ANA 14 - Matheux.be

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Exercices résolus de mathématiques.
ANA 14
EXANA0140 – EXANA149
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Jacques Collot
Nov 2005

www.matheux.be.tf - ANA 14 - 2 -
EXANA140 – ERM, 2003.
Calculer :
( )
2
02
cos sin tan
lim
sin 1 1 sin
x
x x x
L
x x
→
−
=+ −
()
(
)
(
)
()()
( )
()
( )
( )
()
( )
( )
()
3 2
2
0 0
2 2 2
3 2 2 2
22
0 0
2 2
0
cos sin sin sin 1 1
cos sin tan
lim lim
sin 1 1 sin sin 1 1 sin 1 1 cos sin
cos 1 sin 1 1 cos 1 cos cos 1 sin 1 1
lim lim
sin cos 1 cos cos
cos cos 1 sin 1 1
lim 1 c
x x
x x
x
x x x x
x x x
L
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
→ →
→ →
→
− + +
−
= =
+ − + − + +
− + + − + + + +
= = −
+ + + +
= − +
( )
3
os cosx x = −
Résolu le 17 juillet 2005

www.matheux.be.tf - ANA 14 - 3 -
EXANA141 – ERM, 2003.
Etudier la fonction
( )
: : ln
1
x
f x f x x → → =
−
ℝ ℝ
(Domaine, zéros, croissance et décroissance, extremums, points d’inflexion
asymptotes, représentation graphique)
{
}
( ) ( )
( )
0 0
1 1
1) dom \ 0,1
1 1 pas de racine
1
2) Zéros : 1
1 1
1 2
3) AV:
) 0 avec lim ( ) lim ( )
) 1 avec lim ( ) lim ( )
4) AH: 0 car lim lim 0
1
5) '
x x
x x
x x
f
x
xx
x
x x
x
a x f x f x
b x f x f x
y f x f x
f x x
> <
> <
→ →
→ →
→+∞ →−∞
=
> → = →
−
< → = − → =
−
= = = −∞
= = = +∞
= = =
= −
ℝ
( )
( ) ( )
( )
2
2
0 1
' / /
1/ /
Il n'y a pas d'extremums
2 1 1
6) '' un point d'inflexion en 2
1
1 1
'' a le signe de 2 1 concavité négative e
t concavité positive
2 2
f
xf
x
f x x
x x
f x x x x
→ − + −
−
−
= → =
−
− → < >
ց ր ց
Résolu le 27 juillet 2005

www.matheux.be.tf - ANA 14 - 4 -
EXANA142 – Liège, septembre 2005.
a) Soit la fonction
( )
x
f x e x
−α
= +β
dépendant d’α et β réels avec α > 0
i) Déterminer les domaines de définition, de continuité et de
dérivation de f.
ii) Déterminer les asymptotes éventuelles de f.
iii) Déterminer les valeurs de α et β pour lesquelles f admet au
moins un extremum. Donner la nature de l’extremum (ou des
extrema).
b) Déterminer les conditions sur α et β pour que les graphes des fonctions
( )
x
g x e
−α
=
et
( )
h x x
= β
soient tangents au point d’abscisse
1
x
= −
.

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( )
a) i) - Aucune restriction sur le domain
e :
- La fonction ( ) est continue sur (exponentielle standard) et la fonction
= l'est aussi (droites pasant par l'origine). La so
x
dom f
g x e
h x x
−α
=
=
β
ℝ
ℝ
mme de deux fonctions continues
sur est une fonction continue sur . Le domaine de continuité est donc .
- La dérivée de est '( ) , exponentielle standard sans restriction
donc, le
x
f f x e
−α
= −α +β
ℝ ℝ ℝ
domaine de dérivation de est .
ii) - Aucune asymptote verticale envisageable ( : ).
- Pour observer une asymptote horizontale ou oblique, on utilise la méthode
de Cauchy.
( )
lim
x
f
dom f
f x
x
→∞
ℝ
ℝ
( )
lim lim lim lim lim 1
lim ( ) lim lim 0
La fonction f admet donc une asymptote oblique d'équation .
iii) '( )
x x x x
Hospital
x x x x x
x x
x x x
e x e e e
x x x
f x kx e x x e
y x
f x
−α −α −α −α
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
−α −α
→∞ →∞ →∞
+β −α
= = + β = + β → +β = β
− = +β −β = =
= β
1/
. Elle admet un ou plusieurs extremum si elle s'annule.
Il faut donc ln ln ln
Pour que cette valeur unique soit possible, sacha
x
x x
e
e e x x x
−α
− α α
−α −α
α
= −α +β
β β β α
α = β ⇔ = ⇔ −α = ⇔ = ⇔ =
α α α β
'' 2
nt que (énoncé), il faut 0.
Pour voir la nature de l'extremum, on calcule la dérivée seconde en son point
pour y étudier la concavité : ( ) est une exponentielle standard et donc toujou
x
f x e
−α
α > 0 β >
= α
rs > 0.
La concavité est donc partout vers le haut et la nature de notre extremum est donc en fait
un minimum.
b) La fonction ( ) est une droite passant par l'origine et de coefficient angulaire h x x= β β
( 1)
.
Pour qu'elle soit tangente à ( ) , par définition du nombre dérivée, il faut
d'abord que '( 1) ln
Pour qu'il y ait tangence, il faut maintenant que
x
g x e
g e e e
g
−α
−α − α α
• =
β β
− = β ⇔ −α = β ⇔ −α = β ⇔ = − ⇔ α = −
α α
• −
( ) ( ) (
)
1 1 ln
Pour que ces deux conditions soient possibles, il faut que et donc que .
Les seules valeurs correspondantes aux 2 conditions simultanées sont 1
et donc .
h e
e
α
= − ⇔ = −β ⇔ α = −β
• α > 0 β < 0
α =
β = −
Résolu le 14 septembre 2005. Steve Tumson