TD 7. Variance, moments et espaces Lp

École des Mines de Nancy
Denis Villemonais, [email protected]
Année 2015-2016
FICM 1A – Probabilités
TD 7. Variance, moments et espaces Lp
Exercice 1. Soit X une variable aléatoire absolument continue dont la densité fX : R → R+ est
définie par
1
fX (x) =
π(1 + x2 )
1. Fixons p ∈ N∗ . La variable aléatoire Y = arctan(X) admet-elle un moment d’ordre p ? Si oui,
le calculer. Si elle est bien définie, calculer aussi sa variance.
2. Déterminer la loi de Y . Retrouver les résultats donnés à la question précédente en utilisant
cette loi.
Exercice 2. Considérons une variable aléatoire X et rappelons que
kXk∞ = inf {c > 0 / P(|X| ≤ c) = 1} ∈ [0, +∞].
1. Supposons kXk∞ > 0.
(a) Montrer que pour tout 0 < A < kXk∞ et tout p ∈ N∗ ,
A (P(|X| > A))1/p ≤ E(|X|p )
1/p
≤ kXk∞ .
(b) En déduire que
1/p
lim E(|X|p )
p→+∞
= kXk∞ .
(1)
2. Si kXk∞ = 0, a-t-on toujours (1) ?
Exercice 3. Soit X une variable aléatoire telle que P(X > 0) = 1. Montrer que
1
E(X)E
≥ 1.
X
Exercice 4. Soit X une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[. Justifier que
l’espérance E(1/X) est bien définie puis la calculer. La variable aléatoire 1/X est-elle intégrable ?
Exercice 5. Soit X une variable aléatoire de loi absolument continue de densité fX : R 7→ R+ définie
par
|x|e−|x|
fX (x) =
.
2
1. (a) Trouver les p ∈]0, +∞[ tels que X ∈ Lp .
(b) Calculer le moment d’ordre p ∈ N∗ de X si il existe.
1
(c) Calculer kXk∞ .
2. Considérons la variable aléatoire Y = e|X| .
(a) Trouver les p ∈]0, +∞[ tels que Y ∈ Lp .
(b) Calculer le moment d’ordre p ∈ N∗ de Y si il existe.
(c) Calculer kY k∞ .
Exercice 6. On tire successivement avec remise n cartes d’un jeu composé de 32 cartes. La variable
aléatoire Xn donne le nombre de rois tirés.
1. (*) Justifier que la loi de Xn est une loi binomiale de paramètre (n, p), avec p = 1/8.
2. Montrer, en utilisant l’inégalité de Markov, que
n 1
P Xn ≥
≤ .
4
2
3. Montrer, en utilisant l’inégalité de Tchebytchev, que
n
3n
28
P
≤ Xn ≤
≥1−
16
16
n
et en déduire un choix de n assurant que cette probabilité est supérieure à 0.9.
Exercice 7. Soit X une variable aléatoire absolument continue dont la densité fX : R → R+ est
définie par
(
0
si x ≤ 1
fX (x) =
4
9 ln(x)/x si x > 1.
1. Vérifier que fX est bien une densité.
2. (a) Fixons p ∈ N∗ . La variable aléatoire X est-elle dans Lp ? Si oui calculer son moment
d’ordre p et, si elle est bien définie, sa variance.
(b) La variable X est-elle dans L∞ ? Si oui préciser la valeur de kXk∞ .
3. (a) Montrer que Y =
1
X
est une variable aléatoire définie presque sûrement.
(b) La variable Y est-elle dans L∞ ? Si oui, préciser la valeur de kY k∞ .
Aide : on pourra calculer P(|Y | ≤ c) pour c ≥ 1 et étudier P(|Y | > c) pour c < 1.
(c) Fixons p ∈ N∗ . La variable aléatoire Y est-elle dans Lp ? Si oui calculer son moment d’ordre
p et si elle est définie sa variance.
Exercice 8. (*) Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1.
1. Montrer que X, X 2 et X 3 ∈ L2 .
2. Déterminer une base orthonormale de F = Vect(1, X, X 2 ).
3. Calculer le projeté orthogonal PF (X 3 ) de X 3 sur F = Vect(1, X, X 2 ).
Aide : On pourra utiliser la formule E(X n ) = n!.
4. Calculer
Z
min
a, b, c∈R
3
x − a − bx − cx2 2 e−x λ1 (dx).
R+
2