TD6 : Trous noirs et ondes gravitationnelles 25 novembre 2015 Œ

TD6 : Trous noirs et ondes gravitationnelles
25 novembre 2015
À En présence d’une constante cosmologique Λ, l’équation d’Einstein dans le vide est
donnée par
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R a b − R g a b + Λ ga b = 0 .
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(a) Vérifier que cette équation peut s’écrire sous la forme équivalente Ra b = Λ ga b .
(b) En s’inspirant de la dérivation de la solution de Schwarzschild détaillée en cours,
déterminer la solution statique et à symétrie sphérique de l’équation d’Einstein
dans le vide avec constante cosmologique.
Á La métrique de Reissner-Nordström décrit un trou noir statique et à symétrie sphérique de masse M et possédant une charge électrique Q non nulle. En coordonnées
de type Schwarzschild (x α ) = (t , r, ϑ, φ), cette métrique a pour composantes
gαβ dx α dx β = − f dt 2 + f
−1
2M Q 2
dr 2 + r 2 dϑ 2 +sin2 ϑ dφ 2 , où f (r ) ≡ 1−
+ 2 .
r
r
(a) Quelles conditions doivent vérifier M et Q pour que la fonction f (r ) ait deux
racines réelles distinctes, que l’on notera r+ et r− (avec r+ > r− ).
(b) Montrer que les géodésiques lumière radiales sont de la forme t ± r∗ = const.,
où r∗ est une fonction de r , r+ et r− que l’on déterminera explicitement.
(c) Calculer le carré scalaire du vecteur de Killing (∂ t )a associé au caractère statique
de la métrique. En déduire le genre de (∂ t )a en fonction de r .
(d) En admettant que la singularité de la composante g r r en r = r+ est une singularité de coordonnées, quelle conjecture raisonnable peut-on faire concernant
la nature de l’hypersurface r = r+ ?
 Considérons deux étoiles, chacune de masse M , que nous assimilerons à des particules ponctuelles se déplaçant le long d’une orbite circulaire newtonienne de rayon R
centrée sur l’origine d’un système de coordonnées cartésiennes (x , y, z ).
(a) Montrer que l’on peut toujours orienter le repère de sorte que les positions des
étoiles sont données par x⃗ = ± R (cos ωt , sin ωt , 0), où ω 2 = M /(4R 3 ) est la
fréquence du mouvement orbital.
(b) En déduire les composantes du tenseur d’inertie newtonien Ii j (t ) et du moment
quadrupolaire newtonien Qi j (t ) du système binaire.
(c) En appliquant les formules du quadrupôle d’Einstein, calculer les composantes
spatiales h̄i j de la perturbation à trace renversée, ainsi que la luminosité gravitationnelle L de la source.
(d) Rappeler l’expression de l’énergie mécanique E du système binaire en fonction
de la masse M de chaque étoile et de la taille R de l’orbite.
(e) En utilisant la loi de conservation de l’énergie, c’est-à-dire dE /dt = −L, en déduire l’évolution temporelle de la distance R(t ), de la fréquence orbitale ω(t ),
et de l’amplitude typique h(t ) des ondes gravitationnelles émises.
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à Considérons un espace-temps (E , ga b ), ainsi qu’un système de coordonnées (x α ) =
(u, v, x , y) défini sur E , tel que les composantes de la métrique sont données par
gαβ dx α dx β = −2 du dv + a 2 (u) dx 2 + b 2 (u) dy 2 ,
où a et b sont deux fonctions quelconques de la coordonnée u. Pour un choix approprié des fonctions a(u) et b (u), cette métrique représente une onde gravitationnelle
plane.
(a) Calculer les composantes Γ γαβ du symbole de Christoffel Γ ca b associé aux coordonnées (x α ), ainsi que les composantes Rαβγ δ du tenseur de Riemann Ra b c d
pour cette métrique.
(b) En utilisant l’équation d’Einstein dans le vide, en déduire les équations vérifiées
par les fonctions a(u) et b (u).
(c) Montrer qu’il est possible de trouver une solution exacte, pour laquelle a(u) et
b (u) s’expriment à l’aide d’une fonction f (u) arbitraire.
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