TD2 - IECL - Université de Lorraine

Universit´e de Lorraine 2014-2015
D´epartement de Math´ematiques
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Master 1 Math´ematiques
F.Robert, J.Maubon
TD2’ : L’alg`ebre des fonctions continues sur un compact
On cherche `a illustrer le fait que les propri´et´es d’un espace topologique compact
Xse refl`etent dans celles de l’alg`ebre de Banach C0(X, R) des fonctions continues
de Xdans R.
On commence par des pr´eliminaires sur le lemme d’Urysohn, la topologie produit
et le dual topologique d’un espace vectoriel norm´e.
Exercice 1. (Compact implique normal) Montrer qu’un espace topologique
compact Xest normal, i.e. que si Fet F0sont deux ferm´es disjoints de X, il existe
deux ouverts disjoints Uet U0de Xtels que F⊂Uet F0⊂U0. [On pourra
commencer par le cas o`u Fest r´eduit `a un singleton.]
Exercice 2. (Lemme d’Urysohn) On veut montrer le lemme d’Urysohn : si F
et F0sont deux ferm´es disjoints d’un espace normal X(par exemple un espace
compact) alors il existe f:X→Rcontinue telle que f(x) = 0 sur Fet f(x)=1
sur F0.
Soit R=Q∩[0,1]. On ´ecrit les ´el´ements de Rcomme une suite (rn)n∈Navec
r0= 1 et r1= 0. On pose U1=Ur0=X\F0
(1) Montrer qu’on peut choisir un ouvert U0=Ur1tel que F⊂U0et U0⊂U1.
(2) Montrer par r´ecurrence qu’on peut construire une famille d’ouverts Urin-
dex´ee par Rtels que ∀r, s ∈R,r < s implique Ur⊂Us.
(3) Montrer que la fonction f:X→[0,1] d´efinie par
f(x) = inf{r∈Rtq x∈Ur}, si x /∈F0
1 , si x∈F0
est continue et conclure.
Exercice 3. (Topologie produit) Soient Iun ensemble et {Xi}i∈Iune famille
d’ensembles index´ee par I. Le produit X=Qi∈IXiest par d´efinition l’ensemble
des applications xde Idans ∪i∈IXitelles que x(i)∈Xipour tout i∈I. On notera
en g´en´eral x(i) = xiet x= (xi)i∈I. Pour i∈I, on note pil’application X→Xi
donn´ee par x7→ xi.
Si les ensembles Xisont des espaces topologiques, on d´efinit la topologie produit
sur Xcomme la topologie la moins fine (i.e. qui a le moins d’ouverts) rendant toutes
les projections picontinues. C’est-`a-dire que pour tout j∈Iet pour tout ouvert
Ujde Xj, il faut que
p−1
j(Uj) = Uj×Y
i6=j
Xi
soit un ouvert de X.
On appelle pav´e ouvert un ensemble du type
\
j∈J
p−1
j(Uj) = Y
j∈J
Uj×Y
i∈I\J
Xi
1

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o`u Jest un sous-ensemble fini (´eventuellement vide) de Iet, pour tout j∈J,Uj
est un ouvert de Xj.
(1) Montrer que les ouverts de Xsont exactement les unions de pav´es ouverts.
(2) Montrer que si pour tout i∈I,Fiest un ferm´e de Xialors Qi∈IFiest un
ferm´e de X.
(3) Montrer qu’une application fd’un espace topologique Ydans Xest conti-
nue si et seulement si toutes ses ”composantes” fi:= pi◦f,i∈I, sont
continues.
(4) Montrer que si tous les Xisont s´epar´es, Xaussi.
Exercice 4. (Convergence simple) Soient Xet Ydeux espaces topologiques.
Soit YXl’ensemble des applications de Xdans Y. Cet ensemble s’identifie au
produit Qx∈XYx, o`u l’on a pos´e Yx=Ypour tout x∈X, et peut donc ˆetre muni
de la topologie produit.
Montrer qu’une suite (fn)n∈Nde YXconverge simplement vers une application
f∈YXsi et seulement si elle converge vers fau sens de la topologie produit.
Exercice 5. (Topologies sur le dual topologique d’un espace vectoriel
norm´e) Soit (E, k.k) un R-espace vectoriel norm´e. Soit E0le dual topologique de
(E, k.k), c’est-`a-dire l’espace vectoriel des formes lin´eaires continues sur (E, k.k).
(1) Montrer qu’une forme lin´eaire ϕsur Eest continue si et seulement si
kϕkop := sup
{x∈Etq kxk=1}
|ϕ(x)|<+∞
et qu’alors on a |ϕ(x)|≤kϕkop kxkpour tout x∈E.
(2) Montrer que l’application qui `a ϕ∈E0associe kϕkop est une norme sur E0,
appel´ee souvent norme d’op´erateur.
La topologie induite par cette norme sur E0s’appelle la topologie forte sur E0.
Le dual topologique E0est un sous-ensemble de l’ensemble REdes applications de
Edans Ret peut donc aussi ˆetre muni de la topologie induite par la topologie
produit. Cette topologie s’appelle la topologie faible-?(lire ”faible-´etoile”) sur E0.
(3) Laquelle de ces deux topologies est-elle la plus fine ?
(4) Montrer que le dual alg´ebrique E?de E(i.e. le sous-espace vectoriel des
formes lin´eaires sur E) est un ferm´e de REmuni de la topologie faible-?.
(5) Montrer en utilisant le th´eor`eme de Tychonoff (un produit d’espaces to-
pologiques compacts est compact pour la topologie produit) que la boule
unit´e ferm´ee E0
1de E0(pour la norme d’op´erateur) est compacte pour la
topologie faible-?de E0.
Ce dernier r´esultat est l’un des int´erˆets majeurs de la topologie faible-?.
Exercice 6. On suppose que l’espace vectoriel norm´e (E, k.k) est s´eparable et on
choisit un sous-ensemble d´enombrable dense {en, n ∈N}de E. Soit E0
1la boule
unit´e ferm´ee (pour la norme d’op´erateur) du dual E0de E. Montrer que la formule
d(ϕ, ψ) = X
k∈N
1
2k
|ϕ(ek)−ψ(ek)|
1 + |ϕ(ek)−ψ(ek)|
d´efinit une distance sur E0
1et que cette distance induit la topologie faible-?.

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Exercice 7. (Un espace compact Xest m´etrisable si et seulement si
l’alg`ebre C0(X, R)est s´eparable) Soit Xun espace topologique compact, E=
C0(X, R) l’alg`ebre des fonctions continues sur Xmunie de la norme infinie k.k∞.
(1) Montrer que si la topologie de Xest m´etrisable, alors (E, k.k∞) est s´eparable.
[On se souviendra que Xest alors lui-mˆeme s´eparable et on pourra consid´erer
des fonctions distance `a des points de Xbien choisis.]
(2) Soit E0le dual topologique de (E, k.k∞) muni de sa norme d’op´erateur.
Soit l’application ”´evaluation” :
δ:X→E0
x7→ δx:E→R
ϕ7→ δx(ϕ) := ϕ(x)
(a) Montrer que δest `a valeurs dans la boule unit´e ferm´ee E0
1de E0.
(b) Montrer que δest injective.
(c) Montrer que δest continue si E0
1est munie de la topologie faible-?,
puis que δest un hom´eomorphisme sur son image.
(d) Conclure que Xest m´etrisable si C0(X, R) est s´eparable.
Exercice 8. (Une version ”alg`ebre” du th´eor`eme de Banach-Stone) Le but
de cet exercice est de montrer que deux espaces topologiques compacts Xet Ysont
hom´eomorphes si et seulement si C0(X, R) et C0(Y, R) sont isomorphes en tant
qu’alg`ebres (et alors elles sont isom´etriques si on les munit de leur norme infinie).
Le ”vrai” th´eor`eme de Banach-Stone dit qu’une autre condition (n´ecessaire
et) suffisante est que C0(X, R) et C0(Y, R), munis de leur norme infinie, soient
isom´etriquement isomorphes en tant qu’espaces vectoriels.
(1) Soient Xet Ydeux espaces topologiques compacts. Montrer que si Xet Y
sont hom´eomorphes, il existe un isomorphisme d’alg`ebres entre C0(X, R)
et C0(Y, R) et que cet isomorphisme pr´eserve les normes infinies.
(2) Soit Xun espace topologique compact, El’alg`ebre C0(X, R) et E0le dual
topologique de (E, k.k∞), muni de la norme d’op´erateur. Une forme lin´eaire
φsur Eest dite multiplicative si φ(f g) = φ(f)φ(g) pour tout f, g ∈E.
(a) Montrer qu’une forme lin´eaire multiplicative est continue et de norme
1.
(b) Montrer que l’ensemble Mdes formes lin´eaires multiplicative est un
ferm´e de la boule unit´e ferm´ee E0
1de E0pour la topologie faible-?, et
donc que Mest compact.
(c) V´erifier que les formes d’´evaluation δxpour x∈Xd´efinies `a l’exercice
pr´ec´edent sont multiplicatives et en d´eduire que δ(X) := {δx, x ∈X}
est un ferm´e de M.
(d) Soit l’application u:E=C0(X, R)→C0(M, R) d´efinie par u(f) :
φ7→ φ(f). V´erifier que uest lin´eaire et isom´etrique (pour les normes
k.k∞).
(e) Montrer que l’image de uest ferm´ee dans C0(M, R). [On pourra mon-
trer que si (fn) est une suite de C0(X, R) telle que (u(fn)) converge vers
gdans C0(M, R), alors (fn) converge vers la fonction f:x7→ g(δx)
dans C0(X, R).]

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(f) Montrer en utilisant le th´eor`eme de Stone-Weierstrass que uest sur-
jective.
(g) Montrer que δ(X) = M. [On pourra raisonner par l’absurde et utiliser
le lemme d’Urysohn sur Met la question pr´ec´edente.]
(3) Soient Xet Ydeux espaces topologiques compacts et soit H:C0(Y, R)→
C0(X, R) un morphisme d’alg`ebres.
(a) Soit x∈X. Montrer que l’application g7→ δx(H(g)) est une forme
lin´eaire multiplicative sur C0(Y, R) et en d´eduire qu’il existe un unique
y∈Ytel que H(g)(x) = g(y), et qu’en particulier kHk ≤ 1.
(b) La question pr´ec´edente d´efinit une application h:X→Ytelle que
H(g) = g◦hpour tout g∈C0(Y, R). Montrer que cette application est
continue. [Si Vest un ouvert de Yet x0∈h−1(V), on pourra prendre
une fonction gnulle hors de Vmais non nulle en h(x0) (pourquoi ?) et
consid´erer l’ensemble U={x∈Xtq g◦h(x)6= 0}.]
(c) Montrer que si Hest un isomorphisme, hest un hom´eomorphisme.
Exercice 9. (Compactification de Stone-ˇ Cech) Soit Xun espace topo-
logique normal. En reprenant les 2 exercices pr´ec´edents en rempla¸cant l’alg`ebre
C0(X, R) des fonctions continues sur X(qui ne peut plus ˆetre norm´ee) par l’alg`ebre
C0
b(X, R) des fonctions continues born´ees (qui est bien une alg`ebre de Banach), mon-
trer qu’il existe un espace topologique compact Mtel que Xest hom´eomorphe `a
une partie dense de Met que toute fonction continue born´ee sur Xse prolonge de
mani`ere unique en une fonction continue sur M.
Montre que cet espace Mest unique (`a hom´eomorphisme pr`es). On appelle M
le compactifi´e de Stone-ˇ Cech de X.
Le compactifi´e de Stone-ˇ Cech de ]0,1] est-il [0,1] ?