qu'une personne portant des cheveux longs soit une femme.
Ex.21 ( Les jumeaux )
Il existe des jumeaux de deux types suivant qu'ils proviennent ou non du même œuf. On a
observé que les proportions de ces deux types dans les populations humaines sont de 1/3 et 2/3
respectivement. Deux jumeaux issus du même œuf sont nécessairement de même sexe à la
différence de jumeaux issus d'œufs différents. On suppose les deux sexes équiprobables .
1) En observant les sexes de deux jumeaux pris au hasard, quelle est la probabilité que les deux
jumeaux soient de sexes masculins ?
2) Calculer la probabilité que deux jumeaux de sexes masculins proviennent du même œuf.
Ex.22 ( Une élection )
Dans une élection au scrutin majoritaire à 2 tours, il y a deux candidats A et B . Au 1er tour, A
obtient 40% des voix, B 45% et le taux d'abstention s'élève à 15%. On suppose que les électeurs
qui ont voté au 1er tour, voteront au 2nd tour. Un sondage indique que 5% des voix de A se
reporteront sur B, 10% des voix de B se reporteront sur A, 2/3 des abstentionnistes du 1er tour
voteront au 2nd tour à raison de 60% pour A et 40% pour B.
1) Calculer la probabilité qu'un abstentionniste du 1er tour vote pour A ( respectivement pour B ).
2) Quel est le candidat le mieux placé selon le sondage ?
Ex.23 Sur le campus de Jussieu, un enseignant nommé A passe en moyenne 1/6 de son temps
dans son bureau, et le reste du temps dans l'une des 4 salles où il donne des cours. On suppose que
A choisit une de ces 4 salles de façon aléatoire pour donner ses cours. Sachant que l'enseignant ne
se trouve pas dans les 3 premières salles de cours, calculer la probabilité qu'il soit dans la salle n°4.
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