Nombres de Bernouilli Séries de Poincaré - IMJ-PRG

kUniversité Paris 7 - Denis Diderot Année 2007/08
UFR de Mathématiques M2 - Intro. aux formes modulaires
Feuille d’exercices nř2
Nombres de Bernouilli
Séries de Poincaré
Exercice 1. Nombres de Bernouilli.
a) On définit les nombres bk(k>0) par le développement en série t
et−1=Pk>0
bk
k!tk.
Jusitifier cette définition. Calculer b0,b1,b2,b3et b4.
b) Montrer que les nombres de Bernouilli sont rationnels.
c) Vérifier, au voisinage de 0, les égalités cotg z= i (1 + 2
e2iz−1) = i + Pk>0
(2 i)kbk
k!zk−1.
d) En déduire que bk= 0 dès que k>3est impair.
e) En posant Bk(−1)k+1 b2k(k>1), montrer l’égalité cotg z=1
z−Pk>1
22kBk
(2 k)! z2k−1.
Exercice 2. Valeurs de ζaux entiers positifs pairs.
On admet l’égalité cotg z=limN→∞ Pn=−N
N1
z−n π et on rappelle que la fonction ζde Rie-
mann est définie par le produit infini ζ(z) = Pn>1
1
ns(Re(s)>1).
a) Montrer que, pour tout z∈Ctel que |z|< π, on a cotg(z) = 1
z−2Pk>1
ζ(2 k)
π2kz2k−1.
b) En déduire que ζ(2 k) = 22k−1π2kBk
(2 k)! , pour tout k>1.
On remarquera que ζ(2 k)
π2k(k>1) est rationnel.
Exercice 3. Le but de cet exercice est de montrer l’égalité cotg(z) = limN→∞ Pn=−N
N1
z−n π .
a) Montrer que chacun des membres de cette égalité définit une fonction holomorphe,
impaire et périodique de période πsur CrZπ.
b) Montrer que chacun des membres de cette égalité est borné sur la bande {x+ i y:x, y ∈
R,|x|6π
2, y >π}.
c) Montrer que la différence cotg(z)−Pn∈Z
1
z−n π définit une fonction entière (i.e. holo-
morphe sur C) et bornée.
d) En déduire l’égalité voulue.
Exercice 4. Factorisation de Weierstrass de la fonction sin.
Utiliser l’exercice précédent pour démontrer la factorisation sin z=zQn∈Z
′1−z
n π .
Exercice 5. Soit Γun sous-groupe de SL2(Z)d’indice fini. On note Mk(Γ) l’espace des formes
modulaires de poids kpour Γ.
Pour γ∈SL2(Z), on note Γγγ−1Γγ.
Montrer que l’application f f |kγest un isomorphisme de Mk(Γ) sur Mk(Γγ).
Exercice 6. Soit L⊂Cun réseau. On note Pu∈L
′=Pu∈Lr{0}.
Pour k>3, montrer que la série Pu∈L
′1
ukest absolument convergente.
Exercice 7. Séries de Poincaré. Soient k>2et Γ⊂SL2(Z)un sous-groupe d’indice fini.
a) Montrer qu’il existe un unique entier h > 0tel que Γ∞FixΓ(∞)est engendré par un
élément ±1h
0 1 et, éventuellement, −1.
b) En laissant de côté les problèmes de convergence, montrer que la série de Poincaré ϕnde
poids 2ket caractère n∈Ndéfnie par ϕn(z) = Pγ∈Γ∞\Γj(γ, z)−2ke
2iπn
hγ(z)est une
forme modulaire de poids 2kpour Γ.

c) Lorsque Γ = SL2(Z), montrer l’égalité Gk= 2 ζ(2 k)ϕ0, où Gkest la série d’Eisenstein
Gk(τ)P(m,n)∈Z2
′1
(m τ +n)2kde poids 2k.
d) Soit fune forme cuspidale fde poids 2kpour Γ, ayant pour développement de Fourier à
l’infini f(z) = Pn>0ane
2i πn z
h.
Montrer que le produit de Petersson hf , ϕni=RΓ\Hf ϕny2kdµ(où µ=dxdy
y2) est
donné par hf , ϕni=RΓ∞\Hf(z) e−2i πn z
hy2kdµ=h2k(2 k−2)!
(4 π)2k−1n1−2kan(rappel :
Ry=0
+∞e−yykdy=k!)
e) Montrer que ϕ0(∞) = 1 et ϕn(∞) = 0 si n>1.
f) Soit p∈P1(Q)rΓ.∞une pointe non Γ-équivalente à la pointe ∞et g∈SL2(Z)tel que
g.∞=p. En considérant ϕn|g, montrer que ϕns’annule en p, pour tout n>0.
g) Montrer que les séries de Poincaré ϕn(n>1) engendrent l’espace des formes modulaires
cuspidales de poids 2kpour Γ.