TD 7. Variance, moments et espaces Lp

École des Mines de Nancy Année 2015-2016
Denis Villemonais, [email protected]
FICM 1A – Probabilités
TD 7. Variance, moments et espaces Lp
Exercice 1. Soit Xune variable aléatoire absolument continue dont la densité fX:R→R+est
définie par
fX(x) = 1
π(1 + x2)
1. Fixons p∈N∗. La variable aléatoire Y= arctan(X)admet-elle un moment d’ordre p? Si oui,
le calculer. Si elle est bien définie, calculer aussi sa variance.
2. Déterminer la loi de Y. Retrouver les résultats donnés à la question précédente en utilisant
cette loi.
Exercice 2. Considérons une variable aléatoire Xet rappelons que
kXk∞= inf {c > 0/P(|X| ≤ c) = 1} ∈ [0,+∞].
1. Supposons kXk∞>0.
(a) Montrer que pour tout 0<A<kXk∞et tout p∈N∗,
A(P(|X|> A))1/p ≤E(|X|p)1/p ≤ kXk∞.
(b) En déduire que
lim
p→+∞
E(|X|p)1/p =kXk∞.(1)
2. Si kXk∞= 0, a-t-on toujours (1) ?
Exercice 3. Soit Xune variable aléatoire telle que P(X > 0) = 1.Montrer que
E(X)E1
X≥1.
Exercice 4. Soit Xune variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p∈]0,1[. Justifier que
l’espérance E(1/X)est bien définie puis la calculer. La variable aléatoire 1/X est-elle intégrable ?
Exercice 5. Soit Xune variable aléatoire de loi absolument continue de densité fX:R7→ R+définie
par
fX(x) = |x|e−|x|
2.
1. (a) Trouver les p∈]0,+∞[tels que X∈Lp.
(b) Calculer le moment d’ordre p∈N∗de Xsi il existe.
1

(c) Calculer kXk∞.
2. Considérons la variable aléatoire Y=e|X|.
(a) Trouver les p∈]0,+∞[tels que Y∈Lp.
(b) Calculer le moment d’ordre p∈N∗de Ysi il existe.
(c) Calculer kYk∞.
Exercice 6. On tire successivement avec remise ncartes d’un jeu composé de 32 cartes. La variable
aléatoire Xndonne le nombre de rois tirés.
1. (*) Justifier que la loi de Xnest une loi binomiale de paramètre (n, p), avec p= 1/8.
2. Montrer, en utilisant l’inégalité de Markov, que
PXn≥n
4≤1 2.
3. Montrer, en utilisant l’inégalité de Tchebytchev, que
Pn
16 ≤Xn≤3n 16 ≥1−28 n
et en déduire un choix de nassurant que cette probabilité est supérieure à 0.9.
Exercice 7. Soit Xune variable aléatoire absolument continue dont la densité fX:R→R+est
définie par
fX(x) = (0si x≤1
9 ln(x)/x4si x > 1.
1. Vérifier que fXest bien une densité.
2. (a) Fixons p∈N∗. La variable aléatoire Xest-elle dans Lp? Si oui calculer son moment
d’ordre pet, si elle est bien définie, sa variance.
(b) La variable Xest-elle dans L∞? Si oui préciser la valeur de kXk∞.
3. (a) Montrer que Y=1
Xest une variable aléatoire définie presque sûrement.
(b) La variable Yest-elle dans L∞? Si oui, préciser la valeur de kYk∞.
Aide : on pourra calculer P(|Y| ≤ c)pour c≥1et étudier P(|Y|> c)pour c < 1.
(c) Fixons p∈N∗. La variable aléatoire Yest-elle dans Lp? Si oui calculer son moment d’ordre
pet si elle est définie sa variance.
Exercice 8. (*) Soit Xune variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1.
1. Montrer que X, X2et X3∈L2.
2. Déterminer une base orthonormale de F=Vect(1, X, X2).
3. Calculer le projeté orthogonal PF(X3)de X3sur F=Vect(1, X, X2).
Aide : On pourra utiliser la formule E(Xn) = n!.
4. Calculer
min
a, b, c∈RZR+x3−a−bx −cx2
2e−xλ1(dx).
2