Chapitre 1 : Le consommateur

Chapitre 1 : Le consommateur
pierre granier
Décembre 2009
Ces notes de cours sont destinées à vous aider dans vos
révisions.
Elles ne peuvent remplacer le cours. Les graphiques n’ont pas
été reproduits, la rédaction est très approximative, la
ponctuation pour ainsi dire inexistante. La dernière sous
section sur le surplus du consommateur est absente. De très
nombreuses fautes et coquilles subsistent ce dont vous voudrez
bien me pardonner. En dépit de ces lacunes, j’espère que ces
notes vous seront utiles.
Le consommateur, qui peut être un individu ou un ménage, est un personnage central dans l’analyse microéconomique, et très souvent les manuels
de microéconomie débutent par la théorie du consommateur. La question
du comportement du consommateur peut de fait être présentée de manière
simple et intuitive. Il s’agit de déterminer quels achats ou plus généralement quels échanges va désirer réaliser un consommateur étant données
ses préférences, ses possibilités budgétaires et événtuellement d’autres contraintes comme celle de ne pouvoir échanger un bien dont on ne dispose pas.
Ce problème fait donc apparaître deux éléments essentiels: les préférences
d’une part, la contrainte budgétaire et donc le prix des biens d’autre part.
L’analyse du comportement du consommateur permet en particulier de
préciser quel est l’impact d’une modi…cation du prix d’un bien sur la demande
du consommateur pour chaque bien suivant ses préférences.
1
1
Les préférences du consommateur
La base de la théorie du consommateur se situe dans l’expression de ses
préférences sous la forme d’une simple classi…cation. L’application du principe
de rationalité revient à admettre que le consommateur est capable d’envisager
toutes les alternatives qui s’o¤rent à lui, de les comparer 2 à 2, de faire état
d’une préférence faible pour l’une d’entre elles et de choisir, parmi l’ensemble
des alternatives accessibles compte tenu des di¤érentes contraintes, celle qu’il
préfère au total.
Les alternatives en question peuvent être de natures très diverses. Il
est commode et usuel de considérer qu’il s’agit de paniers de consommation
comprenant une certaine quantité de di¤érents biens.
Une alternative A (le panier de consommation A) est donc formellement
décrit par un vecteur A(xa1 ; xa2 ; :::::; xan )
où xai est la quantité de bien i que comprend le panier a
Le consommateur est supposé capable de classer tous les paniers de consommation 2 à 2 à partir d’une relation binaire exprimant une préférence
faible et notée < Si A < B cela signi…e qu’entre le panier A et le panierB, le
consommateur est indi¤érent ou préfère le panier A
Les préférences du consommateur sont supposées véri…er certaines hypothèses fondamentales quali…ées parfois d’axiomes de la théorie du consommateur
1.1
L’axiomatique des préférences
Le premier axiome soutient que la relation de préférence est complète. Autrement
dit, le consommateur est toujours capable de classer 2 alternatives à l’aide
de cette relation. Les alternatives en question pouvant être très di¤érentes
cela n’est pas aussi évident que cela en a l’air. On admettra néammoins que
c’est e¤ectivement le cas. Formellement cela revient à admettre:
8A; B soit A < B soit B < A soit A < B et B < A qui se lit A
B
c’est à dire que le panier de consommation A est indi¤érent au panier de
consommation B pour le consommateur.
Le second axiome indique que la relation de préférence est ré‡exive ce qui
signi…e que le consomateur préfère faiblement un panier de consommation
à un autre panier strictement identique. Plus simplement cet axiome stipule que le consommateur est indi¤érent entre 2 paniers de consommations
identiques ce que l’on peut admettre aisément. Formellement A < A
2
Le dernier axiome impose la transitivité des préférences. Il s’agit certainement de l’axiome le plus fragile des trois. Cet axiome stipule donc que
si un consommateur préfère faiblement une alternative à une autre et qu’il
préfère également faiblement cette autre alternative à une troisième, alors il
préfère faiblement la première à la dernière.
Cette hypothèse est loin d’être incontournable du point de vue de la
logique pure. Elle est toutefois indispensable pour que le consommateur soit
apte à opérer des choix rationnels dès lors qu’il est confronté à plus de 2
alternatives car aucune ne serait alors préférée faiblement aux autres.
1.2
Les courbes d’indi¤érence.
Dans le cas simple où les paniers de consommation ne comprennent que
deux biens, il est possible de représenter graphiquement les préférences du
consommateur par des courbes appelées courbes d’indi¤érence.
Soit le panier A(xa1 ; xa2 ) qui correspond donc au point de coordonnées
a
x1 ; xa2 dans le repère x1 ; x2 :Une courbe d’indi¤érence est l’ensemble des paniers
J(xj1 ; xj2 ) qui sont indi¤érents au panier A et donc tel que A J:
Une courbe d’indi¤érence représente donc l’ensemble des paniers de consommation qui sont jugés équivalents par le consommateur.
Les axiomes précédents ne nous disent pas grand chose sur ces courbes
d’indi¤érence. Le seul enseignement qu’ils apportent est que par tout point
du plan de coordonnées x1 ; x2 passe une seule courbe d’indi¤érence. Pour le
montrer, supposons que ce ne soit pas le cas et que le panier A se situe sur
2 courbes d’indi¤érence qui se coupent donc au point.(xa1 ; xa2 ) Soit B et C
deux paniers de consommation situés sur les courbes d’indi¤érence passant
par le point de coordonnées.xa1 ; xa2 (Pas la même).
Le panier A étant à l’intersection des deux courbes d’indi¤érence on a :
A < B et C < A ainsi que B < A et A < C La transitivité de la realtion de
préférence faible implique C < B et B < C soit: B C:
En d’autres termes, B et C sont sur la même courbe d’indi¤érence et il
ne passe donc qu’une seule courbe d’indi¤érence par le point (xa1 ; xa2 ):
Cette propriété importante des courbes d’indi¤érence est la seule qui
se déduit directement des 3 axiomes précédents Pour obtenir d’autres propriétés, il est nécessaire de faire des hypothèses additionnelles concernant les
préférences.
3
1.2.1
Monotonicité et convexité des préférences : les preférences
normales
Il semble raisonnable de supposer que si un panier de consommation comprend, par rapport à un autre, une quantité plus importante d’au moins un
bien et pas moins d’un autre bien, ce panier est strictement préféré à l’autre.
Autrement dit, tout les biens sont désirables et un consommateur préfère toujours consommer davantage.d’un même bien à consommation non inférieure
des autres biens Cette hypothèse usuelle est connue sous le nom d’hypothèse
de monotonicité des préférences ou encore hypothèse de non saturation des
besoins. Formellement cette hypothèse s’écrit: Soit A(xa1 ; xa2 ) et B(xb1 ; xb2 )
deux paniers de consommation. Si xa1 > xb1 et xa2
xb2 ou si xa1
xb1 et
xa2 > xb2 alors A B qui se lit : le panier A est strictement préféré au panier
B.
Cette hypothèse a d’importantes conséquences sur la forme des courbes
d’indi¤érence et sur les relations liant deux paniers de consomation situés sur
des courbes d’indi¤érence distinctes. Cette hypothèse implique tout d’abord
que si A B et si xa1 > xb1 alors xb2 > xa2 Autrement dit, si deux paniers sont
situés sur une même courbe d’indi¤érence et qu’un panier comporte davantage d’un bien alors la quantité de l’autre bien est plus importante dans le
second panier. Il en résulte que les courbes d’indi¤érence sont décroissantes.
Cette hypothèse implique également qu’un panier de consommation situé
sur une courbe d’indi¤érence plus élevée qu’un autre panier est strictement
préféré à ce dernier.
L’hypothèse de non saturation des besoins assure donc que l’ensemble
des paniers de consommation faiblement préférés à un panier donné comprend tous les paniers situés sur la même courbe d’indi¤érence et ceux situés
au dessus de cette courbe. De ce point de vue une courbe d’indi¤érence
représente la frontière de l’ensemble des paniers faiblement préférés à un
panier donné.
La théorie du consommateur fait souvent appel à une autre hypothèse plus
restrictive qui joue toutefois comme nous le verrons plus loin un rôle fondamental : l’hypothèse de convexité des préférences. Très schématiquement,
cette hypothèse traduit le fait que les consommateurs apprécient la diversité
et qu’ils préfèrent les paniers de consommation mélangeant plusieurs biens
aux paniers de consommation très extrèmes comprenant une quantité très
importante d’un bien et une quantité faible des autres biens.
4
Deux formes de convexité doivent être distinguées : la convexité et la
stricte convexité.
Des préférences sont dites convexes si 8A; B véri…ant A < B et 8 2 [0; 1]
A + (1
)B < B
Autrement dit des préférences sont convexes si toute combinaison convexe
de deux paniers de consommation est faiblement préférée au moins désirable
des deux paniers.
(Rappel: une combinaison convexe est une combinaison linéaire à coe¢ cient positif ou nul dont la somme des coe¢ cients est égale à 1)
Il est facile de voir que l’hypothèse de convexité des préférences implique
que l’ensemble des paniers faiblement préférés à un panier donné est un
ensemble convexe.
(Rappel : un ensemble est un ensemble convexe si toute combinaison
convexe de deux éléments de l’ensemble appartient à l’ensemble)
Soit J(B) l’ensemble des paniers faiblement préférés à B. Soit A et C
deux paniers appartenant à cet ensemble et véri…ant donc : A < B et C < B
La convexité des préférences implique A + (1
)C < A ou C et donc
A + (1
)C < B:
Toute combinaison convexe de deux éléments de l’ensemble J(B) appartient donc à cet ensemble.
Des préférences sont dites strictement convexes si : 8A 6= B véri…ant
A < B et 8 2 ]0; 1[
A + (1
)B B
Autrement dit, des préférences sont strictement convexes si toute combinaison convexe à coe¢ cients non nul de deux paniers distincts est strictement
préférée au moins désirable des deux paniers.
Il est facile de voir que l’hypothèse de stricte convexité des préférences
implique que toute combinaison convexe de deux éléments de l’ensemble des
paniers faiblement préféré à un panier donné appartient à l’ensemble des
paniers qui lui sont strictement préférés.SoitJ(B) cet ensemble et soit A et
C deux éléments de J(B) avec A 6= C. La stricte convexité des préférences
implique A + (1
)C A ou C
Comme A < B et C < B il en résulte A + (1
)C
B Soit encore
A + (1
)C 2 J(B)
Les hypothèses de convexité et de stricte convéxité des préférences ont
d’importantes conséquences sur la forme des courbes d’indi¤érence. Consid5
érons deux paniers A et C situés sur la même courbe d’indi¤érence que B.
Graphiquement toutes les combinaisons convexes de A et C sont situées sur
le segment de droite [A; C]:La convexité des préférences implique qu’aucun
point de ce segment ne se trouve sous la courbe d’indi¤érence. Cette dernière
peut donc être une droite. La stricte convexité des préférences implique que
tout le segment de droite se situe au dessus de la courbe d’indi¤érence passant
par A et C. Les courbes d’indi¤érence sont alors nécessairement convexes
par rapport à l’origine.
Lorsque les préférences sont convexes mais non strictement convexes, les
courbes d’indi¤érences comportent une partie droite.
Lorsque les préférences véri…ent l’hypothèse de monotonicité et de stricte
convexité elles sont quali…ées de préférences normales. Des préférences normales peuvent donc être représentées par des courbes d’indi¤érence décroissantes et convexes.
2
L’utilité
La notion d’utilité est très fréquemment utilisée en économie bien qu’il ne
s’agisse pour l’essentiel que d’une manière pratique de représenter les préférences.
Son principal intérêt est de permettre l’usage d’outils mathématiques simples.
Deux signi…cations très distinctes peuvent être attribuées à l’utilité. Selon
une première conception "minimaliste", l’utilité ne sert qu’à représenter l’ordre
dans lequel le consommateur classe les di¤érentes alternatives en fonction de
ses préférences. L’utilité asociée à l’ensemble des alternatives ne doit donc
permettre que de dé…nir leur classement dans l’ordre des préférences. Le
niveau d’utilité n’a en soit aucune signi…cation. On parle alors et pour cette
raison d’utilité ordinale.
Selon la seconde conception, l’utilité doit permettre de dire si une alternative est préférée à une autre et combien de fois elle est préférée. Le niveau
d’utilité a donc une signi…cation précise et on parle alors d’utilité cardinale.
Cette conception assez discutable de l’utilité n’est pas utile tant que l’on
s’intéresse au comportement d’un consommateur évoluant dans un univers
certain et nous nous en tiendrons donc à une conceprion ordinale de l’utilité.
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2.1
La fonction d’utilité
La fonction d’utilité associe à chaque panier de biens une valeur réelle de
sorte que si un panier est préféré à un autre, l’utilité associée au premier est
supérieure à celle associée au second.
Suivant la conception ordinale de l’utilité, seul importe que le rapport
des utilités soit supérieur ou inférieur à 1. Il en résulte qu’une in…nité de
fonctions d’utilité peuvent représenter les mêmes préférences.
Soit U (x1 ; x2 ) la fonction d’utilité. A(xa1 ; xa2 ) B(xb1 ; xb2 ) , U (xa1 ; xa2 )
U (xb1 ; xb2 ):
Comme toute transformation monotone croissante de la fonction d’utilité
modi…e les niveaux d’utilité sans modi…er le signe de la di¤érence de ces
niveaux, toute modi…cation monotone croissante d’une fonction d’utilité représente
exactement les mêmes préférences.
Par exemple, la fonction d’utilité V
HU (x1 ; x2 ) + c avec H > 0
représente les mêmes préférences que la fonction U (x1 ; x2 ):
Graphiquement, la fonction d’utilité permet d’attribuer une valeur à une
courbe d’indi¤érence. Par dé…nition, une courbe d’indi¤érence va représenter
l’ensemble des couples (x1 ; x2 ) auxquels est associé le même niveau d’utilité.
Il en résulte que les courbes d’indi¤érence sont dé…nies par l’équation U (x1 ; x2 ) =
k où k est une constante.
2.1.1
Les préférences et les propriétés de la fonction d’utilité
Dans la mesure ou la fonction d’utilité ne constitue qu’une représentation des
préférences, les hypothèses faites concernant les préférences vont se traduire
par des propriétés devant être véri…ées par la fonction d’utilité. Nous commençons par étudier quelques fonctions d’utilités particulières et présentons
ensuite les propriétés d’une fonction d’utilité représentative de préférences
normales.
Considérons la fonction d’utilité U (x1 ; x2 ) = x1 + x2 . Il est clair que les
préférences représentées par cette fonction d’utilité véri…ent l’hypothèse de
non saturation des besoins. En e¤et, considérons deux paniers de consommation (xa1 ; xa2 ) et (xb1 ; xb2 )
xa1 > xb1 et xa2 xb2 ou xa1 xb1 et xa2 > xb2 ) xa1 + xa2 > xb1 + xb2
, U (xa1 ; xa2 ) U (xb1 ; xb2 ) , A B
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Par ailleurs, L’utilité associée à une combinaison convexe de ces deux
paniers est : xa1 + (1
)xb1 + xa2 + (1
)xb2 = (xa1 + xa2 ) + (1
)(xb1 + xb2 ):
Si les deux paniers considérés sont indi¤érents (xa1 + xa2 ) = (xb1 + xb2 ) d’où
il résulte : (xa1 + xa2 ) + (1
)(xb1 + xb2 ) = (xa1 + xa2 ) = (xb1 + xb2 )
Une combinaison convexe de 2 paniers n’est donc pas strictement préférée
au moins désirable d’entre eux ce qui signi…e que les préférences représentées
par cette fonction d’utilité ne sont pas strictement convexes. Elles sont par
contre simplement convexes.
La forme des courbes d’indi¤érence se déduit immédiatement de l’équation
qui les dé…nie : U (x1 ; x2 ) = k , x1 + x2 = k
, x2 = k x1 Les courbes d’indi¤érence sont donc des droites de coe¢ cient directeur -1 Les courbes d’indi¤érence sont décroissantes car l’hypothèse
de monotonicité des préférences est satisfaite, mais elle ne sont pas convexes
car l’hypothèse de stricte convexité des préférences n’est pas satisfaite.
Cette propriété des courbes d’indi¤érence est bien entendu véri…ée pour
des fonctions d’utilité plus générales de la forme U (x1 ; x2 ) = ax1 + bx2 avec
a; b > 0: L’équation d’une courbe d’indi¤érence devient U (x1 ; x2 ) = ax1 +
bx2 = k Soit : x2 = kb axb 1
Les courbes d’indi¤érence sont donc des droites de coe¢ cient directeur
égal à ab
Lorsque les courbes d’indi¤érence représentatives des préférences sont des
droites, les biens sont dits substituts parfaits. Il est important de noter que
cela ne relève pas d’une caractéristique des biens mais des préférences. Deux
biens peuvent être substituts parfaits pour un consommateur mais pas pour
un autre.
Pour bien comprendre le sens de cette notion de parfaite subtituabilité, il est utile de s’attarder sur la signi…cation économique du coe¢ cient
directeur (en valeur absolue) des "droites" d’indi¤érence. Ce coe¢ cient directeur représente le taux d’échange entre les deux biens qui laisse le consommateur indi¤érent. En d’autres termes, il représente la quantité maximale
de bien 2 que le consommateur est prêt à échanger contre une unité de bien
1. Ce taux d’échange est appelé taux marginal de subsitution.
Lorsque des biens sont des substituts parfaits, le taux marginal de substitution est donc constant. Il ne dépend pas des quantités consommées. Que le
consommateur dispose d’une grande quantité de bien 2 et d’une petite quantité de bien 1 ou inversement d’une grande quantité de bien 1 et d’une petite
8
de bien 2, il sera toujours prêt à échanger au maximum la même quantité de
bien 2 contre une unité de bien 1.
Considérons maintenant la fonction d’utilité suivante: U (x1 ; x2 ) = M in fx1 ; x2 g :Il
en résulte :
8x1 x2 ; U (x1 ; x2 ) = x2
8x2 x1 ; U (x1 ; x2 ) = x1
Les péférences représentées par cette fonction d’utilité ne véri…ent donc
pas l’hypothèse de monotonicité des préférences.En e¤et, 8x01 > x1 ; x1
x2 ) U (x01 ; x2 ) = U (x1 ; x2 ) = x2 d’où il résulte par dé…nition de la fonction
d’utilité (x01 ; x2 ) (x1 ; x2 )
L’équation des courbes d’indi¤érence représentatives des préférences devient :M in fx1 ; x2 g = k Les courbes d’indi¤érence sont donc constituées de
deux demi droites parallèles aux axes des abscisses et des ordonnées qui ont
un point d’origine commun sur la première bisectrice.
De manière plus générale, si la fonction d’utilité représentative des préférences
est de la forme U (x1 ; x2 ) = M in fax1 ; bx2 gavec a; b > 0;les coubes d’indi¤érence
sont constituées de deux demi droites parallèles aux axes qui ont pour origine un point de la droite partant de l’origine et de coe¢ cient directeur ab
On dit alors que les biens sont des compléments parfaits. Là encore ce n’est
pas une caractéristique des biens mais une caractéristique des préférences du
consommateur. Des biens sont des compléments parfaits si le consommateur
souhaite les consommer ensemble dans une certaine proportion et s’ils ne
procurent aucune satisfaction autrement. Par exemple, si Simon n’aime le
sucre que pour boire avec son café, le café et le sucre seront des compléments
parfaits pour Simon. Si Louise boit son café sans sucre mais qu’elle sucre
ses fraises, le café et le sucre ne seront pas des compléments parfaits pour
Louise.
Il va de soi que si les consommateurs ont les mêmes préférences, on pourra
alors considérer que les biens sont, ou non, par nature compléménts parfaits.
(Si tous les consommateurs boivent leur café sucré et ne tirent aucune satisfaction de toute autre utilisation du sucre et du café, le café et le sucre
peuvent être considérés par nature compléments parfaits).
On observe que dans le cas de biens compléments parfaits, le taux d’échange
qui laisse le consommateur indi¤érent n’est pas précisement dé…ni.ou plus
exactement qu’une multitude de taux d’échange laisse le consommateur indi¤érent En d’autres termes lorsque des biens sont des compléments parfaits,
9
le taux marginal de subsitution n’est pas "précisemment "dé…ni.
Considérons le cas le plus simple U (x1 ; x2 ) = M in fx1 ; x2 g
Admettons que x2 = x1 + c avec c > 0 on a alors M in fx1 ; x2 g = x1 =
M in fx1 ; x2 cg
Il en résulte que le consommateur sera indi¤érent s’il échange n’importe
quelle quantité inférieure ou égale à c + 1 de bien 2 contre une unité de bien
1 Il existe donc une multitude de taux d’échange qui laisse le consommateur
indi¤érent. Dit autrement, la quantité maximale de bien 2 que le consommateur est disposé à échanger contre une unité de bien 1 est égale à la di¤érence
x2 (x1 +1) si cette di¤érence est positive, tout taux d’échange inférieur laisse
le consommateur indi¤érent.
Considérons maintenant la fonction d’utilité suivante :U (x1 ; x2 ) = x1 x2
Les courbes d’indi¤érence sont donc d’équation :x1 x2 = k
On déduit de cette équation x2 en fonction de x1 et de k. Soit : x2 =
1
x2 (x1 ; k) = k x1
Il en résulte que la pente de la tangente en un point de la courbe d’indi¤érence
correspondant à un niveau d’utilité k est simplement égale à la dérivée (par1
( +1)
(x1 ;k)
tielle) de la fonction x2 (x1 ; k) par rapport à x1 , soit: @x2@x
=
k x1
<
1
0
Les courbes d’indi¤érence (qui ne se coupent pas) sont donc partout
décroissantes. Les préférences représentées par cette fonction d’utilité véri…ent donc l’hypothèse de monotonicité des préférences.
Pour savoir si les courbes d’indi¤érence sont convexes, il su¢ t de redériver
la fonction x2 (x1 ; k) toujours par rapport à x1
@ 2 x2 (x1 ;k)
@x21
1
( +2)
= ( + 1)k x1
>0
Cette dérivée étant positive en tout point, les courbes d’indi¤érence sont
donc convexes. On en déduit que les préférences représentées par cette fonction d’utilité sont strictement convexes. L’hypothèse de monotonicité et
celle de stricte convexité étant satisfaites, cette fonction d’utilité est donc
représentative de préférences normales. Il existe de nombreuses fonctions
d’utilité (qui ne sont pas de simples transformations monotones croissantes)
représentatives de préférences normales. Celle ci est une forme particulière
connue sous le nom de fonction Cobb-Douglas qui présente d’autres propriétés
importantes sur lesquelles nous aurons l’occasion de revenir.
L’hypothèse de préférences normales est une hypothèse usuelle qui a
10
d’importantes conséquences sur les choix du consommateur. Il est donc important d’examiner quelles propriétés doit satisfaire une fonction d’utilité
représentative de préférences normales.
Comme des préférences normales véri…ent l’hypothèse de monotonicité,
l’utilité doit augmenter si la quantité d’un bien augmente, celle de l’autre
demeurant inchangée. En d’autres termes la fonction d’utilité doit être croissante par rapport à chacun de ses arguments ce qui signi…e que ses dérivées
partielles premières doivent être positives. Soit :Ux0 i (x1 ; x2 ) > 08i = (1; 2)
Ces dérivées partielles ont un sens économique. Elles correspondent à
l’utilité marginale du bien considéré qui correspond au supplément d’utilité
procuré par la consommation d’une unité supplémentaire de ce bien. La
valeur de l’utilité marginale n’a par contre aucun sens économique car elle
dépend de la mesure arbitraire de l’utilité. Il faut en e¤et se souvenir que
toute transformation monotone croissante d’une fonction d’utilité, qui modi…era donc les utilités marginales, est représentative des mêmes préférences.
Si la valeur de l’utilité marginale n’a pas de sens économique, ce n’est pas
le cas du rapport des utilités marginales. Ce rapport correspond en e¤et au
coe¢ cient directeur de la tangente en un point d’une courbe d’indi¤érence et
donc au taux marginal de substitution en ce point. Rappelons nous en e¤et
que l’équation d’une courbe d’indi¤érence est U (x1 ; x2 ) = k En di¤érenciant
Ux0 1 (x1 ;x2 )
dx2
on obtient: Ux0 1 (x1 ; x2 )dx1 + Ux0 2 (x1 ; x2 )dx2 = 0 ) dx
=
Le
Ux0 2 (x1 ;x2 )
1
rapport des utilités marginales est donc égal au taux d’échange qui laisse le
consommateur indi¤érent c’est à dire au taux marginal de substitution. Si
l’utilité marginale du bien 1 est trois fois supérieure à celle du bien 2 alors
le consommateur est indi¤érent s’il échange trois unités de bien 2 contre
une unité de bien 1. Son niveau d’utilité est en e¤et inchangé. Comme le
rapport des utilités marginales dépend, sauf cas particulier, des quantités de
chaque bien, le taux marginal de substitution varie à priori en fonction des
quantités de chaque bien. Dans le cas particulier d’une fonction d’utilité
U 0 (x1 ;x2 )
U (x1 ; x2 ) = ax1 + bx2 on a : Ux0 1 (x1 ;x2 ) = ab . On retrouve bien le taux marginal
x2
de subsitution que l’on a calculé et qui ne dépend pas des quantités de chaque
bien. Les préférences représentées par cette fonction d’utilité ne sont toutefois
pas strictement convexes et donc ne sont pas normales.
Pour être représentative de préférences normales donc strictement convexes, la fonction d’utilité doit véri…er certaines propriétés de concavité. Plus
précisement la fonction d’utilité doit être au moins strictement quasi concave.
L’encadré suivant précise ce point. (Ce point sera abordé dans le cours de
11
mathématique de manière plus approfondie et peut donc être laissé de côté).
Dé…nition 1 : Soit U () une fonction dé…nie sur un sous ensemble S de
Rn à valeur dans R: Soit A = (xa1 ; xa2 ; :::::::xan ) et B = (xb1 ; xb2 ; :::::::xbn ) deux
éléments de l’ensemble S avec A 6= B: La fonction U () est strictement concave
si 8 2 ]0; 1[
U ( A + (1
)B) > U (A) + (1
)U (B)
Dé…nition 2 : Soit U () une fonction dé…nie sur un sous ensemble S de
Rn à valeur dans R: Soit A = (xa1 ; xa2 ; :::::::xan ) et B = (xb1 ; xb2 ; :::::::xbn ) deux
éléments de l’ensemble S avec A 6= B: La fonction U () est strictement quasi
concave si 8 2 ]0; 1[
U ( A + (1
)B) > M in fU (A); U (B)g
Dans le cas de deux biens (n = 2);ces dé…nitions impliquent:
U ( xa1 + (1
)xb1 ; xa2 + (1
)xb2 ) > U (xa1 ; xa2 ) + (1
)U (xb1 ; xb2 ) pour
la stricte concavité
U ( xa1 + (1
)xb1 ; xa2 + (1
)xb2 ) > M in U (xa1 ; xa2 ); U (xb1 ; xb2 ) pour la
stricte quasi concavité.
Si U () est une fonction d’utilité, La stricte concavité stipule donc que
l’utilité associée à une combinaison convexe des paniers de consommation est
supérieure à une combinaison convexe des utilités de chaque panier de consommation, et la stricte quasi concavité stipule simplement que l’utilité associée à une combinaison convexe des paniers de consommation est supérieure
au minimum des utilités de chaque panier.
Il est facile de voir que la stricte convexité des préférences implique la
stricte quasi concavité de la fonction d’utilité et inversement.
Si U () est une fonction d’utilité, M in fU (A); U (B)g = U (B) , A B
La stricte quasi concavité de la fonction d’utilité implique alors U ( A +
(1
)B) > U (B) , A + (1
)B
B Une combinaison convexe des
paniers de consommation est donc strictement préférée au moins désirable
des deux paniers ce qui correspond à la dé…nition de la stricte convexité des
préférences. Des préférences représentées par une fonction d’utilité strictement quasi concave sont donc strictement convexes et inversement.
Il est également facile de voir que toute fonction strictement concave est
également stictement quasi concave. En e¤et, 8 2 ]0; 1[ U (A) + (1
12
)U (B) > M in fU (A); U (B)g :Il en résulte :U ( A + (1
)B) > U (A) +
(1
)U (B) ) U ( A + (1
)B) > M in fU (A); U (B)g Si une fonction est
strictement concave, elle est aussi strictement quasi concave. L’inverse n’est
bien entendu pas vrai.
3
Les choix du consommateur
Les propriétés des préférences du consommateur étant à présent dé…nies, il est
possible d’étudier comment le consommateur opére ses choix. Conformément
au principe de rationalité, le consommateur choisit l’alternative (le panier de
consommation) qu’il préfère parmi celles (ceux) qui lui sont accessibles.
Il est clair que si les préférences véri…ent l’hypothèse de monotonicité, le
panier préféré par le consommateur est celui constitué par une in…nité de
chaque bien. Ce panier n’est clairement pas accessible au consommateur. Il
convient donc avant tout de déterminer quel est l’ensemble des paniers de
consommation possible pour le consommateur. Cet ensemble est déterminé
par la contrainte budgétaire et d’autres contraintes comme celle de non négativité des consommations ou d’un niveau minimal de consommation de l’un
des biens.
3.1
La contrainte budgétaire
Admettons pour commencer que le consommateur dispose d’un revenu R Le
consommateur peut acquerir tous les paniers de consommation dont le coût
total est inférieur ou égal à ce revenu. En notant respectivement P1 et P2 les
prix des biens 1 et 2, la contrainte budgétaire s’écrit donc: P1 x1 + P2 x2 R
L’ensemble budgéraire est l’ensemble des couples (x1 ; x2 ) qui satisfont
cette inégalité. Graphiquement, cet ensemble budgétaire se situe sur et sous
la droite de budget dé…nie par l’équation P1 x1 + P2 x2 = R Cette droite
représente donc la frontière de l’ensemble budgétaire.
Le coe¢ cient directeur de la droite de budget est - PP12 et est donc égal, en
valeur absolue, au prix relatif du bien 1, c’est à dire au prix du bien 1 en
unité de bien 2. Ce prix relatif correspond au taux auquel le consommateur
peut échanger du bien 2 contre du bien 1.
Une augmentation du revenu se traduit graphiquement par un déplacement parallèle vers le haut et la droite de la droite de budget.
13
Une augmentation du prix du bien 1 se traduit par un pivotement de la
droite vers le bas à partir du point x1 = 0; x2 = pR2 , et une augmentation du
prix du bien 2 par un pivotement vers le bas de cette droite mais à partir
cette fois du point x2 = 0; x1 = pR1
Supposer que le consommateur dispose initialement d’un revenu qu’il doit
a¤ecter à l’achat de di¤érents biens n’est absolument pas nécessaire. On peut
tout aussi bien supposer que le consommateur dispose initialement d’une certaine quantité d’un bien ou des deux biens que l’on appelle dotation initiale.
La valeur de cette dotation initiale correspond alors à un revenu potentiel,
celui dont disposerait le consommateur s’il vendait l’intégralité de sa dotation.
Soit (d1 ; d2 ) cette dotation initiale, la contrainte budgétaire devient: P1 x1 +
P2 x2 P1 d1 + P2 d2 , P1 (x1 d1 ) P2 (d2 x2 )
Cette inégalité indique simplement que la valeur des achats de bien 1 doit
être inférieure ou égale à la valeur des ventes de bien 2.
3.2
Le choix optimal : analyse graphique
Maintenant que nous connaissons à la fois la contrainte budgétaire et les
préférences nous pouvons étudier le choix du consommateur. La rationalité
du consommateur implique que ce dernier va choisir parmi les paniers appartenant à son ensemble budgétaire celui qui se situe sur la courbe d’indi¤érence
la plus élevée.
3.2.1
Le choix avec des préférences normales
Si les préférences sont normales, les courbes d’indi¤érence sont décroissantes
et convexes. Si les courbes d’indi¤érences ne coupent pas les axes, il est
clair que le panier de consommation appartenant à l’ensemble budgétaire et
situé sur la courbe d’indi¤érence la plus élevée est le panier situé au point de
tangence entre la droite de budget et une courbe d’indi¤érence. Cela signi…e
que le panier de consommation optimal se situe sur la droite de budget et
que le taux marginal de substitution est égal au rapport des prix.
Le fait que le consommateur dépense l’intégralité de son revenu s’explique
facilement.par la monotonicité des préférences. Comme le consommateur
14
préfère toujours consommer davantage, il n’a jamais intérêt à ne pas consacrer
la totalité de son revenu à l’achat de biens de consommation.
L’égalité du taux marginal de substitution et du rapport des prix s’explique
également aisément. Le TMS représente le taux d’échange qui laisse le consommateur indi¤érent. C’est donc aussi la quantité maximale de bien 2 que
le consommateur est prêt à échanger contre une unité de bien 1. Le rapport des prix est le taux auquel le consommateur peut echanger du bien 2
contre du bien 1.Si le TMS est supérieur au rapport des prix cela implique
donc que le consommateur est disposé à échanger plus de bien 2 contre une
unité de bien 1 que ce qu’il doit e¤ectivement échanger. Il a donc intérêt
à procéder à l’échange. Inversement si le TMS est inférieur au rapport des
prix, le consommateur est disposer à échanger plus de bien 1 contre une unité
de bien 2 que ce qu’il doit échanger. Il a là encore intérêt à échanger du bien
1 contre du bien 2. Le consommateur n’a donc aucun intérêt à procéder à
un échange et donc à modi…er son panier de consommation que si le TMS
est égal au rapport des prix. Si cette condition n’est pas satisfaite, le panier
de consommation ne peut correspondre au choix optimal du consommateur
car on vient de voir qu’il aurait alors intérêt à procéder à un échange.
Le raisonnement précédent fait abstraction des contraintes de non négativité des consommations. Implicitement nous avons supposé que l’égalité du
TMS et du rapport des prix était réalisée pour des consommations positives
de chaque bien. En raison de la stricte convexité des préférences, cela suppose
que les inégalités suivantes sont satisfaites :
Ux0 1 (0; PR2 )
Ux0 2 (0; PR2 )
Ux0 1 ( PR1 ; 0)
Ux0 2 ( PR1 ; 0)
>
P1
P2
<
P1
P2
Si ces conditions sont satisfaites, le choix optimal dé…nit par l’égalité
du TMS et du rapport des prix correspond à des niveaux de consommation
strictement positifs pour chaque bien. Les contraintes de non négativité des
consommations ne sont donc pas e¤ectives (serrées), et l’on quali…e ce choix
optimal de "solution intérieure".
Inversement si l’une de ces inégalités n’est pas satisfaite, l’égalité du TMS
et du rapport des prix est réalisée pour un niveau de consommation négatif
15
de l’un des biens. La contrainte de non négativité des consommations devient
donc e¤ective et le choix optimal consiste alors pour l’individu à consacrer
l’intégralité de son revenu à la consommation d’un seul bien. Ce choix correspond pour cette raison à une "solution contrainte"
L’intuition économique est particulièrement simple : si
Ux0 1 (0; PR )
2
Ux0 2 (0; PR )
2
<
P1
P2
cela
signi…e que lorsque le consommateur ne consomme que du bien 2, la quantité
de bien 1 qu’il est prêt à échanger pour une unité de bien 2 est supérieure à
la quantité qu’il doit e¤ectivement échanger étant donné le rapport des prix.
Le consommateur souhaiterait donc échanger du bien 1 contre du bien 2 mais
il n’a pas de bien 1 à échanger.
Inversement, si
Ux0 1 ( PR ;0)
1
Ux0 2 ( PR ;0)
>
1
P1
;
P2
le consommateur qui ne consomme que du
bien 1 serait disposé à échanger contre une unité de bien 1 davantage de bien
2 que ce qu’impose le rapport d’échange. Il souhaiterait donc échanger du
bien 2 contre du bien 1 mais ne peut le faire.
Pour s’assurer que les contraintes de non négativité des consommations
ne sont jamais e¤ectives, des hypothèses supplémentaires doivent être faites
sur les préférences et donc sur les propriétés de la fonction d’utilité. Une
hypothèse assez usuelle bien que souvent implicite est que l’utilité marginale
d’un bien tend vers l’in…ni lorsque la quantité consommée de ce bien tend
vers 0
Formellement cela implique : Ux0 2 ( PR1 ; 0) 7! 1 et Ux0 1 (0; PR2 ) 7! 1
Ux0 (0;
R
)
Il en résulte : U 0 1 (0; PR2 ) >
x2
P2
P1
P2
et
Ux0 1 ( PR ;0)
1
Ux0 2 ( PR ;0)
1
<
P1
P2
ce qui assure que les con-
traintes de non négativités ne peuvent être serrées.
Graphiquement, les hypothèses précédentes impliquent que les courbes
d’indi¤érence ne coupent pas les axes.
D’autres contraintes que les contraintes de non négativité des consommations peuvent restreindre les possiblités de choix des consommateurs. Il
est par exemple possible qu’un niveau minimal de consommation d’un bien
soit requis. Dans ce cas, les hypothèses précédentes n’assurent pas que le
choix optimal corresponde à une solution intérieure caractérisée par l’égalité
du TMS et du rapport des prix.
Supposons que le consommateur soit contraint de consommer au minimum un niveau x1 de bien 1. Cette contrainte sera e¤ective si le TMS au
point (x1 ; R PP21 x1 ) est inférieur au rapport des prix. Dans ce cas le consommateur souhaite échanger du bien 1 contre du bien 2 mais il est contraint
16
par son niveau de consommation minimal de bien 1
3.2.2
Le choix optimal avec des préférences non normales
Nous allons envisager 3 cas : Celui des biens subsituts parfaits, celui des
biens compléments parfaits, celui des préférences strictement concaves.
Si les biens sont des substituts parfaits, les courbes d’indi¤érence sont des
droites dont le coe¢ cient directeur est égal au taux marginal de subsitution
qui est constant. Si ce coe¢ cient directeur est supérieur à celui de la droite
de budget (si le TMS est supérieur au rapport des prix), alors l’élement de
l’ensemble budgétaire situé sur la plus haute "droite" d’indi¤érence correspond à une consommation nulle de bien 2. Autrement dit la contrainte de
non négativité est e¤ective. L’intuition est simple : si le TMS est supérieur
au rapport des prix alors le consommateur est disposé à échanger plus de
bien 2 contre une unité de bien 1 que ce qui lui est imposé par le marché.
Il souhaite donc toujours procéder à cet échange et vient donc buter sur la
contrainte de non négativité. Si le TMS est inférieur au rapport des prix le
choix optimal du consommateur correspond à une demande de bien 1 nulle.
Si les biens sont des compléments parfaits, le choix optimal est obtenu au
point d’intersection des deux demi-droites formant une courbe d’indi¤érence
et de la droite de budget. Ce point correspond bien à celui de l’ensemble
budgetaire situé sur la courbe d’indi¤érence la plus élevée.
Si les préférences sont strictement concaves et représentées par des courbes
d’indi¤érence concaves, il est clair que le point de tangence entre une courbe
d’indi¤érence et la droite de budget ne correspond pas à l’élément de l’ensemble
budgétaire situé sur la courbe d’indi¤érence la plus élevée. Le choix optimal
correspond de nouveau à l’une des deux solutions de coin.
3.3
Le choix optimal : Etude Analytique
Lorsque l’on représente les préférences par une fonction d’utilité, le problème
du consommateur revient à choisir parmi l’ensemble des paniers de consommation possible celui associé au plus haut niveau d’utilité. Formellement ce
problème consiste donc simplement à maximiser la fonction d’utilité sous les
di¤érentes contraintes qui s’imposent au consommateur. En première analyse,
on peut considérer que ces contraintes se résument à la contrainte de budget
et aux contraintes de non négativité des consommations.
17
Le choix optimal est donc solution du problème d’optimisation suivant:
M axU (x1 ; x2 )
x1 ;x2
Sc
x1
:
P1 x 1 + P2 x 2
0; x2 0
R
Le Lagrangien s’écrit:
L(x1 ; x2 ; R; P1 ; P2 ; ;
1; 2 )
= U (x1 ; x2 ) + [R
P1 x 1
P2 x 2 ] +
1 x1
+
2 x2
Les conditions de premier ordre ont pour expression :
[R
P1 x 1
@L()
= Ux0 1 (x1 ; x2 )
@x1
@L()
= Ux0 2 (x1 ; x2 )
@x2
P2 x2 ] = 0; 1 x1 = 0;
P1 +
1
=0
P2 +
2
=0
2 x2
=0
Les multiplicateurs étant positifs ou nuls, et les productivités marginales
étant positives en raison de la monotonicité des préférences, les deux premières équations ne peuvent être satisfaites pour = 0 Il en résulte [R P1 x1
0
Cela signi…e que la contrainte de budget sera toujours e¤ective. L’intuition
est évidente : comme le consommateur préfère toujours consommer davantage, il dépense toujours l’intégralité de son revenu. Ceci est un résultat et
non une hypothèse ou une contrainte.
Une solution intérieure qui ne sature pas les contraintes de non négativité
des consommations véri…e 1 = 2 = 0
Il se déduit alors des deux premières conditions :
Ux0 1 (x1 ; x2 )
P1
=
Ux0 2 (x1 ; x2 )
P2
(1)
alors que la contrainte budgétaire, toujours e¤ective, impose :
R = P1 x 1 + P2 x 2
(2)
Le choix optimal correspondant à une solution intérieure est donné par
ce système de deux équations à deux inconnues. La première indique que le
18
P2 x 2 ] =
taux marginal de substitution est égal au rapport des prix et la seconde que
l’intégralité du revenu est dépensé.
On retrouve bien les résultats mis en évidence graphiquement : la seconde
équation indique que le choix optimal se situe sur la droite de budget et la
première que le coe¢ cient directeur de la tangente à la courbe d’indi¤érence
passant en ce point est égal au coe¢ cient directeur de la droite de budget.
La conterpartie graphique de ces deux équations est donc bien que le choix
optimal se situe au point de tangence entre la droite de budget et une courbe
d’indi¤érence.
Ces deux équations ne dé…nissent le choix optimal que pour une solution
intérieure. Il n’est pas du tout évident que ces deux équations admettent une
solution satisfaisant les contraintes de non négativité.
Pour s’en convaincre, admettons que les biens soient des substituts parfaits. On sait que dans ce cas, le rapport des productivités marginales est
U 0 (x ;x )
constant soit : Ux0 1 (x1 ;x2 ) = v Il est clair que si v 6= PP12 l’équation (1) n’admet
x2
1 2
aucune solution Pour déterminer le choix optimal dans ce cas, il est utile de
poser Ux0 1 (x1 ; x2 ) = vUx0 2 (x1 ; x2 ):
Les deux premières conditions deviennent :
vUx0 2 (x1 ; x2 ) =
Ux0 2 (x1 ; x2 ) =
Soit encore :
v=
P1
P2
P1
P2
1
2
1
2
Comme v 6= PP21 on ne peut avoir 1 = 2 = 0 et comme R = P1 x1 + P2 x2
on ne peut avoir x1 = x2 = 0 , 1 ; 2 > 0 la solution véri…e donc soit
1 > 0 et 2 = 0 soit 2 > 0 et 1 = 0
Si v > PP12 on a PP12 1 > PP12 , P2 ( P1
1 ) > P 1 ( P2
2 ) , P1 2 >
2
P2 1 ) 2 > 0; 1 = 0
Le choix optimal correspond donc à une quantité nulle de bien 2 et une
quantité de bien 1 égale à PR1 On obtient bien entendu une solution totalement
symétrique si v < PP12
Le cas des biens substituts parfaits est un cas particulier dans lequel il
n’existe jamais de solution intérieure sauf si le TMS est égal au rapport
des prix auquel cas il en existe une in…nité. De manière plus générale, il
est possible que le choix optimal corresponde à une solution contrainte pour
19
certains niveaux de revenu et à une soultion intérieure pour d’autres niveaux.
Admettons que les préférences soient représentées par la fonction d’utilité
suivante :U (x1 ; x2 ) = (x1 + a) x2 avec ; < 1
Les conditions de premier ordre deviennent :
(x1 + a) 1 x2 =
P1
1
1
(x1 + a) x2
=
P2
2
[R P1 x1 P2 x2 ] = 0; 1 x1 = 0;
2 x2
=0
De nouveau la contrainte de budget est toujours e¤ective et une solution
intérieure véri…e :
x2
P1
=
, P2 x 2 =
x1 + a
P2
R = P1 x 1 + P2 x 2
P1 (x1 + a)
En remplacant P2 x2 par sa valeur dans la seconde équation il vient :
P1 x 1
+
=R
P1 a
Il en résulte : x1 > 0 , R > P1 a Si cette solution n’est pas satisfaite, la
solution du système d’équation précédent viole la contrainte de non négativité
des consommations de sorte que cette contrainte devient e¤ective. Le choix
optimal est alors: x1 = 0 x2 = PR2
Au total, l’égalité du taux marginal de substitution et du rapport des
prix ne caractérise le choix optimal du consommateur que lorsque ce choix
correspond à une solution intérieure.
Même si il existe une solution aux système d’équation (1) et (2) véri…ant
les contraintes de non négativité, il n’est pas acquis que cette solution corresponde au choix optimal du consommateur. Il faut en e¤et s’assurer que
cette solution corresponde à un maximum et non à un minimum de l’utilité.
Pour cela il faut étudier la condition de second ordre. Nous allons sur ce
point nous contenter de ce qui a été vu graphiquement. Pour qu’une solution
dé…nie par le point de tangence entre une courbe d’indi¤érence et la droite
de budget corresponde au choix optimal, il faut que les courbes d’indi¤érence
soient convexes et donc que la fonction d’utilité soit strictement quasi concave. Une condition su¢ sante pour qu’une solution satisfaisant les conditions
de premier ordre corresponde bien à un maximum est donc que la fonction
d’utilité soit strictement quasi concave.
20
4
Les fonctions de demande
Dans la section précédente, nous avons étudié le choix optimal du consommateur. Ce choix optimal correspond à une quantité désirée pour chacun
des biens disponibles en fonction des contraintes qui s’imposent à l’individu.
Ces quantités forment les demandes du consommateur. Comme le panier
de consommation optimal dépend des prix et du revenu du consommateur,
les demandes du consommateur en dépendent également. Les relations fonctionnelles qui lient la quantité désirée d’un bien au revenu et aux prix des
di¤érents biens sont appelées les fonctions de demande du consommateur.
Cette section a pour objet l’étude des principales propriétés de ces fonctions
de demande qui s’écrivent : x1 = x1 (R; P1 ; P2 ) ; x2 = x2 (R; P1 ; P2 )
4.1
4.1.1
L’impact des variations du revenu sur les demandes du consommateur
Analyse graphique
Si nous nous limitons à deux biens, il est facile de représenter graphiquement
l’in‡uence d’une variation du revenu sur les demandes de chaque bien.
Nous avons vu antérieurement qu’une augmentation du revenu se traduisait graphiquement par un déplacement parralèlle de la droite de budget.
Nous pouvons donc représenter sur un même graphique plusieurs droites de
budget parralèlle correspondant à di¤érents niveaux de revenu ainsi qu’un ensemble de courbes d’indi¤érence. Si les points de tangence entre les courbes
d’indi¤érences et les droites de budget se déplacent vers le haut et la droite
du plan, cela signi…e que lorsque le revenu augmente la demande de chacun
des deux biens augmente. Cette propriété peut sembler assez naturelle, mais
elle n’a rien de générale. Il est aisé de représenter graphiquement des situations où ce n’est pas le cas. Lorsque la demande d’un bien augmente avec
le revenu, ce bien est dit "normal". Lorsque la demande diminue quand le
revenu augmente, le bien considéré est dit "inférieur". Encore une fois, ceci
n’est pas à proprement parlé une caractéristique du bien mais une caractéristique des préférences du consommateur. Il reste que si les consommateurs ont
des préférences similaires cela correspond à une caractéristique du bien. Il est
important de noter qu’un bien ne peut être inférieur qu’au delà d’un certain
niveau de revenu. En e¤et, pour un revenu nul la demande de chaque bien
est nulle et la contrainte de non négativité des consommations impose donc
21
qu’un bien inférieur àa nécessairement été normal pour de plus faibles niveau
de revenu. Il est également utile de noter que les deux biens ne peuvent être
inférieurs. La raison est évidente : comme le consommateur a toujours intérêt
à dépenser l’intégralité de son revenu, si ce dernier augmente, la demande
d’au moins un bien doit également augmenter.
Les courbes d’Engel représentent graphiquement la relation qui existe
entre la demande d’un bien et le revenu. Si le bien considéré est un bien
normal la courbe d’engel est croissante. Si le bien est un bien inférieur, passé
un certain niveau de revenu, la courbe d’Engel est d’abord croissante puis
décroissante. Lorsque les contraintes de non négativité des consommations
ne sont jamais e¤ectives, les courbes partent de l’origine. Si ces contraintes
peuvent être e¤ectives, il est possible que l’une des courbes "démarre" à
droite de l’origine. Cela signi…e qu’en decà d’un niveau de revenu strictement
positif, le consommateur souhaiterai consommer un quantité négative de ce
bien mais ne peut le faire. Autrement dit, le choix optimal correspond à une
solution de coin que nous avons étudié plus haut.
Un cas particulier doit être évoqué car souvent considéré en économie
: celui des préférences homothétiques. Des préférences sont dites homothétiques si les courbes d’indi¤érences sont homothétiques par rapport à l’origine.
Cela signi…e que sur toutes droites partant de l’origine, le coe¢ cient directeur des tangentes aux courbes d’indi¤érences au point d’intersection avec
la droite sont tous identiques. Comme le long d’une droite partant de l’origine
le rapport des quantités consommés est le même, cela signi…e que le taux marginal de subsitution ne dépend que du rapport des quantités consommés et
pas de leur niveaux lorsque les préférences sont homothétiques. Economiquement, le taux marginal de subsitution étant égal au rapport des prix pour une
solution intérieure, il en résulte que pour un rapport des prix donné, le rapport des quantités consommés sera toujours le même et ne va en particulier
pas dépendre du niveau de revenu.
Il en résulte que si le revenu augmente, les quantités demandées de chacun
des deux biens augmentent dans la même proportion.
Plusieurs corrolaires en découlent : Si les préférences sont homothétiques,
les biens sont tous des des biens normaux. Si les préférences sont homothétiques, les courbes d’Engel sont des droites partant de l’origine ce qui implique également que l’élasticité de la demande de chaque bien par rapport
au revenu est égale à 1. Autrement dit la demande de chaque bien croît dans
la même proportion que le revenu.
22
L’homothétie des préférences a donc des implications importantes. Comme
les préférences sont le plus souvent représentées par une fonction d’utilité
il n’est pas inutile de s’interroger sur les propriétés des fonctions d’utilité
représentatives de préférences homothétiques. Il est en fait facile de montrer
qu’une fonction d’utilité homogène est repésentative de préférence homothétiques.
Par dé…nition, la fonction U (x1 ; x2 ) est homogène de degré si :U (kx1 ; kx2 ) =
k U (x1 ; x2 ):Posons k = x11 il en résulte :
U (kx1 ; kx2 ) = U (1; xx21 ) = x1 U (x1 ; x2 ) , U (x1 ; x2 ) = x1 U (1; xx21 )
0
0
On en déduit : Ux1 (x1 ; x2 ) = x1 1 U (1; xx12 ) x1 Ux2 (1; xx21 ) xx22 = x1 1 [ U (1; xx12 )
0
0
0
0
1
Ux2 (1; xx21 ) xx21 ] et Ux2 (x1 ; x2 ) = x1 Ux2 (1; xx21 ) x11 = x1 1 Ux2 (1; xx21 )
U
0
(x1 ;x2 )
Le taux marginal de substitution a donc pour expression : Ux0 1 (x
0
x
x
x
U (1; x2 ) Ux2 (1; x2 ) x2
1
1
1
x
Ux0 2 (1; x2 )
1
4.1.2
x2
1 ;x2 )
=
. Il ne dépend que du rapport des quantités consommées.
Etude analytique
Les préférences du consommateur sont supposées représentées par une fonction d’utilité strictement croissante et concave par rapport à chaque argument
et au moins strictement quasi concave. On suppose également pour simpli…er
que les utilités marginales tendent vers l’in…ni lorsque les quantités consommées tendent vers 0 ce qui implique que les contraintes de non négativité ne
peuvent être e¤ectives. Sous ces hypothèses, le choix optimal correspond à la
U 0 (x ;x )
solution intérieure dé…nie par les deux équations habituelles : Ux0 1 (x1 ;x2 ) = PP12
x2
1
2
, Ux0 1 (x1 ; x2 ) = PP21 Ux0 2 (x1 ; x2 ) et R = P1 x1 + P2 x2
En di¤érenciant ces deux équations les prix étant supposés constants on
obtient ;
0
0
0
0
Ux0 1 x1 (x1 ; x2 )dx1 +Ux0 1 x2 (x1 ; x2 )dx2 = PP12 Ux0 1 x2 (x1 ; x2 )dx1 + Ux0 2 x2 (x1 ; x2 )dx2
P2
et dx1 = dR
dx2
P1
P1
En subsituant dx1 dans la première équation et en remplaçant PP12 par sa
valeur tirée
condition de premier ordre, il vient …nalement :
i
h U 0de(x la
h 0
Ux0 1 (x1 ;x2 ) 00
x2
1 ;x2 )
dR Ux1 (x1 ;x2 ) 00
00
00
dx2
U
(x
;
x
)
+
2U
(x
;
x
)
U
(x
;
x
)
=
U
(x1 ; x
1
2
x1 x2
1
2
1
2
Ux0 1 (x1 ;x2 ) x1 x1
Ux0 2 (x1 ;x2 ) x2 x2
P1 Ux0 2 (x1 ;x2 ) x1 x2
La quasi concavité de la fonction d’utilité implique que le terme entre
dx
crochet du membre de gauche est positif. Il en résulte que dR2 est du signe
du membre de droite. La fonction d’utilité étant concave par rapport à
23
0
chaque argument Ux0 1 x1 (x1 ; x2 ) est négatif. Il en résulte qu’une condition
su¢ sante mais non nécessaire pour que le bien 2 soit un bien normal est
0
Ux0 1 x2 (x1 ; x2 ) > 0
Autrement dit, si la dérivée seconde croisée de la fonction d’utilité est
positive, les biens sont des biens normaux.
4.2
L’in‡uence des variations de prix
De manière générale, la variation du prix d’un bien a des répercussions incertaines sur les demandes du consommateur. Cette incertitude provient de
la présence de deux e¤ets : un e¤et de substitution et un e¤et revenu. Supposons que le prix du bien 1 augmente. Le taux auquel le consommateur peut
échanger du bien 2 contre du bien 1 a diminué. La consommation de bien
2 devient donc relativement plus intéressante pour le consommateur et ce
dernier subsitue donc du bien 2 au bien 1 dans son panier de consommation.
C’est l’e¤et de substitution.
Dans le même temps, dès lors que le consommateur consomme une quantité strictement positive de bien 1, son pouvoir d’achat diminue. Autrement
dit son panier de consommation initial n’appartient plus à son ensemble
budgétaire. Cet e¤et est strictement similaire à celui d’une baisse du revenu
du consommateur d’où son nom d’e¤et revenu.
L’e¤et de substitution peut jouer dans le même sens que l’e¤et revenu
ou en sens contraire. Dans le premier cas, l’in‡uence de la variation du prix
est dénuée d’ambiguité et s’exprime sous la forme de lois appelées lois de la
demande. Dans le second cas, tout dépend de quel e¤et l’emporte sur l’autre.
Admettons que le bien 1 soit un bien normal et que son prix augmente.
Dans ce cas, la demande de ce bien diminue sans aucune ambiguité car l’e¤et
de substitution et l’e¤et revenu joue dans le même sens. Il en découle une
première loi de la demande que l’on peut exprimer de la manière suivante :
La demande d’un bien normal est une fonction décroissante de son prix.
Si le bien 2 est également un bien normal, les deux e¤ets joue en sens
contraire concernant la demande pour ce bien. En e¤et, comme son prix
relatif diminue, le consommateur a intérêt à subsitituer du bien 2 au bien
1. L’e¤et de substitution joue donc dans le sens d’une augmentation de la
demande de bien 2. Toutefois, comme le bien 2 est un bien normal l’e¤et
revenu joue à la baisse. Si l’e¤et revenu l’emporte, la demande de bien
2 diminue au même titre que la demande de bien1. Les deux biens sont
alors dits compléments bruts. Si au contraire c’est l’e¤et de subsitution qui
24
l’emporte, la demande de bien 2 augmente tandis que la demande de bien
1 diminue et les deux biens sont dits substitus bruts. Comme en raison de
la contrainte budgétaire les demandes des deux biens ne peuvent être des
fonctions croissantes du prix d’un bien, deux biens sont compléments bruts
si les demandes de chacun des deux biens sont des fonctions décroissantes
du prix d’un bien et ils sont subsituts bruts si la demande d’un bien est une
fonction croissante de ce prix, la demande de l’autre étant nécessairement
décroissante dans une économie à deux biens.
Les termes de complémentarité ou de subsituabilité brute renvoient clairement aux préférences du consommateur. De fait, si les biens sont plutôt
complémentaires pour le consommateur, cela signi…e que ce dernier souhaite
les consommer ensemble. Dans ce cas, lorque le prix d’un bien augmente, le
consommateur préfère réduire sa demande pour chacun des deux biens. Si
Alexandre aime manger du fromage en buvant du vin mais qu’il n’aime pas
le fromage seul ni le vin seul, il n’a clairement pas intérêt à augmenter sa
consommation de vin si le prix du fromage augmente car il devrait diminuer
fortement sa consommation de fromage. Si à l’inverse Alexandre aime à la
fois le vin et le fromage mais pas nécessairement ensemble, ce qui signi…e
que ces biens sont plutôt subsituts pour lui, il peut avoir intérêt a augmenter
sa consommation de vin si le prix du fromage augmente car il peut augmenter sensiblement sa consommation de vin en réduisant sa consommation
de fromage.
Si le bien 2 est un bien inférieur, l’e¤et de subtsitution et l’e¤et revenu
joue dans le même sens de sorte que sa demande augmente sans ambiguité
lorsque le prix du bien 1 augmente. On en déduit donc une seconde loi de la
demande qui s’exprime comme suit : La demande d’un bien inférieur est une
fonction croissante du prix de l’autre bien.
Si le bien dont le prix augmente est un bien inférieur, l’e¤et de subsitution
et l’e¤et revenu jouent en sens opposé. La demande d’un bien inférieur peut
donc être une fonction croissante de son prix si l’e¤et revenu l’emporte sur
l’e¤et de substitution. Un bien qui présente cette propriété est appellé un
bien Gi¤en. Un bien Gi¤en étant un bien inférieur, sa fonction de demande
est donc croissante avec le prix de tous les biens. Dans une économie à deux
biens, ces biens sont donc obligatoirement subsituts bruts si l’un des deux
biens est un bien Gi¤en.
25
4.2.1
Analyse graphique
Graphiquement, l’évolution du prix d’un bien se traduit par un pivotement
de la droite de budget. Si par exemple le prix du bien 1 augmente, la doite
pivote vers le bas à parir de son point sur l’axe des ordonnées. Il est clair dans
ce cas que le panier de consommation optimal initial ne fait plus partie de
l’ensemble budgétaire du consommateur. L’objet de l’analyse graphique consiste en particulier à isoler l’e¤et revenu et l’e¤et de substitution. La méthode
pour opérer cette décomposition consiste à considérer des variations compensatrices de revenu. Deux formes alternatives de variation compensatrices de
revenu sont usuellement retenues. Dans le premier cas, cette variation compensatrice est supposée permettre l’acquisition du panier de consommation
initial. On parle alors de compensation au sens de Slutsky. Dans le second
cas cette variation est supposée permettre au consommateur l’obtention du
même niveau de satisfaction qu’antérieurement. On parle alors de compensation au sens de Hicks.
Graphiquement, la compensation au sens de Slutsky consiste à tracer
une droite parrallèle à la nouvelle droite de budget passant par le panier de
consommation initial. Notons A la panier de consommation intial, B le panier
de consommation correspondant au point de tangence en tre cette parallèle
et une courbe d’indi¤érence et C le panier de consommation correspondant
u point de tangence entre une courbe d’indi¤érence et la nouvelle droite de
budget. Le passage du point A au point B correspond à l’e¤et de substitution
du à la modi…cation du prix relatif du bien 1 (du rapport des prix). Les
courbes d’indi¤érence étant convexes et ne se coupant pas, il est clair que le
point B se situe au dessus et à gauche du point A. Cela signi…e que l’e¤et
de subsitution a bien pour conséquence une augmentation de la demande de
bien 2 et une baisse de la demande de bien 1.
Le passage du point B au point C, qui graphiquement résulte d’un déplacement parrallèle de la droite de budget, correspond à l’e¤et revenu. Si
les deux biens sont des biens normaux, le point C se situe en dessous et à
gauche du point B. On retrouve donc les résultats décrits au dessus : Comme
les deux déplacements se font vers la gauche, la demande de bien 1 diminue
sans ambiguité. L’e¤et de substitution et l’e¤et revenu vont dans le même
sens. La demande d’un bien normal est une fonction décroissante de son
prix. Comme un déplacement s’opère vers le haut et l’autre vers le bas, la
quantité optimale de bien 2 peut aussi bien augmenter que diminuer. Si le
26
déplacement vers le bas du point B au point C l’emporte sur le déplacement
vers le haut du point A au point B, c’est à dire si l’e¤et revenu l’emporte sur
l’e¤et de subsitution, les biens 1 et 2 sont des compléments bruts. Ils sont
substituts bruts dans le cas contraire.
Si le bien 2 est un bien inférieur, le point C se situe au dessus et à gauche
du point B. Les deux déplacements s’opèrent donc vers le haut et on retrouve
la seconde loi de la demande selon laquelle la demande d’un bien inférieur
est une fonction croissante du prix de l’autre bien.
En…n, si c’est le bien 1 qui est un bien inférieur, le point C se situe en
dessous et à droite du point B. Le passage du point A au point B et celui du
point B au point C correspondent donc à des déplacements de sens opposés de
sorte qu’aucune loi de la demande ne s’applique. L’évolution de la demande
de bien 1 comme celle du bien 2 sont ambigues. Si le second déplacement vers
la droite l’emporte sur le premier déplacement vers la gauche, le déplacement
vers le bas l’emporte également sur le déplacement vers le haut. Cela signi…e
que le bien 1 est un bien Gi¤en et dans ce cas la demande de bien 2 est une
fonction clairement décroissante du prix du bien 1.
La compensation au sens de Hicks s’obtient graphiquement en traçant
une parallèle à la nouvelle droite de budget qui soit tangente à la courbe
d’indi¤érence passant par le panier de consommation initial. Ce point de
tangence est l’équivalent du point B à la seule di¤érence près que cette fois
il est sur la même courbe d’indi¤érence que le point A alors qu’il était sur
une courbe d’indi¤érence plus élevée dans le cas de la compensation au sens
de Slutsky. Pour le reste, l’analyse graphique n’est pas modi…ée.
4.2.2
Etude analytique
Les préférences du consommateur sont supposées représentées par une fonction d’utilité strictement croissante et concave par rapport à chaque argument et au moins strictement quasi concave. On suppose toujours pour
simpli…er que les utilités marginales tendent vers l’in…ni lorsque les quantités consommées tendent vers 0. Sous ces hypothèses, le choix optimal correspond à la solution intérieure dé…nie par les deux équations habituelles
:Ux0 1 (x1 ; x2 ) = PP12 Ux0 2 (x1 ; x2 ) et R = P1 x1 + P2 x2
En di¤érenciant ces deux équations le prix du bien 2 et le revenu étant
supposés constants on obtient ;
27
0
0
Ux0 1 x1 (x1 ; x2 )dx1 +Ux0 1 x2 (x1 ; x2 )dx2 =
x
P1
P2
0
0
Ux0 1 x2 (x1 ; x2 )dx1 + Ux0 2 x2 (x1 ; x2 )dx2 +
et dx1 = PP21 dx2 P11 dP1
En subsituant dx1 dans la première équation et en remplaçant PP12 par sa
valeur tirée
condition de premier ordre, il vient …nalement :
i
h
h U 0de(x la
Ux0 1 (x1 ;x2 ) 00
x2
1 ;x2 )
dP1
00
00
dx2
U
(x
;
x
)
+
2U
(x
;
x
)
U
(x
;
x
)
=
Ux0 2 (x1 ; x2 )
1
2
x1 x2
1
2
1
2
Ux0 1 (x1 ;x2 ) x1 x1
Ux0 2 (x1 ;x2 ) x2 x2
P2
La quasi concavité de la fonction d’utilité implique que le terme entre
dx
crochet du membre de gauche est positif. Il en résulte que dP21 est du signe
du membre de droite. On observe que le second terme du membre de droite
est négatif si le bien 2 est un bien normal et positif si c’est un bien inférieur.
Comme le premier terme est positif, on retrouve la seconde loi de la demande
selon laquelle la demande d’un bien inféreiur est une fonction croissante du
prix de l’autre bien.
1
U 0 (x1 ; x2 )dP1
P2 x2
5
Prolongements
Cette section est consacrée à l’étude de certains prolongements concernant
la théorie du consommateur. Nous allons dans un premier temps étudier la
fonction d’utilité indirecte et la fonction de dépense. De cette étude nous
en déduirons les équations de Slutsky qui o¤rent une décomposition simple
de l’e¤et de substitution et de l’e¤et revenu. Nous nous intéressons ensuite
aux choix intertemporels du consommateur avant d’examiner la notion de
surplus du consommateur.
5.1
5.1.1
Fonction d’utilité indirecte fonction de dépense et
équations de Slutsky
La fonction d’utilité indirecte
De la maximisation de la fonction d’utilité sous la contrainte de budget, nous
avons dérivé le panier de consommation optimal sous la forme de fonctions
de demande x1 = x1 (R; P1 ; P2 ) ; x2 = x2 (R; P1 ; P2 ) qui lient la quantité
désirée de chaque bien au revenu et aux prix des di¤érents biens.
Le niveau d’utilité correspondant à ce panier de consommation optimal
s’écrit : U (x1 ; x2 ) = U (x1 (R; P1 ; P2 ); x2 (R; P1 ; P2 )) et est donc une fonction
du revenu et des prix que l’on écrit V (R; P1 ; P2 ):Comme le panier de consommation optimal est celui qui maximise l’utilité étant donnés le revenu
et les prix des di¤érents biens, on en déduit que la fonction V (R; P1 ; P2 )
28
x1 PP21
est une fonction qui associe à chaque vecteur des paramètres le maximum
de l’utilité que le consommateur peut obtenir étant données ses préférences.
Cette fonction est appellée fonction d’utilité indirecte.
Cette terminologie exprime simplement le fait que directement l’utilité
dépend des consommations des di¤érents biens mais qu’indirectement elle
dépend des paramètres car ces consommations dépendent des paramètres.
La fonction d’utilité étant la fonction objectif du consommateur ( celle
qu’il maximise ), la fonction d’utilité indirecte donne donc la valeur de
l’objectif à l’optimum en fonction des paramètres. Pour cette raison on dit
que la fonction d’utilité indirecte est une fonction valeur.
La fonction d’utilité indirecte joue un rôle important dans l’analyse microéconomique. Tout d’abord, c’est …nalement à travers elle que s’étudie
l’in‡uence d’une variation du prix d’un bien ou d’une variation du revenu
sur le niveau de satisfaction du consommateur. Elle est également indispensable pour l’étude de certains choix du consommateur préalables à ses choix
de consommation. Par exemple, on peut considérer que le revenu du consommateur dépend de ses choix éducatifs. Pour étudier ses choix éducatifs nous
devons savoir comment le revenu in‡uence le maximum de l’utilité qu’il peut
obtenir et nous devons donc utiliser la fonction d’utilité indirecte.
Les dérivées de la fonction d’utilité indirecte peuvent se calculer à partir
des fonctions de demande. Par exemple, la dérivée par rapport au prix du
@U (x ;x )
@U (x ;x )
1 ;P2 )
1 ;P2 )
1 ;P2 )
= @x1 2 @x1 (R;P
+ @x1 2 @x2 (R;P
bien 1 s’écrit : @V (R;P
@P1
@P
@P1
1
1
2
Les dérivées des fonctions de demande étant assez lourdes, ce calcul peut
s’avérer rapidement fastidieux en particulier si le nombre de biens consommés
est supérieur à 2.
Il existe toutefois un théoreme extrèmement utile qui s’applique à toutes
les fonctions valeur et qui permet d’exprimer très simplement les dérivées
des fonctions valeur à partir du Lagrangien. Ce théoreme connu sous le nom
de théoreme de l’enveloppe stipule que la dérivée d’une fonction valeur par
rapport à un paramètre est égale à la dérivée de lagrangien par rapport à ce
paramètre, cette dérivée étant exprimée au point optimal.
1 ;P2 )
Autrement dit, L(x1 ; x2 ; R; P1 ; P2 ; ) étant le Lagrangien, @V (R;P
=
@P1
@L(x1 ;x2 ;R;P1 ;P2 ;
@P1
)
1 ;P2 )
1 ;P2 )
=
x1 ; @V (R;P
=
En appliquant ce théoreme on obtient ; @V (R;P
@P1
@P2
@V (R;P1 ;P2 )
=
x2 ;
@R
1 ;P2 ) @V (R;P1 ;P2 )
1 ;P2 )
1 ;P2 )
Il en résulte donc : @V (R;P
= x1 @V (R;P
;
= x2 @V (R;P
:
@P1
@R
@P2
@R
29
Ces équations sont connues sous le nom d’identités de Roy.
5.1.2
La fonction de dépense
Considérons à présent le programme d’optimisation suivant :
M inP1 x1 + P2 x2
x1 ;x2
Sc : U (x1 ; x2 )
U
Ce programme correspond donc à la minimisation de la dépense permettant l’obtention d’un niveau d’utilité au moins égal à U . La fonction
U (x1 ; x2 ) est supposée représentative de préférences normales et dans un
souci de simpli…cation nous supposons que les utilités marginales tendent
vers l’in…ni quand les quantités consommées tendent vers 0 ce qui assure que
les contraintes de non négativité des consommations ne sont jamais e¤ectives.
C’est pourquoi elles n’apparaîssent pas dans le programme.
Comme il s’agit d’un problème de minimisation, le Lagrangien s’écrit :
L(x1 ; x2 ; U ; P1 ; P2 ; ) = P1 x1 + P2 x2
U (x1 ; x2 ) U
Les conditions de premier ordre associées ont pour expression :
@L(e
x1 ; x
e2 ; U ; P1 ; P2 ; e)
= P1
@x1
@L(e
x1 ; x
e2 ; U ; P1 ; P2 ; e)
= P2
@x2
e U (e
x1 ; x
e2 ) U = 0
eU 0 (e
e2 ) = 0
x1 x 1 ; x
eU 0 (e
e2 ) = 0
x2 x 1 ; x
Il est facile de voir que les deux premières équations n’admettent aucune
solution pour e = 0 Ce résultat signi…e simplement que la dépense permettant l’obtention d’un niveau d’utilité au moins égal à U n’est minimisé que
si les consommations permettent l’obtention d’un niveau d’utilité juste égal
à U : Si ce n’était pas le cas le niveau d’utilité U pourrait être obtenu avec un
plus faible niveau de consommation d’au moins un bien et donc une dépense
plus faible.
La solution du problème d’optimisation est donc donnée par le système
de deux équations suivant :
Ux0 1 (e
x1 ; x
e2 )
P1
=
0
P2
Ux2 (e
x1 ; x
e2 )
U (e
x1 ; x
e2 ) = U
30
Il en résulte : x
e1 = xc1 (P1 ; P2 ; U ) et x
e2 = xc2 (P1 ; P2 ; U ). Les fonctions
c
et x2 (P1 ; P2 ; U ) sont appelées fonctions de demande compensées ou encore fonctions de demande Hicksiennes. Les fonctions de demande
étudiées antérieurement qui résultaient de la maximisation de l’utilité sous
la contrainte de budget sont appelées fonctions de demande Marshaliennes.
Graphiquement, ces fonctions de demande Hicksiennes correspondent aux
demandes compensées que nous avons étudiées lorsque nous avaons considérées les variations compensatrices de revenu qui permettent l’obtention du
même niveau d’utilité (compensation au sens de Hicks).
La fonction valeur qui détermine le minimum de la dépense en fonction
des paramètres s’écrit : Z(P1 ; P2 ; U ) P1 xc1 (P1 ; P2 ; U ) + P2 xc2 (P1 ; P2 ; U ):
1 ;P2 ;U )
Du théorème de l’enveloppe il vient : @Z(P@P
= xcj (P1 ; P2 ; U )
j
xc1 (P1 ; P2 ; U )
5.1.3
Les équations de Slutsky
A partir des fonctions d’utilité indirecte et de dépense, il est facile d’obtenir
des relations très utilies qui lient les demandes Hicksiennes et les demandes
Marshaliennes.
xi (P1 ; P2 ; R) xci (P1 ; P2 ; V (P1 ; P2 ; R))
Cette première relation signi…e simplement que les fonctions de demande
Marshaliennes minimisent la dépense permettant l’obtention d’un niveau
d’utilité au moins égal à celui atteint. Cette relation est très intuitive. Si
ce n’était pas le cas, un même niveau d’utilité pourrait être obtenu avec
une dépense plus faible et donc un niveau d’utilité supérieur pourrait être
obtenu avec le même niveau de revenu ce qui signi…erait que l’utilité n’est
pas maximisée.
xci (P1 ; P2 ; U ) xi (P1 ; P2 ; Z(P1 ; P2 ; U ))
Cette seconde relation indique que les fonctions de demande Hicksiennes
maximisent l’utilité obtenue lorsque le revenu est juste égal au minimum de
la dépense nécessaire à l’obtention de ce niveau d’utilité. De nouveau, si
tel n’était pas le cas un niveau d’utilité supérieur serait atteignable avec le
même revenu et donc la dépense pour le niveau d’utilité donné ne serait pas
minimisée.
En dérivant la première identité on obtient :
@xc (P ;P ;V (P ;P ;R)) @xc (P ;P ;V (P ;P ;R)) @V (P1 ;P2 ;R)
@xi (P1 ;P2 ;R)
1 ;P2 ;R)
= i 1 2@Pj 1 2 + i 1 2@U 1 2
et @xi (P@R
=
@Pj
@Pj
@xci (P1 ;P2 ;V (P1 ;P2 ;R)) @V (P1 ;P2 ;R)
@R
@U
31
Il en résulte :
@xci (P1 ; P2 ; V (P1 ; P2 ; R))
@xi (P1 ; P2 ; R)
=
+
@Pj
@Pj
@xi (P1 ;P2 ;R)
@R
@V (P1 ;P2 ;R)
@R
@V (P1 ; P2 ; R)
@Pj
Des identités de Roy il vient :
De la seconde équation il vient :
@V (P1 ;P2 ;R)
@Pj
@V (P1 ;P2 ;R)
@R
=
xi (P1 ; P2 ; R)
d’où on tire :
@xi (P1 ; P2 ; R)
@xci (P1 ; P2 ; V (P1 ; P2 ; R))
=
@Pj
@Pj
xi (P1 ; P2 ; R)
@xi (P1 ; P2 ; R)
@R
Cette équation est connue sous le nom d’équation de Slutsky. S’il y a
deux biens et donc deux prix, il y a 4 équations de slutsky.
Ces équations permettent de décomposer l’e¤et de substitution et l’e¤et
revenu. Le premier terme du membre de droite correspond à l’e¤et de substitution puisqu’il représente l’in‡uence de la variation du prix sur la demande
compensée. Le second terme du membre de droite représente l’e¤et revenu.
5.2
Les choix intertemporels du consommateur
Nous avons considéré jusqu’ici que le consommateur devait choisir des niveaux
de consommation de biens distincts. En fait ces biens peuvent présenter des
caractéristiques physiques identiques mais être consommés à des dates différentes. En d’autres termes, le problème du consommateur peut consister
à choisir une allocation optimale de ses revenus présents et futurs entre consommation présente et consommation future d’un bien présentant les mêmes
caractéristiques physiques. En ce sens nous pouvons parler des choix intertemporels du consommateur.
5.2.1
La contrainte budgétaire intertemporelle
Revenu à une seule période Considérons dans un premier temps un
individu dont le cycle de vie comprend deux périodes. Pour simpli…er, admettons que cet individu ne reçoit un revenu que durant la première période.
32
(on peut par exemple considérer que la première période est un période de
vie active et la seconde période une période de retraite et qu’il n’existe aucun
système de retraite par répartition ou équivalent).
Le problème du consommateur consiste à déterminer l’allocation optimale
de son revenu entre consommation de première et seconde période de vie.
Pour pouvoir consommer en seconde période, le consommateur doit épargner
une partie de son revenu de première période. Il peut placer cette épargne
sur les marché …nancier au taux d’intérêt r. En notant P le prix du bien
supposé identique en première et seconde période, x1 et x2 respectivement les
consommations de première et seconde période, et R le revenu de première
période, la consommation de seconde période doit respecter la contrainte :
P x2
(R
P x1 ) (1 + r)
R P x1 est le montant de l’épargne. Comme la consommation de seconde
période ne peut être négative, cette épargne est nécéssairement non négative.
Cela traduit simplement le fait que l’individu ne peut être emprunteur s’il
ne perçoit pas dans le futur un revenu lui permettant de rembourser son
emprunt.
La frontière de l’ensemble budgétaire est: P x2 = (R P x1 ) (1 + r) :C0 est
donc une droite de coe¢ cient directeur (1 + r)
Ce coe¢ cient (en valeur absolue) mesure le prix de la consommation
présente en terme de consommation future. (à combien d’unité de consommation en seconde période doit renoncer le consommateur pour consommer
une unité de plus en première période).
Si le taux d’intérêt est nul, ce prix relatif est de 1. Cela signi…e que le
taux d’échange intertemporel imposé est de 1 pour le consommateur.
Si le taux d’intérêt est positif, le prix relatif de la consommation présente
est supérieur à 1 car en raison des intérets percus sur les sommes épargnées
la consommation d’une unité de moins dans le présent est compensée par la
consommation de plus d’une unité dans le futur.
Revenu à chaque période Nous allons maintenant étudier la contrainte
budgétaire d’un consommateur qui perçoit un revenu à chaque période et
qui peut donc être aussi bien prêteur qu’emprunteur en première période.
Notons R1 et R2 le revenu de première et seconde période. La contrainte
budgétaire intertemporelle s’écrit:
P x2
(R1
P x1 ) (1 + r) + R2
33
Cette écriture est valable que le consommateur épargne ou emprunte en
première période. R P x1 est simplement positif dans le premier cas et
négatif dans le second.
Cette contrainte peut encore s’écrire :
P
x2
1+r
R1
P x1 +
R2
1+r
R2
Cette contrainte budgétaire est exprimée en valeur présente. 1+r
représente
la valeur présente (la valeur actualisée) du revenu futur, c’est à dire le revenu
présent qui, placé sur les marchés …nanciers, permettrait d’obtenir un revenu
R2 dans le futur.
P
représente la valeur présente du prix futur. C’est en e¤et ce que coûte
1+r
à la date courante au consommateur l’achat d’une unité dans le futur.
Cette opération qui consiste à rendre comparables des prix et des revenus
de périodes distinctes en les valorisant à la date courante est appelée opération d’actualisation. De manière générale, la valeur actualisée d’un montant
futur est le montant qui lui est aujourd’hui équivalent.
L’analyse précédente peut sans di¢ culté être généralisée à t périodes.
Notons Rt le revenu de la date t.
Par dé…nition, la valeur actualisée de ce revenu est le montant qui, placé
aujourd’hui sur les marchés …nanciers, permet d’obtenir Rt à la date t Soit
Rta ce revenu actualisé. Par dé…nition on a Rta (1 + r)t = Rt soit encore Rta =
1
Rt (1 + r) t Le terme 1+r
correspond au facteur d’actualisation. Ce facteur
inférieur à 1 représente ce que vaut aujourd’hui un euro reçu demain. Dans la
situation très simpli…ée étudiée ici, ce facteur d’actualisation ne dépend que
du taux d’intérêt. Plus généralement, ce facteur dépend également d’autres
paramètres comme la probabilité de décès.
5.2.2
Le choix intertemporel du consommateur.
Les préférences intertemporelles du consommateur sont supposées représentées par une fonction d’utilité U (x1 ; x2 ) strictement croissante et concave par
rapport à chaque argument et strictement quasi concave. A…n de garantir
l’existence d’une solution intérieure (et donc de négliger les contraintes de
non négativité) nous supposons également que les utilités marginales tendent vers l’in…ni lorsque les consommations correspondantes tendent vers 0.
34
Le programme du consommateur s’écrit:
M axU (x1 ; x2 )
x1 ;x2
SC :
P
x2
1+r
R1
P x1 +
R2
1+r
Le Lagrangien a pour expression:
R2
L(x1 ; x2 ; r; P; R1 ; R2 ; ) = U (x1 ; x2 ) + 1+r
+ R1
Les conditions de premier ordre s’écrivent:
Ux0 1 (x1 ; x2 )
Ux0 2 (x1 ; x2 )
R2
+ R1
1+r
P x1
P x1
P
x
1+r 2
P = 0
P
= 0
1+r
P
x
1+r 2
= 0
Il est clair que les deux premières équations n’admettent pas de solution en
= 0 ce qui signi…e simplement que la contrainte budgétaire intertemporelle
est toujours e¤ective.
Le choix optimal est donc solution du système de deux équations suivant
:
Ux0 1 (x1 ; x2 )
= 1+r
Ux0 2 (x1 ; x2 )
R2
P
+ R1 = P x 1 +
x
1+r
1+r 2
La première équation s’interprête facilement. Le membre de gauche est
le taux marginal de substitution intertemporel et celui de droite le prix relatif de la consommation présente. On retrouve donc l’égalité habituelle qui
caractérise les solutions intérieures et selon laquelle le taux marginal de substitution est égal au rapport des prix (au prix relatif).
De ce système on déduit :x1 = x1 (r; P; R1 ; R2 ) et x2 = x2 (r; P; R1 ; R2 )
En l’absence de revenu de seconde période, les lois de la demande s’appliquent
: L’augmentation du revenu a une in‡uence incertaine sur les consommations
(rappelons nous que le même bien consommé à des dates distinctes est équivalent à deux biens distincts qui peuvent donc être normaux ou inférieurs)
Une hausse du taux d’intérêt s’interprête comme une hausse du prix de
la consommation présente. Si il s’agit d’un bien normal la consommation
35
présente diminue alors sans ambiguité. Si la consommation future est un
bien inférieur elle augmente sans ambiguité. Dans les autres cas, e¤et de
substitution et e¤et revenu jouent en sens contraire.
Comme cela s’observe facilement à partir de la seconde équation, l’existence
d’un revenu futur complique un peu les choses car la hausse du taux d’intérêt
réduit la valeur présente du revenu futur.
36