Test - Alistair Savage

Université d’Ottawa
Département de mathématiques et de statistique
MAT 3520 : Analyse réelle
Professeur : Alistair Savage
Test de mi-session
20 octobre 2016
Nom
Prénom
Numéro d’étudiant
Instructions :
(a) Vous avez 80 minutes pour compléter cet examen.
(b) Ecrivez votre numéro d’étudiant sur chaque feuille dans l’espace correspondant.
(c) Montrez les détails de votre travail et justifiez vos réponses pour avoir tous vos points.
(d) Tout le travail qui va étre considéré pour la correction devrait être rédigé dans l’espace
prévu. Le verso des pages est pour le brouillon. Si vous trouvez que vous avez besoin
d’espace supplémentaire afin de répondre à une question particulière, vous devez
continuer sur le verso de la page et l’indiquer clairement.
(e) L’utilisation de documents (notes de cours, livres, brouillon, etc), de calculatrice, de
téléphones cellulaires ou de tout autre appareil électronique est interdite.
(f) La dernière page de l’examen peut être utilisée comme brouillon.
Bonne chance !
SVP ne pas écrire dans le tableau ci-dessous.
Question
Maximum
Note
1
2
2
6
3
6
4
4
5
4
6
4
Total
26
# d’étudiant
MAT 3520 Test de mi-session
Question 1. [2 points] Soit (X, d) un espace métrique et soit F ⊆ X un sous-ensemble
fini. Démontrez que F est fermé dans X.
Question 2.
(a) [1 point] Écrivez la définition de l’espace métrique `p (p ≥ 1). (Il ne faut pas
démontrer que c’est un espace métrique.)
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# d’étudiant
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(b) [5 points] Démontrez que `1 est complet.
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# d’étudiant
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Question 3.
(a) [2 points] Soit {fn }∞
n=1 une suite de fonctions de R dans R (c.-à-d. fn : R → R pour
tout n ∈ N+ ). Montrez qui si la suite converge uniformément à une fonction f : R → R, alors
elle converge ponctuellement à f .
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# d’étudiant
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(b) [4 points] Donnez un exemple d’une suite de fonctions {fn }∞
n=1 , où fn : R → R pour
tout n ∈ N+ , telle que {fn } converge ponctuellement mais elle ne converge pas uniformément.
Justifiez votre réponse. C’est-à-dire, démontrez que votre suite converge ponctuellement mais
qu’elle ne converge pas uniformément
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# d’étudiant
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Question 4. [4 points] Soit X un ensemble non vide et soit F l’ensemble de tous les
sous-ensembles finis de X. Montrez que la fonction
d : F × F → R≥0 ,
d(A, B) = |A∆B|,
définie une métrique sur F , où |Y | dénote le nombre d’éléments d’un ensemble fini Y , et
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) est la différence symétrique de A et B.
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# d’étudiant
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Question 5.
(a) [1 point] Écrivez la définition d’un espace métrique séquentiellement compact. (Il ne
faut pas donner la définition d’un espace métrique.)
(b) [3 points] Supposez que (X, dX ) et (Y, dY ) sont des espaces métriques séquentiellement
compacts. Alors la fonction
d : (X × Y ) × (X × Y ) → R≥0 ,
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ),
définie une métrique sur X × Y . (Il ne faut pas démontrer cela.) Démontrez que l’espace
(X × Y, d) est séquentiellement compact.
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# d’étudiant
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Question 6.
(a) [1 point] Écrivez la définition d’un espace topologique connexe. (Il ne faut pas donner
la définition d’un espace topologique.)
(b) [3 points] Soit X un ensemble infini et soit
T = {A ⊆ X | A = ∅ ou X \ A est fini}.
Alors T est une topologie sur X. (Il ne faut pas démontrer cela.) Montrez que X est connexe.
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# d’étudiant
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Page additionnelle (brouillon)
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