partie 1 - Concours Communs Polytechniques

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Les calculatrices sont autorisées
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
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Exercice 1 : étude d’une suite récurrente
On considère la suite (un)n∈N, définie par :
∀n∈N,u
n+1 =cos(un)etu0=0.
1. Démontrer que la fonction cosinus admet un unique point fixe ldans [0,1], c’est-à-dire qu’il
existe un unique réel l∈[0,1], tel que cos l=l.
2. Démontrer que pour tout n∈N,onaun∈[0,1].
3. Démontrer que :
∀(x, y)∈[0,1]2,|cos x−cos y|(sin 1)|x−y|.
4. En déduire que :
∀n∈N,|un−l|(sin 1)n.
5. Conclure que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.
6. Déterminer un entier Ntel que, pour tout entier nN,unest une valeur approchée de l
à10
−6près.
Exercice 2 : autour des matrices antisymétriques
Une matrice Ade Mn(R)(n∈N∗) est dite antisymétrique si elle est égale à l’opposé de sa
transposée, c’est-à-dire si :
tA=−A.
On note Anl’ensemble des matrices antisymétriques de Mn(R).
1. Démontrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique de Anvaut 0 si nest impair.
Le résultat subsiste-t-il si nest pair ?
2. Démontrer que Anest un sous-espace vectoriel de Mn(R).
3. Donner sans justifier une base de A4, puis préciser sa dimension. On notera Eij la matrice
élémentaire de M4(R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne iet de la
colonne jqui vaut 1, et on exprimera les vecteurs de la base à l’aide des matrices élémentaires.
4. Antisymétrique et nilpotente
Soit Aune matrice de Anque l’on suppose en plus nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe un
entier naturel ptel que Ap= 0. Le but de cette question est de démontrer que Aest nulle.
(a) Démontrer que la matrice tAA est symétrique et nilpotente.
(b) Démontrer que les valeurs propres d’une matrice nilpotente sont nulles. En déduire
qu’une matrice diagonalisable et nilpotente est nécessairement nulle.
(c) En déduire que la matrice tAA est nulle.
(d) Exprimer la trace de la matrice tAA en fonction des coefficients (ai,j ) de la matrice A.
En déduire que Aest nulle.
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Exercice 3 : une équation fonctionnelle
Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions fdérivables de Rdans R, vérifiant
l’égalité :
()∀(x, y)∈R2,f(x+y)=f(x)f(y).
Pour cela, on mène un raisonnement par «analyse-synthèse».
Analyse : dans les questions 1.,2.,3. et 4.,fdésigne une fonction dérivable de Rdans R
vérifiant l’égalité () ci-dessus.
1. Démontrer que f(0) ∈{0,1}.
2. Quediredefsi f(0) = 0 ?
On suppose désormais, jusqu’à la fin de l’analyse, que f(0) = 1.
3. Démontrer que ∀x∈R,f
(x)=f(x)f(0).
4. On pose a=f(0). En déduire l’expression de fen fonction de a.
5. Synthèse : conclure.
Fin de l’énoncé
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IMPRIMERIE NATIONALE – 14 1393 – D’après documents fournis