Nombres de Bernouilli Séries de Poincaré - IMJ-PRG

kUniversité Paris 7 - Denis Diderot
UFR de Mathématiques
Année 2007/08
M2 - Intro. aux formes modulaires
Feuille d’exercices nř2
Nombres de Bernouilli
Séries de Poincaré
Exercice 1. Nombres de Bernouilli.
t
et − 1
a) On définit les nombres bk (k > 0) par le développement en série
Jusitifier cette définition. Calculer b0, b1, b2, b3 et b4.
=
P
bk k
k>0 k! t .
b) Montrer que les nombres de Bernouilli sont rationnels.
2
c) Vérifier, au voisinage de 0, les égalités cotg z = i (1 + e2iz − 1 ) = i +
d) En déduire que bk = 0 dès que k > 3 est impair.
e) En posant Bk
4 (−1)
k+1
1
P
b2k (k > 1), montrer l’égalité cotg z = z −
k>0
P
k>1
(2 i)k bk
k!
22k Bk
(2 k)!
z k−1.
z 2k−1.
Exercice 2. Valeurs de ζ aux entiers positifs pairs.
PN
1
On admet l’égalité cotg z = limN →∞
n=−N z − n π et on rappelle que la fonction ζ de RieP
1
mann est définie par le produit infini ζ(z) = n>1 ns (Re(s) > 1).
P
1
ζ(2 k)
a) Montrer que, pour tout z ∈ C tel que |z | < π, on a cotg(z) = z − 2 k>1 π2k z 2k−1.
22k −1 π 2k Bk
, pour tout k > 1.
(2 k)!
ζ(2 k)
(k > 1) est rationnel.
π 2k
b) En déduire que ζ(2 k) =
On remarquera que
Exercice 3. Le but de cet exercice est de montrer l’égalité cotg(z) = limN →∞
1
n=−N z − n π .
PN
a) Montrer que chacun des membres de cette égalité définit une fonction holomorphe,
impaire et périodique de période π sur C r Z π.
b) Montrer que chacun des membres de cette égalité est borné sur la bande {x + i y : x, y ∈
π
R, |x| 6 2 , y > π }.
P
1
c) Montrer que la différence cotg(z) − n∈Z z − n π définit une fonction entière (i.e. holomorphe sur C) et bornée.
d) En déduire l’égalité voulue.
Exercice 4. Factorisation de Weierstrass de la fonction sin.
Q′
Utiliser l’exercice précédent pour démontrer la factorisation sin z = z n∈Z
z 1− nπ .
Exercice 5. Soit Γ un sous-groupe de SL2(Z) d’indice fini. On note Mk(Γ) l’espace des formes
modulaires de poids k pour Γ.
γ −1 Γ γ.
Pour γ ∈ SL2(Z), on note Γ γ
Montrer que l’application f f |kγ est un isomorphisme de Mk(Γ) sur Mk(Γ γ ).
P′
P
.
Exercice 6. Soit L ⊂ C un réseau. On note
u∈L =
u∈Lr{0}
P′
1
Pour k > 3, montrer que la série
u∈L uk est absolument convergente.
4
Exercice 7. Séries de Poincaré. Soient k > 2 et Γ ⊂ SL2(Z) un sous-groupe d’indice fini.
a) Montrer qu’il
existe
un unique entier h > 0 tel que Γ∞
1 h
élément ± 0 1 et, éventuellement, −1.
4 Fix (∞) est engendré par un
Γ
b) En laissant de côté les problèmes de convergence, montrer que la série de Poincaré ϕn de
2iπn
P
γ(z)
est une
poids 2 k et caractère n ∈ N défnie par ϕn(z) = γ ∈Γ∞\Γ j(γ, z)−2k e h
forme modulaire de poids 2 k pour Γ.
c) Lorsque Γ = SL2(Z), montrer l’égalité Gk = 2 ζ(2 k) ϕ0, où Gk est la série d’Eisenstein
P′
1
de poids 2 k.
Gk(τ )
(m,n)∈Z2 (m τ + n)2k
4
d) Soit f une forme cuspidale f de poids 2 k pour Γ, ayant pour développement de Fourier à
2iπnz
P
l’infini f (z) = n>0 an e h .
R
dx dy
Montrer que le produit de Petersson hf , ϕn i = Γ\H f ϕn y 2k dµ (où µ = y2 ) est
2iπnz
R
h2k (2 k − 2)!
−
donné par hf , ϕn i = Γ \H f (z) e h y 2k dµ = (4 π)2k −1 n1−2k an (rappel :
∞
R +∞ −y k
e y dy = k!)
y=0
e) Montrer que ϕ0(∞) = 1 et ϕ n(∞) = 0 si n > 1.
f) Soit p ∈ P1(Q) r Γ.∞ une pointe non Γ-équivalente à la pointe ∞ et g ∈ SL2(Z) tel que
g.∞ = p. En considérant ϕn |g, montrer que ϕn s’annule en p, pour tout n > 0.
g) Montrer que les séries de Poincaré ϕn (n > 1) engendrent l’espace des formes modulaires
cuspidales de poids 2 k pour Γ.