Série 13 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 20 décembre 2012
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 13 (Corrigé)
Exercice 1
Donner la matrice B(3×3symétrique) telle que la forme quadratique Q(x)avec x∈R3
puisse s’écrire sous la forme Q(x) = xTBx et déterminer le changement de variables x=Uy
qui transforme la forme quadratique en une forme diagonale yTDy dans les cas suivants.
i) Q(x)=3x2
1+ 3x2 2+ 2x1x2,
Sol.: B=
3 1 0
1 3 0
0 0 0
. Le polynôme caractéristique est
−λ((3 −λ)2−1) = −λ(λ−2)(λ−4),
d’où les valeurs propres: 0,2,4. Ainsi, D=
0 0 0
0 2 0
0 0 4
. Les vecteurs propres associés
sont 
0
0
1
,
1
−1
0
,
1
1
0
. On obtient la matrice orthogonale Uen normalisant les
vecteurs propres:
U=
01
√2
1
√2
0−1
√2
1
√2
1 0 0
.
ii) Q(x)=3x2
1+ 2x2 2+ 2x2 3+ 2x1x2+ 2x1x3+ 4x2x3,
Sol.: B=
3 1 1
1 2 2
1 2 2
. Les valeurs propres sont 0,2,5, ainsi D=
0 0 0
0 2 0
0 0 5
. Les
vecteurs propres associés sont 
0
1
−1
,
2
−1
−1
,
1
1
1
. On obtient la matrice orthogonale
Uen normalisant les vecteurs propres:
U=
02
√6
1
√3
1
√2−1 √6
1
√3
−1
√2−1 √6
1
√3
.
iii) Q(x)=5x2
1+ 6x2 2+ 7x2 3+ 4x1x2−4x2x3.
1

Sol.: B=
5 2 0
2 6 −2
0−2 7 
. Les valeurs propres sont 3,6,9, ainsi D=
3 0 0
0 6 0
0 0 9
.
Les vecteurs propres associés sont 
−2
2
1
,
2
1
2
,
−1
−2
2
. On obtient la matrice orthog-
onale Uen normalisant les vecteurs propres:
U=1
3
−2 2 −1
2 1 −2
122
.
Exercice 2
Déterminer si les formes quadratiques suivantes sont (semi-)définies positives, (semi-)définies
négatives ou indéfinies.
i) Q(x)=9x2
1+ 3x2 2−8x1x2,x∈R2.
Sol.: La matrice symétrique associée est B= 9−4
−4 3 !, avec pour valeurs propres
1,11 strictement positives donc la forme quadratique Qest définie positive.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1λ2=det(B) = 11 >0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1+λ2= trace(B) = 12 >0, ce signe est positif, d’où λ1, λ2>0, et
Qest définie positive.
ii) Q(x) = −5x2
1−2x2 2+ 4x1x2,x∈R2.
Sol.: La matrice symétrique associée est B= −5 2
2−2!, avec pour valeurs propres
−1,−6strictement négatives donc la forme quadratique Qest définie négative.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). Les deux valeurs propres de B
vérifient λ1λ2=det(B)=6>0, donc les valeurs propres sont non nulles et de même
signe. Comme λ1+λ2= trace(B) = −7<0, ce signe est négatif, d’où λ1, λ2<0et
Qest définie négative.
iii) Q(x)=2x2
1+ 2x2 2+ 2x2 3+ 6x2x3+ 6x1x3,x∈R3.
Sol.: La matrice symétrique associée est B=
2 0 3
0 2 3
3 3 2
, avec pour valeurs propres
2,2 + √18 >0,2−√18 <0. La forme quadratique Qest donc indéfinie.
Autre méthode (sans calculer les valeurs propres). On remarque que pour x=
(−1,0,1)T,Q(x) = −2et que pour x= (1,0,0)T,Q(x) = 2. La forme quadratique
prend des valeurs positives et négatives et elle est donc indéfinie.
2

Exercice 3
Pour les formes quadratiques de l’exercice 1, déterminer
max{xTBx;kxk= 1},min{xTBx;kxk= 1},
et trouver un vecteur unitaire qui réalise le maximum ou le minimum de la forme quadra-
tique.
Sol.: D’après le cours, le maximum et le minimum de xTBx avec kxk= 1 correspondent
respectivement à la plus grande et la plus petite valeur propre de la matrice B, et ces valeurs
sont réalisées par les vecteurs propres correspondants. Ainsi, on obtient
i) min{xTBx;kxk= 1}= 0, réalisé par x=
0
0
1
,
max{xTBx;kxk= 1}= 4, réalisé par x=
1
√2
1
√2
0
.
ii) min{xTBx;kxk= 1}= 0, réalisé par x=
0
1
√2
−1
√2
,
max{xTBx;kxk= 1}= 5, réalisé par x=
1
√3
1
√3
1
√3
.
iii) min{xTBx;kxk= 1}= 3, réalisé par x=
−2
3
2
3
1
3
,
max{xTBx;kxk= 1}= 9, réalisé par x=
−1
3
−2
3
2
3
.
Exercice 4
Pour les matrices ci-dessous déterminer
max{kAxk;kxk= 1}et min{kAxk;kxk= 1}.
i) A= −5 0
0 18 !,ii) A=
7 1
0 0
5 5 
,iii) A= 3 2 2
2 3 −2!.
Sol.:
i) Les valeurs propres de ATAsont 182et 52. Les valeurs de max{kAxk;kxk= 1}
et min{kAxk;kxk= 1}sont données respectivement par la racine carrée de la plus
grande et la plus petite valeur propre de la matrice ATA. Il s’ensuit que
max{kAxk;kxk= 1}= 18 et min{kAxk;kxk= 1}= 5.
3

ii) Les valeurs propres de ATA= 74 32
32 26!sont 90 et 10.
Donc max{kAxk;kxk= 1}= 3√10 et min{kAxk;kxk= 1}=√10.
iii) Les valeurs propres de ATA=
13 12 2
12 13 −2
2−2 8 
sont 25,9et 0.
Donc max{kAxk;kxk= 1}= 5 et min{kAxk;kxk= 1}= 0.
Exercice 5
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) La matrice d’une forme quadratique est symétrique.
b) Les axes principaux d’une forme quadratique sont les vecteurs propres de A.
c) Une forme quadratique strictement positive satisfait Q(x)>0,∀x∈Rn.
d) Si les valeurs propres d’une matrice symétrique Asont toutes strictement positives, alors
la forme quadratique xTAx est définie positive.
Sol.: Vrai: a), b), d). Faux: c).
Exercice 6
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) Une matrice symétrique de taille n×npossède nvaleurs propres réelles distinctes.
b) Toute matrice symétrique est orthogonalement diagonalisable mais la réciproque est
fausse.
c) Q(x) = 3x2
1−7x2 2est une forme quadratique.
d) La forme quadratique Q(x)=3x2
1+ 2x2 2+x2 3+ 4x1x2+ 4x2x3est définie positive.
Sol.: Vrai: c). Faux: a), b), d).
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: D.C. Lay. Algèbre linéaire : théorie,
exercices et applications. De Boeck, Bruxelles, 2005.
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