Leçon 7. Lois de composition. Le plan complexe Cette

Le¸con 7. Lois de composition. Le plan complexe
Cette fiche, plus succincte que les pr´ec´edentes, est un r´esum´e des quatre heures d’amphi consacr´ees
`a ces questions.
1. Lois de composition
Soit Eun ensemble.
Une loi de composition interne sur E(une LCI) est une application
?:E×E→E: (a, b)7→ a?b
Exemples:
(1) l’addition + : Z ×Z→Z:(m, n)7→ m+n
(2) la multiplication ×: Z ×Z→Z:(m, n)7→ mn
(3) l’intersection ∩:P(N) ×P(N) →P(N) : (A, B)7→ A∩B
(4) l’addition + : Q ×Q→Q : (a
b,c d)7→ ad+bc bd
(5) la multiplication ×: Q ×Q→Q:(a
b,c d)7→ ac bd
On dit que la LCI ?sur Eest commutative si quels que soient a, b ∈E, a ? b =b ? a.
On dit qu’elle admet un ´el´ement neutre s’il existe un ´el´ement e∈Etel que a?e=a=e?aquel
que soit a∈E.
Exemples: les lois (1) `a (5) sont commutatives.
Voici des ´el´ements neutres pour les 5 exemples: pour (1) 0 ∈Z pour (2) 1 ∈Z, pour (3) la partie
N∈P(N), pour (4) 0 ∈Q, pour (5) 1 ∈Q.
Propri´et´e: si un neutre existe, il est unique: en effet, si eet e0sont des ´el´ements neutres on a
e=e?e0car e0est neutre et on a aussi e?e0=e0car eest neutre. Donc e=e0.
On dit que la LCI ?sur Eest associative si (a?b)? c =a ? (b?c) quels que soient a, b, c ∈E.
Exemples: les lois de (1) `a (5) sont associatives.
El´ements inversibles: soit ?une LCI sur Equi soit associative et `a neutre e∈E. On dit que a∈E
est inversible pour ?s’il existe un ´el´ement b∈Etel que
a?b=b?a=e.
Si bexiste, il est unique: en effet, si b0en est un autre on a (b ? a)? b0=e ? b0=b0. Par associativit´e
(b?a)? b0=b ? (a?b0) = b?e=b. Donc b0=b.
best appel´e l’inverse ou le r´eciproque de apour ?. Il est souvent not´e b−1.
Exemples: pour (1), le r´eciproque de n∈Z est −n; pour (2), seul 1 et −1 admettent un r´eciproque
dans Z (si n6=±1 alors 1
n6∈ Z); pour (3), seul N admet un r´eciproque (s’il existe B∈P(N) telle
que A∩B= N , alors N⊂Aet donc N= A); pour (4), le r´eciproque de a
best −a b; pour (5), tout
a
b6= 0 admet pour r´eciproque b a.
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2. Anneaux, Corps
Voici 3 d´efinitions importantes (en math´ematique et en informatique):
Groupe: soit Gun ensemble non vide et ?une LCI sur G.
On dit que (G, ?) est un groupe si
(g1) ?est associative,
(g2) ?admet un ´el´ement neutre e
(g3) tout ´el´ement a∈Gest inversible pour ?.
On dit que (G, ?) est commutatif ou ab´elien si ?est commutative.
Exemples de groupes: (Z,+), (Q,+), (Q \ {0},×), (R,+), (R \ {0},×).
Anneau: soit Aun ensemble non vide et soient +Aet ·Adeux LCI sur A. On dit que (A, +A,·A)
est un anneau si
(a1) (A, +A) est un groupe commutatif dont le neutre est not´e 0A
(a2) ·A:A×A→A: (a, b)7→ a·Abest associative et admet un neutre not´e 1A.
(a3) ·Aest distributive par rapport `a +Ace qui signifie
a·A(b+Ac) = (a·Ab) +A(a·Ac),(b+Ac)·Aa= (b·Aa) +A(c·Aa)
quels que soient a, b, c ∈A.
L’anneau Aest dit commutatif si ·Aest commutative.
Il faut voir que cette d´efinition formelle imite les propri´et´es usuelles des op´erations d’addition et
de multiplication sur Z qui est l’exemple fondamental d’anneau.
Exemples d’anneaux: (Z,+,×), (Q,+,×), (R,+,×).
Corps: un anneau (A, +A,·A) est appel´e un corps si tout ´el´ement a∈A\ {0A}est inversible pour
·A, i.e. si (A\ {0A},·A) est un groupe.
Exemples de corps: (Q,+,×), (R,+,×).
3. Le plan complexe
Question: Peut-on, par analogie au corps des r´eels, d´efinir une loi d’addition not´ee +2et une loi
de multiplication not´ee ·2sur le plan R2telles que (R2,+2,·2) soit un corps?
La r´eponse est positive et c’est pr´ecis´ement l`a qu’interviennent les nombres complexes.
Sur le plan R2={(a, b), a, b ∈R}on pose
(a, b) +2(a0, b0)=(a+a0, b +b0)
(a, b)·2(a0, b0)=(aa0−bb0, ab0+ba0)
Th´eor`eme: (R2,+2,·2) est un corps commutatif.
D´emo: il s’agit de v´erifier les 3 conditions (a1), (a2), (a3) de la d´efinition, l’inversibilit´e pour ·2et
sa commutativit´e.
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pour (a1): le neutre est (0,0) et le r´eciproque de (a, b) est (−a, −b).Je vous laisse l’associativit´e
et la commutativit´e.
pour (a2), j’´enonce simplement les v´erifications `a effectuer: pour l’associativit´e, montrer que
((a, b)·2(a0, b0)) ·2(a00, b00)=(a, b)·2((a0, b0)·2(a00, b00)),
le neutre est (1,0), le r´eciproque de (a, b)6= (0,0) est
(a
(a2+b2),−b (a2+b2)),
pour la commutativit´e, montrer que
(a, b)·2(a0, b0)=(a0, b0)·2(a, b).
pour (a3): par commutativit´e, il suffit de montrer que
(a, b)·2((a0, b0) +2(a00, b00)) = ((a, b)·2(a0, b0)) +2((a, b)·2(a00, b00)).
La notation complexe.
Pour r∈R et (a, b)∈R2convenons d’´ecrire r(a, b) = (ra, rb).
On a alors
(a, b) = a(1,0) + b(0,1).
Notons (1,0) = 1 (l’unit´e r´eelle) et notons (0,1) = i(l’unit´e imaginaire). On a alors
(a, b) = a1 + b i =not. a+bi.
C’est la notation complexe pour un point du plan.
D´efinition: on appelle plan complexe C l’ensemble des expressions {a+ib, a, b ∈R}.
Pour un complexe z=a+ib ∈C on appelle a= Re (z) la partie r´eelle de zet b= Im (z) sa partie
imaginaire.
Il faut bien comprendre que l’ensemble C n’est rien d’autre que le plan usuel R2dans des conventions
diff´erentes de notations, ce que l’on peut exprimer en disant que l’application
R2→C:(a, b)7→ a+ib
est une bijection.
Par ce changement de notations, l’axe des abscisses devient l’axe r´eel et l’axe des ordonn´ees devient
l’axe imaginaire. Les lois +2et ·2s’´ecrivent alors
(a+ib) +2(a0+ib0)=(a+a0) + i(b+b0)
(a+ib)·2(a0+ib0)=(aa0−bb0) + i(ab0+a0b)
comme au lyc´ee. En particulier (0,1) ·2(0,1) = (−1,0) devient i2=−1.
On oublie ensuite les indices 2 dans les lois et on note +2simplement + et ·2simplement ·.
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Complexe conjugu´e et module:
Le complexe conjugu´e de z=a+ib est le complexe z=a−ib.
Le module de z, not´e |z|, est la distance euclidienne du couple (a, b) `a l’origine (0,0):
|z|=pa2+b2.
On a |z|2=zz ce qui permet de voir que |zz0|=|z| | z0|quels que soient z, z0∈C.
L’inverse de zpour la multiplication complexe s’´ecrit
z−1=a−ib
(a2+b2)=z zz =1 z.
Forme polaire (ou trigonom´etrique) d’un complexe:
On a z=a+ib =|z|(a
|z|+ib |z|),avec −1≤a |z|≤1 et −1≤b |z|≤1.
On appelle argument de ztout r´eel θtel que a
|z|=cos θ et b |z|=sin θ. La forme polaire de zest
l’expression
z=|z|(cos θ +i sin θ) =not.|z|eiθ .
Proposition: pour tous r´eels θ, θ0on a
eiθeiθ0=ei(θ+θ0).
D´emo:
(cos θ +isin θ)(cos θ0+isin θ0)=(cos θ cos θ0−sin θ sin θ0) + i(cos θ sin θ0+sin θ cos θ0)
=cos(θ+θ0) + i sin(θ+θ0)
=ei(θ+θ0)
.
Corollaire: quels que soient les r´eels θ1,...θn, on a
eiθ1·eiθ2· · · eiθn=ei(θ1+···+θn).
En particulier, on a
(eiθ)n=einθ .
C’est la formule de Moivre
(cos θ +i sin θ)n=cos nθ +i sin nθ.
Corollaire: si θest un argument du complexe zalors tout argument de zs’´ecrit
θ0=θ+ 2πl, l ∈Z.
D´emo: si |z|eiθ =|z|eiθ0alors ei(θ−θ0)= 1 i.e. cos(θ−θ0) = 1 et sin(θ−θ0) = 0. D’o`u θ−θ0
est un multiple entier de 2π.
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3. Racines
D´efinition: soit z6= 0 un nombre complexe et n6= 0 un entier naturel. On appelle racine n−i`eme
de ztout nombre complexe wtel que wn=z.
On commence par le cas n= 2.
Proposition: tout complexe znon nul admet exactement 2 racines deuxi`emes.
D´emo: soit z=a+ib et w=x+iy tel que w2=z. Cette ´equation s’´ecrit
(x+iy)2= (x2−y2) + i(2xy) = a+ib
ce qui ´equivaut aux 2 conditions
(1) x2−y2=a, (2) 2xy =b
Pour faciliter la solution on utilise aussi l’´egalit´e de modules |w|2=|z|i.e.
(3) x2+y2=pa2+b2.
(1) + (3) donne 2x2et (1) - (3) donne −2y2. Les signes relatifs de xet ysont donn´es par (2) et il
y a toujours exatement deux solutions. Bien sˆur, si w1est solution, −w1l’est aussi.
Th´eor`eme: soit n∈N\ {0}. Tout complexe non nul zadmet exactement nracines n−i`emes
distinctes.
D´emo: la preuve repose sur la forme polaire. Ecrire z=|z|eiθ, w =|w|eiφ.La condition wn=z
s’´ecrit
|z|eiθ = (|w|eiφ)n=|w|neinφ.
En prenant le module, on a donc |w|n=|z|i.e. |w|=|z|1
n.En simplifiant par le module, on a
einφ =eiθ. D`es lors il existe l∈Z tel que nφ =θ+ 2πl et
φ=θ+ 2πl
n.
En conclusion, si wn=zalors
w= (|z|)1
nei(θ+2πl n),avec l∈Z.
R´eciproquement, quel que soit l∈Z ce wsatisfait wn=z.
On va montrer qu’il y a exactement nracines distinctes.
Pour l∈Z on a par division euclidienne l=qn +r, 0≤r≤n−1. Un petit calcul donne
ei(θ+2πl
n)=ei(θ+2πr n).Ce qui montre qu’il y a au plus nsolutions distinctes correspondant aux
diff´erents choix du reste rentre 0 et n−1. Pour conclure, il suffit de montrer que si pour
0≤r≤r0≤n−1 on a
ei(θ+2πr
n)=ei(θ+2πr0 n)
alors r=r0.Mais cette ´egalit´e ´equivaut `a
ei(2πr
n)=ei(2πr0 n)
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