Examen - Alistair Savage

Universit´e d’Ottawa
D´epartement de math´ematiques et de statistique
MAT 3520 : Analyse r´eelle
Professeur : Alistair Savage
Examen Final
D´ecembre 2016
Nom Pr´enom
Num´ero d’´etudiant
Instructions :
(a) Vous avez 3 heures pour compl´eter cet examen.
(b) Ecrivez votre num´ero d’´etudiant sur chaque feuille dans l’espace correspondant.
(c) Montrez les d´etails de votre travail et justifiez vos r´eponses pour avoir tous vos points.
(d) Tout le travail qui va ´etre consid´er´e pour la correction devrait ˆetre r´edig´e dans l’espace
pr´evu. Le verso des pages est pour le brouillon. Si vous trouvez que vous avez besoin
d’espace suppl´ementaire afin de r´epondre `a une question particuli`ere, vous devez
continuer sur le verso de la page et l’indiquer clairement.
(e) L’utilisation de documents (notes de cours, livres, brouillon, etc), de calculatrice, de
t´el´ephones cellulaires ou de tout autre appareil ´electronique est interdite.
(f) La derni`ere page de l’examen peut ˆetre utilis´ee comme brouillon.
Bonne chance !
SVP ne pas ´ecrire dans le tableau ci-dessous.
Question 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Maximum 5 6 4 3 5 5 6 3 4 3 6 50
Note

# d’´etudiant MAT 3520 Examen Final
Question 1. [5 points] Pour chaque ´enonc´e ci-dessous, donner un exemple. Vous n’avez
pas `a justifier vos r´eponses.
(a) Un espace topologique qui n’est pas m´etrisable (c.-`a-d. tel qu’il n’existe aucune
m´etrique sur l’espace qui induit la topologie).
(b) Un espace norm´e qui n’est pas un espace de Banach.
(c) Un ensemble Fde fonctions sur [0,1] tel que toute f∈Fest uniform´ement continue,
mais Fn’est pas uniform´ement ´equicontinue.
(d) Un espace de Banach (X, k · k) tel qu’il n’existe aucun produit scalaire sur Xqui
induit la norme k·k.
(e) Un sous-ensemble de R2qui est connexe mais pas connexe par arcs.
Page 2 de 15

# d’´etudiant MAT 3520 Examen Final
Question 2. [6 points] Fixer n > 0 et consid´erer la fonction
d:Rn×Rn→R≥0, d(x, y) = (kxk+kyk, x 6=y,
0, x =y,
o`u
kxk=v
u
u
t
n
X
i=1
x2
i, x = (x1, . . . , xn)∈Rn,
est la norme usuelle sur Rn.
(a) Montrer que (Rn, d) est un espace m´etrique.
Page 3 de 15

# d’´etudiant MAT 3520 Examen Final
(b) Soit x∈Rn,x6=0. Montrer que le singleton {x}est ouvert dans la topologie associ´ee
`a la m´etrique dd´efinie dans la partie (a).
(c) La topologie associ´ee `a la m´etrique dest-elle la topologie discr`ete ? Justifier votre
r´eponse.
Page 4 de 15

# d’´etudiant MAT 3520 Examen Final
Question 3. [4 points] En utilisant le th´eor`eme du point fixe, d´emontrer que
4x5−25x4+ 160x−8 = 0
a une solution unique dans l’intervalle [0,1].
Page 5 de 15