Cours séquence 1 : entiers et fractions

Entiers et fractions
I. Diviseurs
1) Diviseurs d'un entier
a) Diviseurs et multiples
Rappel : Soient a et b deux nombres entiers avec
b≠0
Effectuer la division euclidienne de a par b , c'est trouver deux entiers q, r tels
que :
a=b×qr et rb
Définition :
Si le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b non nul est zéro,
alors on dit que:
a est un multiple de b , ou a est divisible par b , ou b est un diviseur de a .
Exemple : 18 = 3 x 6 + 0 donc 18 est un multiple de 3, ou 18 est divisible par 3, ou
3 est un diviseur de 18.
b) Critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est: 0 , 2, 4, 6, 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est : 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est
divisible par 3 (ou 9) .
Ex : ............. est divisible par 3 ( ......... + ........ + ......... = 9 x ..........)
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers
chiffres est un multiple de 4 .
Ex : ............. est divisible par 4 ( ................. = 4 x ..........)

2) Diviseurs communs à deux entiers
Définition : Soient deux nombres a et b .
Un diviseur commun à a et à b est un nombre qui divise a et qui divise b .
Exemple : Cherchons la liste des diviseurs de 72 et de 48 :
Liste des diviseurs de 72 :
1 ; 2; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. (72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3)
Liste des diviseurs de 48 :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48. (48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3)
Les diviseurs communs à 48 et 72 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.
3) PGCD
a) Définition et propriétés
Définition : Le PGCD de deux nombres ou plus est le Plus Grand Commun
Diviseur de ces nombres.
Exemple : Dans l'exemple précédent, le PGCD de 72 et 48 est 24. On note :
PGCD ( 72 ; 48 ) = 24.
Propriétés : Soient a et b deux nombres entiers positifs.
✔PGCD( a ; a ) = a
✔Pour
a≥b,
PGCD( a ; b ) = PGCD( a - b ; b )
✔Si a divise b , alors PGCD( a ; b ) = a
✔Pour
a≥b,
PGCD( a ; b ) = PGCD( b ; r ) , où r est le reste de la division
euclidienne de a par b .

b) Calcul du PGCD
Méthode de calcul par soustractions successives :
On utilise la propriété Pour
a≥b,
PGCD( a ; b ) = PGCD( a - b ; b ) :
Recherchons le PGCD de 323 et 437 :
437 > 323 donc PGCD (437 ; 323) = PGCD ( 437 – 323 ; 323 ) = PGCD ( 114 ; 323)
323 > 114 donc PGCD ( 323 ; 114 ) = PGCD ( 323 – 114 ; 114 ) = PGCD (209; 114)
209 > 114 donc PGCD ( 209 ; 114 ) = PGCD ( 209 – 114 ; 114 ) = PGCD ( 95 ; 114 )
114 > 95 donc PGCD ( 114 ; 95 ) = PGCD ( 114 – 95 ; 95 ) = PGCD ( 19 ; 95 ) =
De même, PGCD( 19 ; 76) = PGCD( 19 ; 57 ) = PGCD ( 19 ; 38 ) =PGCD ( 19 ; 19 ) = 19
Donc PGCD ( 437 ; 323 ) = 19
On peut rédiger la démonstration dans un tableau :
a b a – b
437 323 114
323 114 209
209 114 95
114 95 19
95 19 76
76 19 57
57 19 38
38 19 19
19 19 0

Méthode de calcul par l'algorithme d'Euclide :
On utilise la propriété : Pour
a≥b,
PGCD( a ; b ) = PGCD( b ; r ) , où r est le reste
de la division euclidienne de a par b .
Cherchons le PGCD de 425 et 187.
•425 > 187 et 425 = 2 x 187 + 51 avec 51 < 187
Donc PGCD ( 425 ; 187 ) = PGCD (187 ; 51 ) (Ppté)
•187 > 51 et 187 = 3 x 51 + 34 avec 34 < 51
Donc PGCD (187 ; 51 ) = PGCD ( 51 ; 34 ) (Ppté)
•51 > 34 et 51 = 1 x 34 + 17 avec 17 < 34
Donc PGCD (51 ; 34 ) = PGCD ( 34 ; 17 ) (Ppté)
•Enfin, 34 > 17 et 34 = 2 x 17 + 0 avec 0 < 17
Donc PGCD (34 ; 17 ) = PGCD ( 17 ; 0 ) (Ppté)
•PGCD ( 425 ; 187 ) est le dernier reste non nul, c'est à dire 17.
Donc PGCD ( 425 ; 187 ) = 17.
On peut rédiger la démonstration dans un tableau :
a b r
425 187 51
187 51 34
51 34 17
34 17 0
4) Nombres premiers entre eux
Définition : Des nombres entiers positifs sont dits premiers entre eux si leur
PGCD est 1.
Exemple : PGCD ( 17 ; 13 ) = 1 donc 17 et 13 sont premiers entre eux.

II.Fractions
1) Fractions irréductibles
Définition : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur
sont premiers entre eux.
Ainsi, pour simplifier au maximum une fraction, il faudra diviser le numérateur et
le dénominateur par leur PGCD.
Exemple :
182
588
Cherchons PGCD ( 182 ; 588 ) par l'algorithme d'Euclide :
a b r
588 182 42
182 42 14
42 14 0
182
588 =182÷14 588÷14 =13 42
on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD
2) Application aux opérations sur les fractions
Additions et soustractions:
Rappel : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu'elles aient le
même dénominateur : on garde leur dénominateur et on additionne ou (soustrait)
les numérateurs.
Exemple :
18
24 48 36
PGCD ( 24 ; 36 ) = PGCD ( 24 ; 12 ) = PGCD ( 12 ; 12 ) = 12
18÷2
24÷248÷3 36÷3=9 12 16 12 =916 12 =25 12
Multiplications et divisions :
Rappel : Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier leurs dénominateurs
entre eux et leurs numérateurs entre eux.
294 = 3 x 182 + 42
182 = 4 x 42 + 14
42 = 3 x 14 + 0