f de x - Cours2Mat

9- Fonctions linéaires et fonctions affines
9- Fonctions linéaires et fonctions affines
Exercice
Un cinéma propose 2 tarifs:
Tarif 1 : 7€ la séance.
Tarif 2: Un abonnement de 40€ puis 2€ la séance
a) Dans chaque cas compléter le tableau
Tarif1:
Séances
Prix(€)
Calculs:
Tarif2:
2
4
8
12
Séances
Prix(€)
2
4
8
12
b) Soit x le nombre de séances, exprimer en fonction de x le prix de chaque tarif.
Tarif1:
A chaque nombre x, on associe le nombre …….
Tarif 2:
A chaque nombre x, on associe le nombre …….
On a définit une FONCTION LINEAIRE
qu’on appelle f et on note :
On a définit une FONCTION AFFINE
qu’on appelle g et on note :
ou
f: x  …..
f(x) = …..
f se lit « f de x »
f(x)
ou
g: x  …..
g(x) = …..
g(x) se lit « g de x »
Une fonction linéaire traduit
une SITUATION DE PROPORTIONNALITE.
Quels que soient les nombres a et b,
La fonction x  ax est appelée fonction linéaire
et correspond à une situation de proportionnalité
La fonction x  ax+b est appelée fonction affine.
Rmq : Une fonction linéaire est une fonction affine où b=0
c)
f(x)= 7x
g(x) = 40 + 2x
Calculer :
f(3)=
g(3)=
Avec le tarif 1, …… séances coûtent ……..
Avec le tarif 2, …… séances coûtent ……..
On dit que : L’IMAGE de 3 est 21 par f
et on note :
f(3)= 21
On dit que : L’IMAGE de 3 est …………….
et on note :
g(3)=
Calculer :
f(15)=
g(15)=
Calculer :
f(0)=
g(0)=
Quelle est l’image de 10 par la fonction f ? Quelle est l’image de 6 par la fonction g ?
……………………………………………………………….. ……………………………………………………………….
e) Trouver x tel que f(x)= 35
c'est
c'est-à-dire
7x = 35
Trouver x tel que g(x)= 72
c'est-à-dire
40 + 2 x = 72
On dit que :
On dit que :
5 est L’ANTECEDENT de 35 par f.
……………………………………………………………
Quels que soient les nombres x et y,
si f(x)=y
y est l’image de x par l’application f.
x est l’antécédent de y par l’application f.
Tarif1:
Séances
2
4
8
12
Prix(€)
14
28
56
84
Tarif2:
Séances
2
4
8
12
Prix(€)
44
48
56
64
e) Sur le même repère, représenter les 2 fonctions
f) A l’aide du graphique:
1
1-Déterminer
quand le tarif 2 devient plus intéressant que le tarif 1.
2 Pour le tarif1, quel est le prix de 6 séances, de 9 séances et de 10séances.
23 Combien de séances peut on avoir avec 75€ pour le tarif 2?
3-
Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction affine f(x)= ax + b est une droite.
La représentation graphique d’une fonction linéaire f(x)= ax est une droite passant par l’origine.
a est le coefficient directeur de la droite et correspond à la pente de la droite
b est l’ordonnée à l’origine de la droite et correspond à la valeur de l’ordonnée pour x=0
Ex22p157
Voici la courbe représentative de la fonction f: -0,5x + 4
Lire sur le graphique: f(-4)= …
f(6)=…
f(…)=3
f(…)=5
L’image de 4 par f est: ….
L’antécédent de 4 par f est: ….
Ex23p157
Lire sur le graphique: g(6)= …
g(-4)=…
g(…)=-3
L’image de 2 par g est: ….
L’antécédent de 0 par g est: ….
g(…)=-5
Ex 13p156
Vrai ou Faux
a)
b)
c)
d)
-3 est l’image de -4 par la fonction f.
l’image de -1 est 6 par la fonction f.
l’antécédent de 5 est 2 par la fonction f.
7 est l’antécédent de 4 par la fonction f
f(-3)=-4
f(-1)=6
f(2)=5
f(4)=7
Ex 14 p156
Soit la fonction f : x  -4x
a) compléter: f(x)=
f(-3)=
b) L’image de -3 est:
c) L’antécédent de -20 est:
d) Calculer l’image de 4.
e) Calculer l’antécédent de -28.
f) Que dire de la fonction f ?
g) Quelle est sa représentation graphique?
f(5)=
Ex 15 p156
Soit la fonction g : x  2x + 3
a) compléter: g(x)=
g(-4)=
b) L’image de -4 est:
c) L’antécédent de -4 est:
d) Calculer l’image de 5.
e) Calculer l’antécédent de 9.
f) Que dire de la fonction g ?
g) Quelle est sa représentation graphique?
g(-3,5)=
Ex 17 p157
voici un tableau de valeur d’une fonction f
x
4
-3
12
2
5
8
f(x)
12
-6
5
4
7
17
a) compléter:
f(-3)=
f( … )=4
f(5)=
f( … )=5
b) L’image de 8 est:
c) L’antécédent de 12 est:
Ex 18 p157
voici un tableau de valeur d’une fonction g
x
-8
-3
-1
6
3
10
g(x)
-4
10
12
8
6
4
a) compléter:
b) L’image de -8 est:
c) L’antécédent de 6 est:
g(10)=
g(-1)=
g( … )=10
g( … )=8
Ex 19 p157
Soit la fonction f: x  -3x
x
-5
f(x)
-1
0
4
6
-18
a) compléter:
Ex 20 p157
Soit la fonction g: x  2x – 7
x
g(x)
a) compléter:
-4
-3
3
-9
1
Ex 30 p158: Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines?
f: x  2x
g: x  2x+5
h: x  3x²
i: x  -6x
Ex 31 p158:
p158 Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines?
f(x)=6 +4
f(x)=6x
g(x)= 3x
5
h(x)= -4x
i(x)=3x²
Ex 42 p159:
p159 Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines?
f: x  4x+5
g: x  -2x+5
h: x  2x²+4
i: x  -6x
Ex 43 p158:
p158 Parmi les fonction suivantes, lesquelles sont linéaires? affines?
f(x)=6 +4
f(x)=6x
g(x)= 3x + 3
5 7
h(x)= -4x
i(x)=3x²+4
Ex 25 p158: On a représenter les fonctions f (en vert) et g (en orange)
a) Lire sur le graphique les valeurs de f(2)
b) Quelle est l’image par la fonction g de -5?
c) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x)=g(x) ?
f(-4)
de1?
et
f(0)
de 4?
Ex 34 p159: Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont linéaires? affines?
Ex 55 p160:
Ex26p158
Méthode: Représenter une fonction affine ou linéaire
f(x)= 2x - 3
étape1: Je repère la nature de la fonction
la fonction f est affine
donc sa représentation est une droite
étape2: Je fais un tableau de valeurs
x
f(x)
0
je choisis 2 valeurs
je calcule
étape3: Je place les points et
Je trace la droite
Ex5p155
f: x  2x +4
Ex6p155
g: x  -0,5x + 2
Ex36p159
g: x  -2x
Ex54p160
f: x  -2x + 4
g: x  -2x + 2
h: x  -2x – 2
i: x  -2x – 5
Que remarque-t-on?
remarque
Pouvait
Pouvait-on
le prévoir sans tracer?
f est affine, donc s’écrit comme: f(x) = ax+b
- la droite coupe l’axe des ordonnées en (0;7)
donc l’ordonnée à l’origine est b=7
- lorsque x augmente de 1, f(x) diminue de 2,
donc le coefficient directeur est a=-2
la fonction s’écrit donc comme: f(x)= -2x+7
Ex1et2p154: Déterminer graphiquement l’expression algébrique des fonctions
Ex56p160:
a) Lire l’ordonnée à l’origine.
b)Lire le coefficient directeur.
c) Déterminer l’expression algébrique de g
Ex57p160:
Déterminer l’expression algébrique de f et de g
Ex58p160:
Déterminer l’expression algébrique de h et de t
Déterminer l’expression algébrique d’une fonction à partir de 2 points
Exemple: Soit f une fonction affine passant par les points M(4;5) et N(6;9)
Déterminer l’expression algébrique de f.
f est affine donc s’écrit sous la forme f(x)
f( =ax+b
Le coefficient directeur vaut: a = f(x2) – f(x1) = Δy
x2 – x1
Δx
Ici:
a = yN – yM = 9 – 5 = 4 = 2
xN – xM 6 – 4 2
On a donc : f(x)
f( = 2x + b
Comme M est un point de la droite, alors:
soit
donc
donc
Finalement on a: f(x)
f( = 2x – 3
f( M) = 2xM+ b
f(x
5 = 2 x 4 +b
5=8+b
5–8=b
-3=b
Déterminer l’expression algébrique d’une fonction à partir de 2 points
Ex3p155 Soit f une fonction affine passant par les points M(2;4) et N(4;10).
Ex3p155:
Déterminer l’expression algébrique de f.
Ex4p155 Même question avec les points A(3;5) et B(6;-4).
Ex4p155: