Lois usuelles de probabilités

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Lois usuelles de probabilités
4.1 Approche
4.1.1 La planche de Galton
La planche de Galton est un jeu d’obstacles formé de petits cy-
lindres répartis géométriquement. On lâche une bille en haut de
la planche : à chaque obstacle, elle peut passer indifféremment
et avec autant de chance, à gauche ou bien à droite de l’obstacle.
On veut connaître la loi de probabilité associée à cette expé-
rience aléatoire. On note X le numéro de la case où tombe la bille.
Vous pouvez revoir le TD sur la planche de Galton.
4.2 Loi binomiale
4.2.1 Définition et propriétés
Définition
Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n,p)de paramètres net p, où nest un nombre entier
naturel et pun nombre réel compris entre 0 et 1, lorsque sa loi de probabilité est définie de la manière
suivante :
Pour tout nombre entier naturel k, tel que 0 ¶k¶n, P(X=k) = n
kpk(1−p)n−k
Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p).
E(X) = np, V(X) = np(1−p),σ(X) = pnp(1−p)
4.2.2 Champ d’intervention de la loi binomiale
II s’agit de décrire une situation type dans laquelle apparaît une variable aléatoire suivant la loi binomiale.

Cours 32 BTSA
On considère une « épreuve aléatoire » élémentaire pouvant déboucher sur deux résultats et deux seule-
ment, appelés par exemple « succès » et « échec », de probabilités respectives pet q=1−p. On réalise nfois
cette épreuve aléatoire et on note X la variable aléatoire mesurant le nombre de « succès » obtenus au cours
de ces népreuves aléatoires élémentaires.
Si ces népreuves aléatoires élémentaires sont indépendantes, alors X suit la loi binomiale B(n,p).
Remarques
Dans le cas de tirages avec remise, il y a indépendance entre les tirages.
En revanche, lorsque les tirages sont sans remise, ou exhaustifs, il n’y a plus indépendance entre les
tirages, car la composition de l’univers des possibles change d’un tirage à l’autre.
Dans ce cas, X suit une loi dépendant de trois paramètres : n,pet N l’effectif total de l’univers.
Cependant, lorsque nest « petit » devant N, on peut considérer que X suit approximativement la loi
binomiale B(n,p).
✍MÉTHODE 35
Un étudiant répond au hasard à 4 questions d’un QCM contenant chacune 5 réponses possibles dont une
seule est bonne. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses données
par l’étudiant. Quelle est la loi suivie par X ?
Une bonne réponse vaut 5 points. Si tous les étudiants d’une classe font ainsi, quelle moyenne peut-on
espérer ?
4.3 Loi normale
4.3.1 Définition et propriétés
Approche
1. Voici ci-dessous les graphiques des deux fonctions f1et f2définies sur Rpar :
f1(u) = 1
2p2π
e−1
2(u−1 2)2et f2(u) = 1
p2π
e−1
2u2 2
Compléter le graphique de f2.
2. Déterminer graphiquement une valeur approchée de l’aire de la partie de plan comprise entre chaque
courbe et l’axe des abscisses.
Cf1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7
Cf2
1
0 1 2 3 4-1-2-3-4
Définition
Une variable aléatoire X suit la loi normale N(µ,σ)de paramètres µet σlorsque sa densité de probabilité
est la fonction fdéfinie sur Rpar
f(u) = 1
σp2π
e−1
2(u−µ 2)2

BTSA 33 Cours
Exemples
Dans l’approche,
La fonction f1est la densité de probabilité de la loi normale N(1,2).
La fonction f2est la densité de probabilité de la loi N(0,1).
Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(µ,σ).
E(X) = µ, V(X) = σ2,σ(X) = σ
Remarque
Ainsi, une variable aléatoire X qui suit la loi normale N(0, 1)a pour espérance mathématique 0 et pour
écart type 1.
La loi normale N(0, 1)est dite loi normale centrée réduite.
4.3.2 Loi normale centrée réduite N(0,1)
Théorème
Si une variable aléatoire X suit la loi normale N(µ,σ)alors la variable aléatoire U =X−µ
σ
suit la loi
normale centrée réduite N(0,1).
Remarque
Ce résultat est très important, car il permet de limiter l’étude des lois normales à celle de la seule loi
normale centrée réduite N(0,1), dont la densité de probabilité a pour représentation graphique la courbe
de la figure suivante.
|
-4 |
-3 |
-2 | -1 |
0|
1| 2|
3|
4
u
Φ(u)
y=f(u) = 1
p2π
e−1
2u2 2
Pour calculer la probabilité d’un événement concernant une variable aléatoire U suivant la loi normale
N(0,1), on utilise en général la table du formulaire qui nous donne des valeurs prises par la fonction de
répartition Φde U, c’est à dire la fonction qui à tout ude Rassocie Φ(u) = P(U¶u).
On utilise aussi les deux propriétés suivantes de cette courbe :
– Cette courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
– L’aire totale comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à l.
Exemples

Cours 34 BTSA
1. Calcul de P(U¶1,67) = Φ(1, 67).
La table donne directement le résultat. Il suffit de trou-
ver les deux premiers chiffres de udans la première
colonne, soit 1, 6 : le troisième chiffre de uest indiqué
dans la première ligne, soit 7. La réponse est donnée à
l’intersection de la ligne correspondant à 1,6 et de la
colonne correspondant à 7, soit P(U¶1, 67) = ....
u0 1 ... 7 ...
0,0 0,5000 0,5040 ... 0,5279 ...
0,1 0,5398 0,5438 ... 0,5675 ...
... ... ... ... ... ...
1,6 0,9452 0,9463 ... 0,9525 ...
... ... ... ... ... ...
(a) Calculer P(U¶1,96).
(b) Déterminer atel que P(U¶a) = 0,9463.
(c) Déterminer btel que P(U¶b) = 0,9803.
2. Calcul de P(U¾1,25).
|
-4 |
-3 |
-2 | -1 |
0|
1| 2|
3|
4
1, 25
Φ(1, 25)
1−Φ(1, 25)
P(U¾1,25) = 1−P(U<1,25), car P(A) = 1−P(A).
Or Φ(1,25) = P(U¶1,25)et P(U=1,25) = 0 puisque U est une variable aléatoire continue, d’où :
P(U¾1,25) = 1−Φ(1,25) = ...
De même, calculer P(U¾2, 33).
3. Calcul de P(U¶−1,67).
P(U¶−1,67) = Φ(−1,67)mais qui n’est pas dans la table
=P(U¾1,67)par symétrie de la courbe
=1−P(U<1,67)
=1−P(U¶1,67)car U est continue
=1−0,9525 d’après le calcul précédent
=0,0475.
|
-4 |
-3 |
-2 | -1 |
0|
1| 2|
3|
4
1, 67−1, 67
Φ(−1, 67)1−Φ(1, 67)
(a) Calculer P(U¶−1)
(b) Calculer P(U¶−1,4)
(c) Calculer P(U¾−2,33)
4. Calcul de P(u1¶U¶u2)
|
-4 |
-3 |
-2 | -1 |
0|
1| 2|
3|
4
u2 u1
|
-4 |
-3 |
-2 | -1 |
0|
1| 2|
3|
4
u
−u
Φ(u)−1
2Φ(u) + 1 2
Propriété
P(u1¶U¶u2) = Φ(u2)−Φ(u1)
P(−u¶U¶u) = 2Φ(u)−1

BTSA 35 Cours
✍MÉTHODE 36
1. Démontrer la seconde propriété
2. calculer :
(a) P(−1¶U¶1)
(b) P(−2¶U¶2)
(c) P(−3¶U¶3)
(d) P(−2
3¶U¶2 3)
3. Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(µ,σ)et U la variable aléatoire suivant la
loi normale N(0, 1).
(a) Exprimer U en fonction de X.
(b) Exprimer X en fonction de U.
Conséquences
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(µ,σ); on sait que U =X−µ
σ
suit la loi normale
N(0,1).
Pour u>0,P(−u¶U¶u) = P(−uσ¶σU¶uσ)
=P(µ−uσ¶µ+σU¶µ+uσ)
=P(µ−uσ¶X¶µ+uσ)
Ainsi, en particulier, P(µ−2σ¶X¶µ+2σ)≃0,95.
µ−3σ µ −2σµ−σ
µ−2
3σ
µ
µ+2
3σ
µ+σµ+2σ µ +3σ
1
σp2π
0,5
0,68
0,95
0,997
4.3.3 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Approche
Lançons cinquante fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre
de « face » ainsi obtenu.
1. Quelle est la loi de X ? Calculer E(X)et σ(X).