Cours / ED / Annales

Stéphane Radoykov
CNAM
2010-2011
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STA001
Cours / ED / Annales
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STA001 16/10/10 Chapitre 1 : Espaces probabilisés Stéphane Radoykov oct. 2010
I) Expérience aléatoire
C’est une expérience dont on ne peut pas savoir le résultat à l’avance. On appelle l’ensemble fondamental de
tous les résultats possibles. On appelle un résultat possible dans .
 Ex : lancer de dés :
1,2,3,4,5,6
On appelle évènement aléatoire une proposition qui peut se réaliser ou ne pas se réaliser. A l’issue de
l’expérience, le résultat             identifie un
 Ex : E : « il sort une face paire » :
: 2,4,6E
o L’évènement est donc l’ensemble des résultats qui réalisent la proposition.
II) Opérations sur les évènements
 On dit que  est l’évènement certain. Ex : « il sort 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 ».
 L’évènement impossible est . Il n’est jamais réalisé.
 « E entraîne F » signifie que E est contenu dans F :
EF
=
EF
 On appelle
E
le contraire de E.
 Si H=EetF,
H E F
. H est réalisé si et seulement si E et F se réalisent.
o Rq : Si
EF  
on dit que et E et F sont incompatibles. On parle aussi d’ensembles disjoints.
 Si G=EouF,
G E F
. G est réalisé si et seulement si l’un ou l’autre ou les 2 est réalisé.
o Rq : Par convention,
EF
sera noté
EF
si on sait que E et F sont incompatibles.
III) Espaces probabilisés
1. Définition
On a . Soit
a
une famille d’évènements = famille d’ensembles = « tribu ». On appelle probabilité ou loi de
probabilité sur  une fonction définie sur
a
, à valeurs dans [0;1].
[0,1]
()
a
A P A
2( ) 1
( , ) , ( ) ( )
P
A B a P A B P A B B A B
Interprétation avec les masses : P(A) = « masse » de A. La masse de  est 1.
2. Propriétés
 P(A+B)=P(A)+P(B) car A et B sont incompatibles.
1P A P A
o Dm :
1P P A P A   
 Si
AB
, alors
( ) ( )P A P B
.
 Cohérence avec la loi expérimentale des Grands Nombres :
o Soit une expérience aléatoire répétée n fois. On note
E
n
le nombre de fois ou l’évènement E se
réalise. On appelle fréquence expérimentale de E le rapport
() E E n n
. On observe que lorsque n
augmente,
()E
converge vers
()p P E
. Nombre de succès sur nombre d’essais. Rq :
5