Fonctions affines

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Fonctions affines
CHAPITRE
On peut coder un message en utilisant le chif-
frage affine. Par exemple, le message « BON-
JOUR » devient le message « GTQETLC » par
le chiffrage affine (ex : comme
est la deuxième lettre de l’alphabet, on multi-
plie par et on l’ajoute à , on obtient et
la septième lettre de l’alphabet est . Si le ré-
sultat est supérieur à , on prend le reste de
la division euclidienne du résultat par .
Coder le message suivant par le chiffrage affine
: « VIVE LES MATHS ».
Énigme du chapitre.
—Déterminer par le calcul l’image d’un
nombre donné et l’antécédent d’un
nombre donné.
—Connaître et utiliser la relation
entre les coordonnées d’un
point qui est caractéristique de son
appartenance à la droite représentative
de la fonction affine .
—Déterminer une fonction affine à partir
de la donnée de deux nombres et leurs
images.
—Représenter graphiquement une fonc-
tion affine.
—Lire et interpréter graphiquement les
coefficients d’une fonction affine repré-
sentée par une droite.
Objectifs du chapitre.

I/ Fonctions affines
Activité A. Une nouvelle fonction, encore !
1. Un site d’achat de musique en ligne propose un abonnement permettant de télécharger des
morceaux à prix cassés. L’abonnement coûte e, quel que soit le nombre de morceaux
téléchargés, et chaque morceau de musique est alors disponible au prix de e.
(a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Nombre de morceaux achetés
Prix total payé en euros
(b) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
(c) Soit le nombre de morceaux téléchargés et le coût total. Exprimer en
fonction de .
(d) Quelles sont les valeurs de , , , , , , ?
2. Soit la fonction définie par .
Une fonction définie par est appelée une fonction affine.
(a) La fonction est-elle une fonction affine ? Si oui, indiquer les valeurs des nombres
et .
Les nombres et sont respectivement appelés le coefficient directeur et l’ordonnée
à l’origine de la représentation graphique de la fonction affine.
(b) Calculer les images , et .
(c) Tracer dans un même repère d’origine , la représentation graphique de la fonction
et la représentation graphique de la fonction définie par .
(d) Que peut-on conjecturer au sujet de la représentation graphique d’une fonction affine ?
(e) Quelle est l’ordonnée du point d’intersection de la représentation graphique de avec
l’axe des ordonnées ?
1) Définition
Définition
Soit et deux nombres quelconques. Une fonction affine est une fonction qui associe, à tout
nombre , le nombre . On note .
Exemples
— La fonction définie par est une fonction affine, avec et .
— La fonction définie par est une fonction affine, avec et .

Remarques
Cas particuliers :
— Si , alors . La fonction est une fonction constante.
— Si , alors . La fonction est une fonction linéaire de coefficient .
Faire les exercices 1 2 3 4 5
2) Représentation graphique
Propriétés
— Dans un repère, une fonction affine est représentée par droite non
parallèle à l’axe des ordonnées. Le nombre est appelé le coefficient directeur de . Le
nombre est appelé l’ordonnée à l’origine de .
— Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées, représente une fonction
affine.
Exemple
On considère le repère suivant :
Les droites et représentent respectivement les fonctions affines et
.
Le coefficient directeur de la droite est et celui de la droite est .
L’ordonnée à l’origine de la droite est et celui de la droite est .
et , donc passe par les points de coordonnées et .
et , donc passe par les points de coordonnées et .

Remarques
— La droite est parallèle à la droite représentative de la fonction linéaire .
— La droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées .
— Les points de la droite sont tous les points du plan dont les coordonnées
vérifient l’égalite .
Faire les exercices 6 7 8 9 10

II/ Proportionnalité des accroissements
Activité B. À la découverte d’une nouvelle propriété
1. Conjecture :
(a) Soit la fonction affine définie par .
Calculer les quotients suivants :
i. ii. iii. iv.
(b) Reprendre les calculs précédentes avec la fonction définie par .
(c) Que peut-on conjecturer ?
2. Démonstration : Soient et deux nombres quelconques et la fonction affinie définie
par .
(a) On considère deux nombres distincts et . Exprimer la différence sous
sa forme développée et réduite.
(b) Factoriser la différence puis en déduire la valeur du quotient .
Propriété
Soient une fonction affine telle que , et et deux nombres distincts. L’accrois-
sement de est proportionnel à l’accroissement de , étant le coefficient de proportionnalité.
Soit :
ou
Remarque
représente l’accroisement de à et représente l’accroissement de
à .
Exemple
Soit la fonction affine définie par . On a :
Méthode
Étant donnée une fonction affine dont on connait deux points de sa représentation
graphique, la propriété de proportionnalité des accroissements va nous servir à déterminer les
coefficients et .
Exemple
Soit une fonction affine telle que et .