TD6 : Trous noirs et ondes gravitationnelles 25 novembre 2015 Œ

TD6 : Trous noirs et ondes gravitationnelles 25 novembre 2015
ÀEn présence d’une constante cosmologique Λ, l’équation d’Einstein dans le vide est
donnée par
Rab −1
2R gab +Λgab =0.
(a) Vérifier que cette équation peut s’écrire sous la forme équivalente Ra b =Λga b .
(b) En s’inspirant de la dérivation de la solution de Schwarzschild détaillée en cours,
déterminer la solution statique et à symétrie sphérique de l’équation d’Einstein
dans le vide avec constante cosmologique.
ÁLa métrique de Reissner-Nordström décrit un trou noir statique et à symétrie sphé-
rique de masse Met possédant une charge électrique Qnon nulle. En coordonnées
de type Schwarzschild (xα) = (t,r,ϑ,φ), cette métrique a pour composantes
gαβ dxαdxβ=−fdt2+f−1dr2+r2dϑ2+sin2ϑdφ2,où f(r)≡1−2M
r+Q2 r2.
(a) Quelles conditions doivent vérifier Met Qpour que la fonction f(r)ait deux
racines réelles distinctes, que l’on notera r+et r−(avec r+>r−).
(b) Montrer que les géodésiques lumière radiales sont de la forme t±r∗=const.,
où r∗est une fonction de r,r+et r−que l’on déterminera explicitement.
(c) Calculer le carré scalaire du vecteur de Killing (∂t)aassocié au caractère statique
de la métrique. En déduire le genre de (∂t)aen fonction de r.
(d) En admettant que la singularité de la composante gr r en r=r+est une singu-
larité de coordonnées, quelle conjecture raisonnable peut-on faire concernant
la nature de l’hypersurface r=r+?
ÂConsidérons deux étoiles, chacune de masse M, que nous assimilerons à des parti-
cules ponctuelles se déplaçant le long d’une orbite circulaire newtonienne de rayon R
centrée sur l’origine d’un système de coordonnées cartésiennes (x,y,z).
(a) Montrer que l’on peut toujours orienter le repère de sorte que les positions des
étoiles sont données par ⃗ x=±R(cos ωt,sin ωt,0), où ω2=M/(4R3)est la
fréquence du mouvement orbital.
(b) En déduire les composantes du tenseur d’inertie newtonien Ii j (t)et du moment
quadrupolaire newtonien Qi j (t)du système binaire.
(c) En appliquant les formules du quadrupôle d’Einstein, calculer les composantes
spatiales ¯ hi j de la perturbation à trace renversée, ainsi que la luminosité gravi-
tationnelle Lde la source.
(d) Rappeler l’expression de l’énergie mécanique Edu système binaire en fonction
de la masse Mde chaque étoile et de la taille Rde l’orbite.
(e) En utilisant la loi de conservation de l’énergie, c’est-à-dire dE/dt=−L, en dé-
duire l’évolution temporelle de la distance R(t), de la fréquence orbitale ω(t),
et de l’amplitude typique h(t)des ondes gravitationnelles émises.
1

ÃConsidérons un espace-temps (E,gab ), ainsi qu’un système de coordonnées (xα) =
(u,v,x,y)défini sur E, tel que les composantes de la métrique sont données par
gαβ dxαdxβ=−2dudv+a2(u)dx2+b2(u)dy2,
où aet bsont deux fonctions quelconques de la coordonnée u. Pour un choix appro-
prié des fonctions a(u)et b(u), cette métrique représente une onde gravitationnelle
plane.
(a) Calculer les composantes Γγ
αβ du symbole de Christoffel Γc
ab associé aux coor-
données (xα), ainsi que les composantes Rδ
αβγ du tenseur de Riemann Rd
a b c
pour cette métrique.
(b) En utilisant l’équation d’Einstein dans le vide, en déduire les équations vérifiées
par les fonctions a(u)et b(u).
(c) Montrer qu’il est possible de trouver une solution exacte, pour laquelle a(u)et
b(u)s’expriment à l’aide d’une fonction f(u)arbitraire.
2