Test - Alistair Savage

Universit´e d’Ottawa
D´epartement de math´ematiques et de statistique
MAT 3520 : Analyse r´eelle
Professeur : Alistair Savage
Test de mi-session
20 octobre 2016
Nom Pr´enom
Num´ero d’´etudiant
Instructions :
(a) Vous avez 80 minutes pour compl´eter cet examen.
(b) Ecrivez votre num´ero d’´etudiant sur chaque feuille dans l’espace correspondant.
(c) Montrez les d´etails de votre travail et justifiez vos r´eponses pour avoir tous vos points.
(d) Tout le travail qui va ´etre consid´er´e pour la correction devrait ˆetre r´edig´e dans l’espace
pr´evu. Le verso des pages est pour le brouillon. Si vous trouvez que vous avez besoin
d’espace suppl´ementaire afin de r´epondre `a une question particuli`ere, vous devez
continuer sur le verso de la page et l’indiquer clairement.
(e) L’utilisation de documents (notes de cours, livres, brouillon, etc), de calculatrice, de
t´el´ephones cellulaires ou de tout autre appareil ´electronique est interdite.
(f) La derni`ere page de l’examen peut ˆetre utilis´ee comme brouillon.
Bonne chance !
SVP ne pas ´ecrire dans le tableau ci-dessous.
Question 1 2 3 4 5 6 Total
Maximum 2 6 6 4 4 4 26
Note

# d’´etudiant MAT 3520 Test de mi-session
Question 1. [2 points] Soit (X, d) un espace m´etrique et soit F⊆Xun sous-ensemble
fini. D´emontrez que Fest ferm´e dans X.
Question 2.
(a) [1 point] ´ Ecrivez la d´efinition de l’espace m´etrique `p(p≥1). (Il ne faut pas
d´emontrer que c’est un espace m´etrique.)
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# d’´etudiant MAT 3520 Test de mi-session
(b) [5 points] D´emontrez que `1est complet.
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# d’´etudiant MAT 3520 Test de mi-session
Question 3.
(a) [2 points] Soit {fn}∞
n=1 une suite de fonctions de Rdans R(c.-`a-d. fn:R→Rpour
tout n∈N+). Montrez qui si la suite converge uniform´ement `a une fonction f:R→R, alors
elle converge ponctuellement `a f.
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# d’´etudiant MAT 3520 Test de mi-session
(b) [4 points] Donnez un exemple d’une suite de fonctions {fn}∞
n=1, o`u fn:R→Rpour
tout n∈N+, telle que {fn}converge ponctuellement mais elle ne converge pas uniform´ement.
Justifiez votre r´eponse. C’est-`a-dire, d´emontrez que votre suite converge ponctuellement mais
qu’elle ne converge pas uniform´ement
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