DM1

Mathématiques : DM 1
mp* 2016-2017
pour le 26 Septembre 2016
On sera très attentif à la rédaction et à la présentation
Problème 1 : Pour tous. C’est bien d’essayer de rendre au moins les quatre
premières parties.
Objectif : calculer avec les nombres complexes, travailler avec les structures
de base et avec les matrices. Faire un (petit) peu d’arithmétique.
Problème 2 : Supplément facultatif. Encore des matrices à coefficients en-
tiers, mais c’est plus difficile.
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Problème 1 : Homographies
Introduction
Cette introduction est purement « culturelle », et ne contient aucune notation
ou résultat utilisé dans l’énoncé.
Cet énoncé explore l’utilisation, dans deux contextes très différents, des ho-
mographies. Une homographie est une application de la forme
z7−→ az +b
cz +d
et il est très remarquable qu’un objet mathématique aussi simple s’avère
aussi utile.
Les homographies ont d’abord été utilisées en géométrie ; elles ont la remar-
quable propriété de conserver le « birapport ». Cet aspect n’est pas abordé
dans le problème, la géométrie n’est d’ailleurs plus trop à la mode dans les
programmes actuels. Dommage, on aurait pu utiliser les homographies pour
montrer le théorème de Feuerbach, un des plus beaux théorèmes de la géo-
métrie élémentaire : dans un triangle, le cercle des 9 points est tangent aux
cercles inscrit et exinscrits.
Les homographies interviennent aussi dans la théorie des fonctions ellip-
tiques, et c’est plus long à expliquer. . .voici ce qu’en dit l’introduction du
problème Centrale 2004 Math II :
Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de
Fermat par Andrew Wiles, les « courbes elliptiques » jouent
un rôle central par le biais de l’action du groupe SL2(Z)sur
le demi-plan ouvert
H={z∈C: Im(z)>0}.
En effet, il se trouve que l’ensemble des courbes elliptiques
sur le corps Cest en bijection (à un C-isomorphisme près)
avec l’ensemble des réseaux de C(à une similitude près), lui-
même en bijection avec l’ensemble des orbites du demi-plan
Hsous l’action de SL2(Z).
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Les parties I,II,III sont extraites de ce problème Centrale 2004.
Les homographies interviennent aussi dans le modèle de géométrie hyper-
bolique dit du « disque de Poincaré ». Pour résumer, on appelle géométrie
hyperbolique une géométrie ayant la propriété suivante : si Dest une droite
et Mun point qui n’est pas sur D, il y a beaucoup de droites parallèles
àDpassant par M. C’est donc une géométrie non euclidienne. Le disque
de Poincaré est un modèle de géométrie hyperbolique, pour lequel certaines
homographies ont la propriété d’être des isométries. C’est ce qui est abordé
dans les parties Vet VI.
Les parties V et VI sont indépendantes des parties I à IV.
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I Matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers
Soit M2(Z)l’ensemble des matrices carrées a b
c dd’ordre 2 à coefficients
dans l’anneau Zdes entiers relatifs.
Dans cette partie, les lettres a, b, c, d désignent des éléments de Z. On pose
I2=1 0
0 1.
1. Démontrer que l’ensemble M2(Z)est un anneau.
2. (a) Démontrer que l’ensemble GL2(Z)des éléments de M2(Z)inver-
sibles dans M2(Z)est un groupe pour la multiplication, appelé
groupe des unités de l’anneau M2(Z).
(b) Montrer que a b
c d∈GL2(Z)si et seulement si |ad −bc|= 1.
3. On pose
SL2(Z) = {a b
c d∈ M2(Z) : ad −bc = 1}
(a) Montrer que SL2(Z)est un groupe pour la multiplication des
matrices.
(b) Déterminer l’ensemble des couples (c, d)∈Z×Ztels que la ma-
trice 3 5
c dappartienne à SL2(Z).
(c) Déterminer l’ensemble des couples (c, d)∈Z×Ztels que la ma-
trice 3 5
c dappartienne à GL2(Z).
(d) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple
(a, b)de Z×Zpour qu’il existe une matrice a b
c dappartenant
àGL2(Z)?
II Réseaux de C
On note Hle demi-plan ouvert défini par H={z∈C: Im(z)>0}.
B= (α, β)étant une base de Cconsidéré comme plan vectoriel réel, on
appelle réseau engendré par Bl’ensemble
ΛB=Zα+Zβ={uα +vβ ; (u, v)∈Z2}
Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la
lettre Λ, sans préciser quelle base de Bl’engendre.
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1. (a) Démontrer que tout réseau Λpeut être engendré par une base
B= (α, β)de Ctelle que α
β∈ H.
(b) Démontrer que pour tout quadruplet (a, b, c, d)∈Z4et pour tout
z∈Ctel que cz +d6= 0, on a
Imaz +b
cz +d=ad −bc |cz +d|2Im(z)
2. Soit B= (ω1, ω2)et B0= (ω0
1, ω0 2)deux bases de Ctelles que
ω1
ω2
∈ H et ω0
1
ω0
2
∈ H. Montrer qu’elles engendrent le même réseau Λ
si et seulement si il existe une matrice a b
c d∈SL2(Z)telle que
ω0
1
ω0
2=a b
c dω1 ω2.
3. Pour tout complexe τ∈C\Ron note Λτle réseau engendré par la base
(τ, 1) de C. On suppose que τ∈ H. Trouver la condition nécessaire et
suffisante pour qu’un élément τ0∈ H vérifie Λτ0= Λτ
III Action du groupe Γdes homographies associées
àSL2(Z)sur l’ensemble H
A toute matrice a b
c dde SL2(Z)on associe l’application g:H → C
définie par ∀τ∈ H g(τ) = aτ +b
cτ +d.
1. (a) Montrer que l’on a g(H)⊂ H. On identifie dorénavant gavec l’ap-
plication de Hdans Hqu’elle induit. Lorsque la matrice Apar-
court SL2(Z), l’application correspondante gde Hvers Hdécrit
un ensemble noté Γ. Dans la suite de cette question on s’intéresse
aux propriétés de la surjection
Φ : SL2(Z)−→ Γ
A7−→ g
(b) Montrer que Φ(A)◦Φ(A0) = Φ(AA0). En déduire que la loi ◦de
composition des applications est une loi interne sur Γ.
(c) Pour tout A∈SL2(Z), montrer que Φ(A)est une bijection de H
sur Het que l’on a [Φ(A)]−1= Φ(A−1). En déduire que (Γ,◦)est
un groupe.
(d) Montrer que hΦ(A) = idHi⇔[A=±I2].
(e) i. Résoudre l’équation Φ(A) = Φ(A0).
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