Feuille 4 : Quelques exercices sur l`algèbre extérieure

Master 2 Mathématiques fondamentales Année 2016-2017
Quelques exercices sur l’algèbre extérieure
Exercice 1. Soit Eun R-espace vectoriel de dimension n.
1. Si a, b ∈Λ1(E∗), montrer que a∧a= 0 et que a∧b=−b∧a. A-t-on c∧c= 0 lorsque
c∈Λ2(E)?
2. Montrer que si (v1, ..., vp)est une famille liée alors pour tout élément α∈Λp(E)6= 0, on a
α(v1, ..., vp) = 0. Réciproquement, (v1, ..., vp)est une famille libre alors pour tout élément
α∈Λp(E), a-t-on α(v1, ..., vp)6= 0, discuter suivant les valeurs de p.
3. Montrer que pformes linéaires φ1, ..., φp∈E∗forment une famille libre si et seulement si
φ1∧... ∧φp6= 0.
Exercice 2.
Soit Eun R-espace vectoriel de dimension n. À tout endomorphisme f∈ L(E), on associe
f∗∈ L(ΛE∗)défini par
f∗α(X1, .., Xk) = α(f(X1), .., f(Xk)), α ∈ΛkE∗.
1. Montrer que f∗est en fait un morphisme d’algèbre et rappeler pourquoi f∗
ΛnE∗= det fIdΛnE∗.
2. Soit Bune base de Eet B∗={θ1, .., θn}la base duale à B; c’est donc une base de E∗= Λ1E∗,
si I={i1< i2< .. < ip}est une partie de {1, ..n}, on note θI=θi1∧.. ∧θipen convenant
que θ∅= 1. Montrer que si (ai,j )est la matrice de fdans la base Balors
f∗θI=X
J={j1<j2<..<jp}
det ajk,jl1≤k,l≤pθJ.
3. Montrer que fest de rang rsi et seulement si f∗: Λr(E∗)→Λr(E∗)n’est pas nul alors que
f∗: Λr−1(E∗)→Λr−1(E∗)est nul.
Exercice 3.
Par rapport aux exercices précédcents, on suppose maintenant que Eest de plus euclidien et on
suppose que Best une base orthonormée.
1. A α∈ΛkE∗, on associe
kαk2=X
i1<i2<..<ik
|α(ei1, ..eik)|2,
montrer que ceci définit une structure euclidienne indépendante du choix de la base orthonor-
mée choisie et que cette structure euclidienne rend la base {θI}Iorthonormée.
2. Montrer que les applications
E→Λ1E∗
v7→ < v, . > et A(E)→Λ2E∗ f7→ ((x, y)7→< fx, y >)
sont des isomorphismes, où A(E)est l’ensemble des endomorphismes de Eanti-symétriques.
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3. le produit intérieur:
Soit uun vecteur de Eet θla 1-forme qui lui correspond via l’isomorphisme précédent. On
note Eθl’endomorphisme “produit extérieur à gauche par θ” et iule produit intérieur par u
défini par
iu(α)(X1, .., Xk) = α(u, X1, .., Xk), α ∈Λk+1E∗.
Montrer que pour la structure euclidienne définie précédement l’endomorphisme adjoint à Eθ
est iu, et montrer que
(Eθ−iu)◦(Eθ−iu) = −|u|2Id.
Exercice 4.
On suppose désormais que Eest de plus orienté et que la base Best directe, on note ω=θ1,2,..n
la forme volume.
1. Montrer qu’il existe un opérateur linéaire ∗: ΛkE∗→Λn−kE∗tel que
α∧ ∗α=|α|2ω, ∀α∈ΛkE∗.
2. Exprimer alors ∗θIet ∗◦∗.
Quelques exercices sur les formes différentielles
Exercice 5. Soit H={z∈C,=z > 0}, si g=a b
c d est un élement de SL2(R), on note ρg
la fraction rationelle
ρg(z) = a z +b
c z +d.
1. Montrer que ρgconserve Het que ceci définit une action de SL2(R)sur H, i.e. que g7→ ρg
est un morphisme de groupe de SL2(R)dans le groupe des difféomorphismes de H.
2. En décomposant la fraction ρgen éléments simples, déterminer un système de générateurs du
groupe ρ(SL2(R)).
3. Déterminer les 1et 2-formes de Hqui sont invariantes par cette action de SL2(R), i.e. trouver
les ω∈C∞(Λ2T∗H)telles que
ρ∗
gω=ω, ∀g∈SL2(R).
Exercice 6.
1. Soit A∈Mn(R), calculer, en fonction du déterminant de Ale déterminant de l’endomorphisme
LAde Mn(R), défini par
LAH=AH.
2. Déterminer les formes différentielles de degré n2sur GLn(R)qui sont invariantes par les
translations à gauche LAA∈GLn(R), i.e. trouver les α∈Ωn2(T∗GLn(R)) telle que
L∗
Aα=α, ∀A∈GLn(R).
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