Examen - Alistair Savage

Université d’Ottawa
Département de mathématiques et de statistique
MAT 3520 : Analyse réelle
Professeur : Alistair Savage
Examen Final
Décembre 2016
Nom
Prénom
Numéro d’étudiant
Instructions :
(a) Vous avez 3 heures pour compléter cet examen.
(b) Ecrivez votre numéro d’étudiant sur chaque feuille dans l’espace correspondant.
(c) Montrez les détails de votre travail et justifiez vos réponses pour avoir tous vos points.
(d) Tout le travail qui va étre considéré pour la correction devrait être rédigé dans l’espace
prévu. Le verso des pages est pour le brouillon. Si vous trouvez que vous avez besoin
d’espace supplémentaire afin de répondre à une question particulière, vous devez
continuer sur le verso de la page et l’indiquer clairement.
(e) L’utilisation de documents (notes de cours, livres, brouillon, etc), de calculatrice, de
téléphones cellulaires ou de tout autre appareil électronique est interdite.
(f) La dernière page de l’examen peut être utilisée comme brouillon.
Bonne chance !
SVP ne pas écrire dans le tableau ci-dessous.
Question
Maximum
Note
1
5
2
6
3
4
4
3
5
5
6
5
7
6
8
3
9
4
10
3
11
6
Total
50
# d’étudiant
MAT 3520 Examen Final
Question 1. [5 points] Pour chaque énoncé ci-dessous, donner un exemple. Vous n’avez
pas à justifier vos réponses.
(a) Un espace topologique qui n’est pas métrisable (c.-à-d. tel qu’il n’existe aucune
métrique sur l’espace qui induit la topologie).
(b) Un espace normé qui n’est pas un espace de Banach.
(c) Un ensemble F de fonctions sur [0, 1] tel que toute f ∈ F est uniformément continue,
mais F n’est pas uniformément équicontinue.
(d) Un espace de Banach (X, k · k) tel qu’il n’existe aucun produit scalaire sur X qui
induit la norme k · k.
(e) Un sous-ensemble de R2 qui est connexe mais pas connexe par arcs.
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# d’étudiant
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Question 2. [6 points] Fixer n > 0 et considérer la fonction
(
kxk + kyk, x 6= y,
d : Rn × Rn → R≥0 , d(x, y) =
0,
x = y,
où
v
u n
uX
x2 ,
kxk = t
i
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
i=1
n
est la norme usuelle sur R .
(a) Montrer que (Rn , d) est un espace métrique.
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# d’étudiant
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(b) Soit x ∈ Rn , x 6= 0. Montrer que le singleton {x} est ouvert dans la topologie associée
à la métrique d définie dans la partie (a).
(c) La topologie associée à la métrique d est-elle la topologie discrète ? Justifier votre
réponse.
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# d’étudiant
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Question 3. [4 points] En utilisant le théorème du point fixe, démontrer que
4x5 − 25x4 + 160x − 8 = 0
a une solution unique dans l’intervalle [0, 1].
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# d’étudiant
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connexes d’un espace
Question 4. [3 points] Soit {Cn }∞
n=1 une famille de sous-ensembles
S∞
métrique X telle que Cn ∩ Cn+1 6= ∅ pour tout n ∈ N, et n=1 Cn = X. Montrez que X est
connexe.
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# d’étudiant
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Question 5. [5 points] Soit P l’ensemble de toutes les fonctions polynomiales p : R → R.
(a) Montrer que
kpk = |a0 | + |a1 | + · · · + |an |,
p(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn ∈ P,
définit une norme sur P .
(b) Montrer que P n’est pas un espace de Banach. Indice : Trouver une série qui converge
absolument mais qui ne converge pas.
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# d’étudiant
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Question 6. [5 points]
(a) Énoncer l’inégalité de Cauchy–Schwarz générale pour les espaces préhilbertiens.
(b) Soient {xn } et {yn } deux suites de Cauchy dans un espace préhilbertien. Démontrer
que {hxn , yn i} est une suite convergente dans C.
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# d’étudiant
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Question 7. [6 points]
(a) Énoncer la définition d’un espace topologique.
(b) Considérer la famille
T = {∅, R} ∪ {(x, ∞) | x ∈ R}
de sous-ensembles de R. Est-ce T une topologie sur R ? Justifier votre réponse.
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# d’étudiant
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Question 8. [3 points] Supposer que {xn }∞
n=1 est une suite convergente dans un espace
vectoriel normé. Démontrer que
xn
lim
= 0.
n→∞ n
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Question 9. [4 points]
(a) Énoncer la définition d’un sous-ensemble compact d’un espace topologique. (Vous ne
pouvez pas nécessairement supposer que l’espace est un espace métrique.)
(b) Soit f : X → Y une fonction continue entre deux espaces métriques, et soit A un
sous-ensemble compact de X. Démontrer que f (A) est un sous-ensemble compact de
Y.
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Question 10. [3 points] Soit x la limite d’une suite convergente {xn }∞
n=1 dans un espace
métrique. Démontrer que l’ensemble A = {x, x1 , x2 , . . . , } est compact.
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# d’étudiant
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Question 11. [6 points] On rappelle que la distribution de Dirac est la fonctionnelle
linéaire
δ : C[0, 1] → R, δ(f ) = f (0).
(a) La fonctionnelle δ est-elle bornée quand C[0, 1] est muni de la norme uniforme (et R
est muni de sa norme standard) ? Si oui, qu’est ce que la norme d’opérateur de δ ?
Justifier votre réponse.
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# d’étudiant
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(b) La fonctionnelle δ est-elle bornée comme opérateur sur C1 [0, 1] (où R est encore muni
de sa norme standard) ? Justifier votre réponse.
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# d’étudiant
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Page additionnelle (brouillon)
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