Master 2 Mathématiques fondamentales Année 2016-2017
Quelques exercices sur l’algèbre extérieure
Exercice 1. Soit Eun R-espace vectoriel de dimension n.
1. Si a, b ∈Λ1(E∗), montrer que a∧a= 0 et que a∧b=−b∧a. A-t-on c∧c= 0 lorsque
c∈Λ2(E)?
2. Montrer que si (v1, ..., vp)est une famille liée alors pour tout élément α∈Λp(E)6= 0, on a
α(v1, ..., vp) = 0. Réciproquement, (v1, ..., vp)est une famille libre alors pour tout élément
α∈Λp(E), a-t-on α(v1, ..., vp)6= 0, discuter suivant les valeurs de p.
3. Montrer que pformes linéaires φ1, ..., φp∈E∗forment une famille libre si et seulement si
φ1∧... ∧φp6= 0.
Exercice 2.
Soit Eun R-espace vectoriel de dimension n. À tout endomorphisme f∈ L(E), on associe
f∗∈ L(ΛE∗)défini par
f∗α(X1, .., Xk) = α(f(X1), .., f(Xk)), α ∈ΛkE∗.
1. Montrer que f∗est en fait un morphisme d’algèbre et rappeler pourquoi f∗
ΛnE∗= det fIdΛnE∗.
2. Soit Bune base de Eet B∗={θ1, .., θn}la base duale à B; c’est donc une base de E∗= Λ1E∗,
si I={i1< i2< .. < ip}est une partie de {1, ..n}, on note θI=θi1∧.. ∧θipen convenant
que θ∅= 1. Montrer que si (ai,j )est la matrice de fdans la base Balors
f∗θI=X
J={j1<j2<..<jp}
det ajk,jl1≤k,l≤pθJ.
3. Montrer que fest de rang rsi et seulement si f∗: Λr(E∗)→Λr(E∗)n’est pas nul alors que
f∗: Λr−1(E∗)→Λr−1(E∗)est nul.
Exercice 3.
Par rapport aux exercices précédcents, on suppose maintenant que Eest de plus euclidien et on
suppose que Best une base orthonormée.
1. A α∈ΛkE∗, on associe
kαk2=X
i1<i2<..<ik
|α(ei1, ..eik)|2,
montrer que ceci définit une structure euclidienne indépendante du choix de la base orthonor-
mée choisie et que cette structure euclidienne rend la base {θI}Iorthonormée.
2. Montrer que les applications
E→Λ1E∗
v7→ < v, . > et A(E)→Λ2E∗
f7→ ((x, y)7→< fx, y >)
sont des isomorphismes, où A(E)est l’ensemble des endomorphismes de Eanti-symétriques.
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