Série 13 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Jeudi 20 décembre 2012
EPFL
Série 13 (Corrigé)
Exercice 1
Donner la matrice B (3 × 3 symétrique) telle que la forme quadratique Q(x) avec x ∈ R3
puisse s’écrire sous la forme Q(x) = xT Bx et déterminer le changement de variables x = U y
qui transforme la forme quadratique en une forme diagonale y T Dy dans les cas suivants.
i) Q(x) = 3x21 + 3x22 + 2x1 x2 ,


3 1 0


Sol.: B = 1 3 0. Le polynôme caractéristique est
0 0 0
−λ((3 − λ)2 − 1) = −λ(λ − 2)(λ − 4),


0 0 0


d’où les valeurs propres: 0, 2, 4. Ainsi, D = 0 2 0. Les vecteurs propres associés
0 0 4
  
  
1
1
0
  
  
sont 0 , −1, 1. On obtient la matrice orthogonale U en normalisant les
0
0
1
vecteurs propres:


0 √12 √12


√1
√1  .
U =
0 − 2
2
1
0
0
ii) Q(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3 ,




3 1 1
0 0 0



Sol.: B = 1 2 2. Les valeurs propres sont 0, 2, 5, ainsi D = 0 2 0
. Les
1 2 2
0 0 5

 
  
0
2
1

 
  
vecteurs propres associés sont  1  , −1, 1. On obtient la matrice orthogonale
−1
−1
1
U en normalisant les vecteurs propres:

0
√1
U =
 2
− √12

iii) Q(x) = 5x21 + 6x22 + 7x23 + 4x1 x2 − 4x2 x3 .
1
√2
6
− √16
− √16
√1
3
√1  .
3
√1
3




5 2
0
3



Sol.: B = 2 6 −2. Les valeurs propres sont 3, 6, 9, ainsi D = 0
0 −2 7
0


   
−1
2
−2


   
Les vecteurs propres associés sont  2  , 1, −2. On obtient la matrice
2
2
1
onale U en normalisant les vecteurs propres:


0 0
6 0
.
0 9
orthog-

−2 2 −1
1

U =  2 1 −2 .
3
1 2 2
Exercice 2
Déterminer si les formes quadratiques suivantes sont (semi-)définies positives, (semi-)définies
négatives ou indéfinies.
i) Q(x) = 9x21 + 3x22 − 8x1 x2 , x ∈ R2 .
!
9 −4
Sol.: La matrice symétrique associée est B =
, avec pour valeurs propres
−4 3
1, 11 strictement positives donc la forme quadratique Q est définie positive.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1 λ2 = det(B) = 11 > 0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1 + λ2 = trace(B) = 12 > 0, ce signe est positif, d’où λ1 , λ2 > 0, et
Q est définie positive.
ii) Q(x) = −5x21 − 2x22 + 4x1 x2 , x ∈ R2 .
!
−5 2
Sol.: La matrice symétrique associée est B =
, avec pour valeurs propres
2 −2
−1, −6 strictement négatives donc la forme quadratique Q est définie négative.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1 λ2 = det(B) = 6 > 0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1 + λ2 = trace(B) = −7 < 0, ce signe est négatif, d’où λ1 , λ2 < 0 et
Q est définie négative.
iii) Q(x) = 2x21 + 2x22 + 2x23 + 6x2 x3 + 6x1 x3 , x ∈ R3 .

2

Sol.: La matrice symétrique associée est B = 0
3
√
√
2, 2 + 18 > 0, 2 − 18 < 0. La forme quadratique
0
2
3
Q

3
3
, avec pour valeurs propres
2
est donc indéfinie.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). On remarque que pour x =
(−1, 0, 1)T , Q(x) = −2 et que pour x = (1, 0, 0)T , Q(x) = 2. La forme quadratique
prend des valeurs positives et négatives et elle est donc indéfinie.
2
Exercice 3
Pour les formes quadratiques de l’exercice 1, déterminer
max{xT Bx; kxk = 1},
min{xT Bx; kxk = 1},
et trouver un vecteur unitaire qui réalise le maximum ou le minimum de la forme quadratique.
Sol.: D’après le cours, le maximum et le minimum de xT Bx avec kxk = 1 correspondent
respectivement à la plus grande et la plus petite valeur propre de la matrice B, et ces valeurs
sont réalisées par les vecteurs propres correspondants. Ainsi, on obtient
 
0
 
i) min{xT Bx; kxk = 1} = 0, réalisé par x = 0,
1
 
√1
max{xT Bx; kxk = 1} = 4, réalisé par x =
 12 
 √ .
 2
0

0

 1 
√ 
ii) min{xT Bx; kxk = 1} = 0, réalisé par x = 
 2 ,
− √12
max{xT Bx; kxk = 1} = 5, réalisé par x =
 1 
√
 13 
 √ .
 3
√1
3
− 23


 2 
,
3 
iii) min{xT Bx; kxk = 1} = 3, réalisé par x = 
max{xT Bx; kxk = 1} = 9, réalisé par x =
1
 3 1
−
 32 
− 3 .
2
3
Exercice 4
Pour les matrices ci-dessous déterminer
max{kAxk; kxk = 1} et min{kAxk; kxk = 1}.
i) A =
−5 0
0 18

!
,

7 1

ii) A = 
 0 0 ,
5 5
iii) A =
3 2 2
2 3 −2
!
.
Sol.:
i) Les valeurs propres de AT A sont 182 et 52 . Les valeurs de max{kAxk; kxk = 1}
et min{kAxk; kxk = 1} sont données respectivement par la racine carrée de la plus
grande et la plus petite valeur propre de la matrice AT A. Il s’ensuit que
max{kAxk; kxk = 1} = 18 et min{kAxk; kxk = 1} = 5.
3
!
74 32
ii) Les valeurs propres de A A =
sont 90 et 10.
32 26
√
√
Donc max{kAxk; kxk = 1} = 3 10 et min{kAxk; kxk = 1} = 10.
T


13 12 2

T
iii) Les valeurs propres de A A = 12 13 −2
 sont 25, 9 et 0.
2 −2 8
Donc max{kAxk; kxk = 1} = 5 et min{kAxk; kxk = 1} = 0.
Exercice 5
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) La matrice d’une forme quadratique est symétrique.
b) Les axes principaux d’une forme quadratique sont les vecteurs propres de A.
c) Une forme quadratique strictement positive satisfait Q(x) > 0,∀x ∈ Rn .
d) Si les valeurs propres d’une matrice symétrique A sont toutes strictement positives, alors
la forme quadratique xT Ax est définie positive.
Sol.: Vrai: a), b), d). Faux: c).
Exercice 6
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) Une matrice symétrique de taille n × n possède n valeurs propres réelles distinctes.
b) Toute matrice symétrique est orthogonalement diagonalisable mais la réciproque est
fausse.
c) Q(x) = 3x21 − 7x22 est une forme quadratique.
d) La forme quadratique Q(x) = 3x21 + 2x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x2 x3 est définie positive.
Sol.: Vrai: c). Faux: a), b), d).
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: D.C. Lay. Algèbre linéaire : théorie,
exercices et applications. De Boeck, Bruxelles, 2005.
4