Mathématiques/2016-2017/Devoir Surveillé/Enoncé/Devoir 11

Le 15 décembre DEVOIR 11 1
Durée : 4 heures. L’utilisation de la calculatrice n’est pas autorisée.
Notations.
Pour tout nombre réel xtel que l’intégrale généralisée Z+∞
0
1−cos(t)
t2e−xt dtconverge, on note ϕ(x)la valeur de
cette intégrale.
Pour tout entier naturel non nul mtel que l’intégrale généralisée Z+∞
0
(sin t)m
tdtconverge, on désigne par Jmsa
valeur.
Objectifs.
L’objet de ce problème est d’étudier l’existence et un procédé de calcul éventuel de Jm.
La partie 1est consacrée à l’étude de la fonction ϕpour obtenir un résultat qui concerne J1.
L’étude de l’existence de Jmfait partie de la partie 2.
La partie 3voit la mise en oeuvre d’un procédé de calcul des intégrales Jm(lorsqu’elles convergent).
1 Etude de la fonction ϕ.
Rappel : ϕ(x) = Z+∞
0
1−cos(t)
t2e−xt dt.
On désigne par d(respectivement δ) la fonction définie sur [0,+∞[par : d(t) = t−1 + cos(t)(respectivement
δ(t) = t2
2−1 + cos(t)).
1.1. Etude des fonctions det δ.
1.1.1 Etudier la fonction d; en déduire qu’il existe un nombre réel αtel que, pour tout nombre réel tstrictement
positif, on ait l’inégalité : 0≤1−cos(t)
t≤α.
1.1.2 Etudier la fonction δ; en déduire qu’il existe un nombre réel βtel que, pour tout nombre réel tstrictement
positif, on ait l’inégalité : 0≤1−cos(t)
t2≤β.
1.2. Existence de la fonction ϕsur [0,+∞[.
Etablir la convergence de l’intégrale généralisée Z+∞
0
1−cos(t)
t2dt. En déduire que ϕ(x)existe pour tout x
appartenant à [0,+∞[.
1.3. Limite de la fonction ϕen +∞.
1.3.1 Préciser le signe de ϕ(x1)−ϕ(x2), pour 0≤x1≤x2. En déduire que la fonction ϕadmet une limite finie
λen +∞.
1.3.2 Déterminer la valeur de λ(on pourra utiliser 1.1.2).

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1.4. Caractère Ckde la fonction ϕ.
1.4.1 Montrer que la fonction ϕest continue sur [0,+∞[.
1.4.2 Montrer que la fonction ϕest de classe C1sur ]0,+∞[(on pourra utiliser 1.1.1).
1.4.3 Montrer que la fonction ϕ0admet une limite finie (que l’on précisera) en +∞.
1.4.4 Montrer que la fonction ϕest de classe C2sur ]0,+∞[.
1.4.5 Expliciter ϕ00(x)pour x∈]0,+∞[.
1.4.6 Expliciter ϕ0(x)pour x∈]0,+∞[. La fonction ϕest-elle dérivable en 0?
1.5. Expression explicite de la fonction ϕ(x).
1.5.1 Déterminer la limite de xln x2
x2+ 1lorsque xtend vers +∞.
1.5.2 Expliciter une primitive de la fonction x7→ ln(1 + x2)(on pourra utiliser une intégration par parties).
1.5.3 Expliciter ϕ(x)pour xappartenant à ]0,+∞[.
1.5.4 Déterminer ϕ(0).
2 Etude de l’existence de Jm.
2.1. Etude de Zπ
2
0
(sin t)m
tdt.
Justifier la convergence de l’intégrale généralisée Zπ
2
0
(sin t)m
tdtpour tout entier naturel non nul m.
Pour tout entier relatif ktel que l’intégrale généralisée Z+∞
π
2
eikt
tdtconverge, on note Ikla valeur de cette
intégrale.
2.2. Etude de J1.
Justifier l’existence de J1et établir une relation entre J1et ϕ(0) (on pourra utiliser une intégration par parties,
en remarquant que (1 −cos)0= sin).
2.3. Etude de l’existence de Ik.
Préciser la nature de l’intégrale généralisée Ikselon la valeur de l’entier relatif k(on pourra utiliser une inté-
gration par parties).
2.4. Etude de la nature de Jm.
Pour tout xappartenant à π
2,+∞et tout entier relatif k, on note : Ik(x) = Zx
π
2
eikt
tdt.
2.4.1 Exprimer, pour tout entier naturel non nul met pour tout nombre réel xappartenant à π
2,+∞, l’intégrale
Zx
π
2
(sin t)m
tdtà l’aide des intégrales Ik(x).
2.4.2 En déduire l’existence de J2p+1 pour tout entier naturel p.
2.4.3 Quelle est la nature de l’intégrale généralisée Z+∞
0
(sin t)2p
tdtpour pentier naturel non nul ?

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3 Calcul de J2p+1.
3.1. Soit t∈[0,π
2].
Justifier la convergence de la série X
n≥1
(−1)n
t2−n2π2et montrer que sa somme est continue sur [0,π
2].
3.2. Etude d’un procédé de calcul.
On désigne par fune fonction définie et continue sur [−1,1] à valeur réelles ; on suppose de plus que fest
impaire et dérivable en 0.
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
•γn=Zπ
2+nπ
π
2+(n−1)π
f(sin t)
tdt,
•unl’application de 0,π
2dans Rdéfinie par un(t) = (−1)n2tf(sin t)
t2−n2π2,
•µn=Zπ
2
0
un(t)dt.
3.2.1 Déterminer la limite de γnlorsque ntend vers +∞.
On pourra justifier puis utiliser que la fonction fest bornée sur [−1,1].
3.2.2 Montre que, pour tout entier naturel non nul n,γn=µn.
3.2.3 Etablir la convergence, pour tout tappartenant à 0,π
2de la série X
n≥1
un(t).
Désormais on note S(t) =
+∞
X
n=1
un(t)pour tout tappartenant à 0,π
2.
3.2.4 Montrer que la fonction Sest continue sur 0,π
2.
3.2.5 Justifier l’égalité Zπ
2
0
S(t)dt=
+∞
X
n=1
γn.
3.2.6 Justifier la convergence de l’intégrale généralisée Z+∞
π
2
f(sin t)
tdtet l’égalité
Zπ
2
0
S(t)dt=Z+∞
π
2
f(sin t)
tdt
3.2.7 Justifier la convergence des intégrales généralisées Zπ
2
0
f(sin t)
sin tdtet Zπ
2
0
f(sin t)
tdt.
3.2.8 On note gle prolongement par continuité sur [0,π
2]de la fonction
t7→ S(t) + f(sin t)
t−f(sin t) sin t
Exprimer la différence Z+∞
0
f(sin(t))
tdt−Zπ/2
0
f(sin(t))
sin(t)dtà l’aide de l’intégrale de gsur le segment
0,π
2.
3.3. Application au calcul de J2p+1.
On admet que la théorie sur les séries de Fourier nous donne le résultat suivant :
∀t∈i0,π
2i,sin t t+
+∞
X
n=1
(−1)n2tsin t
t2−n2π2= 1

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3.3.1 Choisir judicieusement une fonction fet utiliser les résultats précédents, pour retrouver la valeur de J1
(déjà obtenue en 2.2).
3.3.2 Calculer J3.
3.3.3 Plus généralement, expliciter J2p+1 pour tout entier naturel p.