Inégalités, fonctions continues, limites

Université Jean Monnet
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul diérentiel
Année 2007/2008
Inégalités, fonctions continues, limites
Exercice 1. Soient p, q ∈]1, +∞[ tels que
1
p
= 1.
1
q
+
1) Montrer que pour tout X, Y ∈ R+ , on a
XY 6
Xp Y q
+
.
p
q
Indication : on pourra établir et utiliser la convexité de x 7→ − ln x.
2) Soit n ∈ N∗ et soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R+ tels que
n
X
api
=
n
X
i=1
bqi = 1.
i=1
Montrer que i=1 ai bi 6 1.
3) Soit n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ C. Montrer que
Pn
n
X
(∗)
n
X
|xi yi | 6
i=1
!1/p
n
X
|xi |p
i=1
!1/q
|yi |q
.
i=1
Cette inégalité est l'une des inégalités de Hölder. Il en existe une version pour les intégrales, ainsi
que pour les séries.
Exercice 2. Soient p, q ∈]1, +∞[ tels que
1
p
+
1
q
= 1.
1) En utilisant l'exercice précédent, montrer que pour tout n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ C, on a
X
|xi | · |xi + yi |p−1 6
n
X
i=1
i=1
X
n
X
et
|yi | · |xi + yi |p−1 6
i=1
!1/p
|xi |p
n
X
!1/q
|xi + yi |p
i=1
!1/p
|yi |p
i=1
n
X
!1/q
|xi + yi |p
.
i=1
2) En déduire que pour tout n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ C
(∗∗)
n
X
i=1
!1/p
|xi + yi |p
6
n
X
i=1
!1/p
|xi |p
+
n
X
!1/p
|yi |p
.
i=1
Cette inégalité est l'une des inégalités de Minkowski. Il en existe une version pour les intégrales,
ainsi que pour les séries.
Exercice 3.
1. Montrer que pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R on a
sin x = x −
x3
x2n+1
+ · · · + (−1)n
+ Rn (x),
3!
(2n + 1)!
avec |Rn (x)| 6
|x|2n+3
(2n + 3)!
2. Montrer que pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R on a
ex = 1 + x +
x2
xn
+ ··· +
+ En (x),
2!
n!
avec |En (x)| 6
|x|n+1 |x|
e .
(n + 1)!
Exercice 4.
1) Soit x > 0. Montrer qu'il existe θ = θ(x) ∈]0, 1[ tel que
sin x = x −
x3
cos xθ .
6
2) Montrer que pour 0 < x 6 π/2, le réel θ(x) est unique.
3) Déterminer un équivalent de θ(x) quand x → 0+ .
Exercice 5. Montrer que pour tout x ∈ [0, π/2] on a
2x
π
6 sin x 6 x.
Exercice 6. Soit (E, k · k) un R-espace vectoriel normé. Soit U un ouvert de E et f : U → R une
fonction continue.
1) Rappeler le critère séquentiel de continuité
2) On suppose que E = R2 muni de la norme euclidienne. Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en (0, 0) ?
f1 (x, y) :=
f4 (x, y) :=
xy
,
2
x + y2
1+x+y
,
x2 − y 2
f2 (x, y) :=
f5 (x, y) :=
sin(xy)
,
x2 + y 2
xy 2
,
x2 + y 2
f3 (x, y) :=
f6 (x, y) :=
x5 y 3
,
x6 + y 4
x sin y − y sin x
x2 + y 2
3) Même question avec E = R3 et les fonctions suivantes :
g1 (x, y, z) :=
xyz
,
x2 + y 2 + z 2m
Exercice 7. Soit
(
f (x, y) :=
g2 (x, y, z) :=
(x2 + y 2 ) sin
0
1
xy
sin(|x| + |y| + |z|)
p
x2 + y 2 + z 2
si xy 6= 0
si xy = 0.
1) Quel est le domaine de continuité de f ?
2) Même question avec la fonction
f (x, y) =
sin(xy)
si y 6= 0, et f (x, 0) = x.
y
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Calcul diérentiel
Année 2007/2008
Espaces normés, espaces de Banach
Exercice 8. On munit Rn de la norme x 7→ kxk∞ := max16i6n |xi |. On considère l'espac E = Mn (R)
des matrices carrées d'ordre n à coecients réels. On considère l'application k · k : E → R+ dénie par
kAk := sup kAxk∞ .
kxk∞ 61
1) Vérier que kAk existe pour tout A ∈ E et que k · k dénit une norme sur E .
2) Montrer que pour tout, A, B ∈ E on a kABk 6 kAk kBk.
3) Soit k ∈ N+ . Étudier la continuité de la fonction A 7→ Ak de E dans E . Indication : on pourra
commencer par établir que pour tout A, H ∈ E et pour m ∈ N on a
k(A + H)m − Am k 6 (kAk + kHk)m − (kAk)m .
4) Soit 1 6 i, j 6 n. Montrer que l'application A 7→ ai,j est continue sur E (ici ai,j désigne le coecient
de A en ligne i et colonne j .)
5) En déduire que det : A 7→ det A est continue sur E .
6) En déduire que l'ensemble U des matrices inversibles est un ouvert de E .
7) Montrer que l'ouvert U est dense dans E .
Exercice 9. Soit E = C 1 ([0, 1]; R). On considère l'application
f ∈ E 7→ N1 (f ) := |f (0)| + sup |f 0 (t)|.
t∈[0,1]
L'application est-elle une norme sur E ?
Exercice 10. 1) Rappeler la dénition d'une norme.
2) Montrer que l'application k · k : E → R+ est une norme sur E si et seulement si
(i) kxk = 0 si et seulement si x = 0,
(ii) kλxk = |λ| kxk pour tout (λ, x) ∈ R × E
(iii) la partie {x ∈ E, kxk 6 1} est une partie convexe de E .
Exercice 11. Soient E = C 0 ([0, 1]; R) et F
= C 1 ([0, 1]; R). Pour tout f ∈ E , on dénit
kf k∞ := sup |f (t)|.
t∈[0,1]
a) Montrer que k · k∞ est une norme sur E et sur F .
b) Montrer que (E, k · k∞ ) est complet, mais que (F, k · k∞ ) ne l'est pas.
Exercice 12. Soit
suivante :
E = C[X]. On dénit les applications k · k∞ et k · k1 de C dans R+ de la façon
P
P = Pni=0 ai X i ∈ C[X] 7−→ kP k∞ :=P
max06i6n |ai |,
n
i
P = i=0 ai X ∈ C[X] 7−→ kP k1 := ni=0 |ai |.
a) Montrer que k · k∞ et k · k1 sont des normes sur E .
b) Montrer que (E, k · k∞ ) (resp. (E, k · k1 ) ) n'est pas complet.
c) Montrer que k · k∞ et k · k1 ne sont pas équivalentes.
Exercice 13. Soit E = C 0 ([0, 1]; R). Soit g ∈ E xée, non identiquement nulle. On dénit
Φ:
E→R
R1
f 7→ 0 f (t)g(t)dt.
On munit E de la norme f 7→ kf k∞ := supt∈[0,1] |f (t)|. Montrer que Φ est une application linéaire
continue de (E, k · k∞ ) et calculer sa norme.
Exercice 14. Soient (E, k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés. Soit u : E → F une
application linéaire. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) l'application u est continue,
(ii) pour toute suite (xn )n∈N d'éléments de E , convergente de limite 0, la suite u(xn ) n∈N est bornée
dans F .
Exercice 15. Soit E
P
= Rn . On considère les normes usuelles x = (x1 , . . . , xn ) 7→ kxk1 := ni=1 |xi |,
P
1/2
x = (x1 , . . . , xn ) 7→ kxk2 := ( ni=1 |xi |2 ) et x = (x1 , . . . , xn ) 7→ kxk∞ := max16i6n |xi | sur E . Montrer
que pour tout x ∈ Rn \ {0},
kxk∞ 6 kxk1 6 nkxk
√ ∞
kxk∞ 6 kxk2 6 ( n)kxk∞
√1 kxk1 6 kxk2 6 kxk1 .
n
Ces inégalités sont-elles optimales ?
Exercice 16. Soit E = C 0 ([0, 1]; R). Pour tout f ∈ E , on dénit
kf k∞ := sup |f (t)|
t∈[0,1]
et
Z
kf k1 :=
1
|f (t)|dt.
0
Montrer que k · k∞ et k · k1 sont des normes sur E qui ne sont pas équivalentes.
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Calcul diérentiel
Année 2007/2008
Dérivées
Exercice 17. On considère la fonction f : R → R dénie par la relation
f (t) := exp(−1/t2 ) si t 6= 0 et f (0) = 0.
Montrer que f est de classe C ∞ sur R.
Exercice 18. On considère la fonction f : R → R dénie par la relation
2
2
f (x) := e−1/x sin e1/x si x 6= 0 et f (0) = 0.
1) Montrer que pour tout n ∈ N, f admet un développement limité à l'ordre n en x = 0. Quel est ce
développement limité ?
2) Montrer que f est dérivable sur R et donner sa dérivée.
3) Montrer que f 0 n'est bornée sur aucun voisinage de x = 0.
4) La fonction f est-elle deux fois dérivable ?
Exercice 19. Soit (E, k · kE ) un espace de Banach. On pose F
:= Lc (E, E) que l'on munit de la norme
usuelle k · k déduite de la norme k · kE .
Soit u ∈ F . On pose u0 := IdE et pour n ∈ N∗ , on pose un+1 := u ◦ un = un ◦ u.
1) Rappeler la dénition de la norme k · k sur F .
2) Soit u ∈ F . Montrer que pour tout n ∈ N, kun k 6 kukn .
3) Soit u ∈ F . Montrer que la série
+∞ n
X
u
n=0
n!
converge dans F . On note exp u sa valeur. On l'appelle exponentielle de l'endomorphisme E . On
peut montrer
(mais
on l'admet ici) que si u et v dans F sont tels que u ◦ v = v ◦ u, alors exp(u + v) =
exp u ◦ exp v .
Dans la suite, on xe u ∈ F , et on dénit f : R → F par la relation
f (t) := exp(tu),
(t ∈ R).
4) Montrer que f est continue sur R, dérivable sur R. Calculer f 0 (t) pour tout t ∈ R.
5) On considère maintenant une fonction ϕ : R → F dérivable sur R telle que pour tout t ∈ R on ait
ϕ0 (t) = u ◦ (ϕ(t)).
Pour tout t ∈ R, on pose ξ(t) := exp(−tu) ◦ ϕ(t) .
(a) Calculer ξ 0 (t) pour tout t ∈ R.
(b) Que pouvez-vous en déduire sur la fonction ϕ ?
Exercice 20. On considère l'espace E = C 0 ([0, 1], R) muni de la norme k·k∞ (on rappelle que (E, k·k∞ )
est un espace de Banach). Soient f0 et g0 deux éléments de E xés.
On considère l'application ψ : R → E , t 7→ ψ(t) où pour tout t ∈ R l'élément ψ(t) est l'application
x
Z
ψ(t) : x 7→
sin(f0 (u) + tg0 (u))du.
0
1) Vérier que ψ est bien dénie.
2) Montrer que ψ est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
Exercice 21.
Un exemple de fonction de Weirstrass
On considère la fonction f : R → R dénie par f (x) :=
P+∞
n=0
fn (x) avec
n
7
sin 2π · 8n x .
fn (x) :=
8
1) Montrer que la fonction f est continue sur R.
2) Montrer que si f est dérivable en un point a, alors pour toutes suites (xn )n et (yn )n convergeant
vers a telles que yn 6 a 6 xn et yn < xn pour tout n ∈ N on a
lim
n→+∞
f (xn ) − f (yn )
= f 0 (a).
xn − yn
3) Soit a un réel xé quelconque. On se propose de construire deux suites (xn )n et (yn )n respectant les
conditions de la question 2) et telles que
f (xn ) − f (yn )
= +∞.
n→+∞
xn − yn
lim
On note kn la partie entière de a8n + 1/4π , et on construit les suites
xn =
4kn + 5
4k − 1
et yn = n n ,
n
4·8
4·8
(n ∈ N).
(yn )
et on pose tn := f (xxnn)−f
pour tout n ∈ N.
−yn
a) Montrer que les suites (xn )n et (yn )n vérient les conditions requises dans la question 2).
b) Montrer que pour tout n ∈ N
n−1
4 n X fm (xn ) − fm (yn )
tn = · 7 +
.
3
xn − yn
m=0
c) Montrer que pour tout k 6 n − 1 on a
d) En déduire que
|fm (xn )−fm (yn )|
xn −yn
tn >
e) Conclure.
6 2π · 7n
4 n
7n − 1
· 7 − 2π
.
3
6
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Calcul diérentiel
Année 2007/2008
Diérentielle d'une application
Exercice 22. Donner dans chacun des cas l'expression de la diérentielle, ainsi que la matrice jacobienne.
f:
2
R
→
R
(x, y) 7→ sin(x2 + y)


R3
→ g:
7
 (x, y, z) →
et
z
R2
e
x
.
,
1 + x2 + y 2 1 + z 4
Exercice 23.
(a) Étudier la diérentiabilité des applications suivantes, dénie de Rn [X] dans R :
ϕ : P 7→ sin P (0)
et
Z
1
ψ : P 7→
P 3 (t) − P 2 (t) dt.
0
(b) Même question pour
f:
R2 [X] → R4 [X]
P
7→ P 0 − P 2 .
Exercice 24.pOn considère l'espace vectoriel R2 . Donner l'ensemble des points où les normes (x, y) 7→
k(x, y)k2 :=
x2 + y 2 , (x, y) 7→ k(x, y)k1 := |x| + |y| et (x, y) 7→ k(x, y)k∞ := max(|x|, |y|) sont
diérentiables, et donner leur diérentielle en ces points.
Exercice 25. On considère l'application
ϕ:
C → C
z 7→ z.
Étudier et comparer la diérentiabilité de ϕ selon que l'on considère C comme un R-espace vectoriel
ou comme un C-espace vectoriel.
Exercice 26. On considère E = Mn (R) l'espace des matrices carrées à coecients réels. Déterminer
la diérentielle des applications suivantes aux points indiqués :
A 7→ det A, en A = In ,
+∞
X
Ak
A 7→ exp A :=
, en A = 0n .
k!
k=0
A 7→ A3 , en tout point de Mn (R).
Exercice 27. Soient (E1 , k · kE ) , (E2 , k · kE ) et (F, k · kF ) trois espaces vectoriels normés. On munit
1
2
l'espace vectoriel produit E = E1 × E2 de la norme k(x1 , x2 )k := kx1 kE1 + kx2 kE2 . On considère l'espace
G := Lc (E1 , E2 ; F ) des applications bilinéaires continues muni de l'application
f 7→ M (f ) :=
sup
kf (x1 , x2 )kF
(x1 ,x2 )∈B
où
n
o
B := (x1 , x2 ) ∈ E, kx1 kE1 6 1 et kx2 kE2 6 1 .
(a) Montrer que l'application f 7→ M (f ) est bien dénie sur G et que c'est une norme sur G.
(b) Montrer que toute application f ∈ G est diérentiable en tout point x ∈ E .
(c) Si E1 = E2 = R, montrer que la fonction déterminant par rapport à la base canonique de R2
appartient à Lc (E1 , E2 ; F ), puis calculer sa diérentielle en tout point x de E .
(d) Si E2 = Lc (E1 , F ) est l'espace des applications linéaires continues de E1 dans F et f : E → F ;
(x, u) 7→ u(x). Calculer la diérentielle de f en tout point (x, u) de E .
Exercice 28. Soit
E un espace de Banach, U un ouvert de E et soit a ∈ U . On se donne deux
applications f : U → R et g : U → R diérentiables en a. Montrer que f g est diérentiable en a et
calculer sa diérentielle. On pourra résoudre cet exercice par deux méthodes.
Exercice 29.
.
(Extrait du partiel de novembre 2005)
Soit f : R → R dénie par
2
x sin y − y sin x
,
x2 + y 2
f (0, 0) = 0.
f (x, y) =
si (x, y) 6= (0, 0)
Étudier la continuité et la diérentiabilité de f en (0, 0).
Exercice 30. Considérons la fonction la fonction f : R2 → R dénie par

 0 si y 6 0
0 si y > x2
f (x, y) :=

1 sinon.
Montrer que f n'est pas continue en (0, 0), mais que toutes les dérivées directionnelles en (0, 0)
existent.
Exercice 31. Soit E = C 0 ([0, 1], R) On munit E de la norme f 7→ kf k∞ := supt∈[0,1] |f (t)|. Soit g ∈ E
xée. On considère l'application ϕ : E → E dénie par ϕ(f ) = max{f, g}. Montrer que l'application ϕ
est continue sur E , et préciser l'ensemble des f ∈ E où elle est diérentiable.
Exercice 32. On considère l'espace
l'application
E = Rn muni de la norme euclidienne x 7→ kxk, et on dénit
f:
E r {0} → E r {0}
x
x
7→
.
kxk2
Montrer que f est diérentiable en tout point x0 de E r{0} et calculer sa diérentielle en ces points.
Décrirer géométriquement la diérentielle dx0 f dans le cas où kx0 k = 1.
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Calcul diérentiel
Année 2007/2008
Fonctions de classe C 1 et accroissements nis
Exercice 33. Soient p, q ∈ N∗ et f : R2 → R la fonction dénie par
f (x, y) =
xp y q
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + xy + y 2
et f (0, 0) = 0.
1) Montrer que |f (x, y)| 6 2k(x, y)k2p+q−2 pour tout (x, y) ∈ R2 .
2) Montrer que f est continue sur R2 si et seulement si p + q > 2.
3) Montrer que f est diérentiable sur R2 si et seulement si p + q > 3. La fonction f est-elle alors de
classe C 1 sur R2 ?
Exercice 34. Soit α > 0 xé. On considère
f:
R2 → R
(x, y) 7→ |xy|α .
1) Montrer que f est continue en (0, 0).
2) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles f est diérentiable en (0, 0).
3) Déterminer pour quelles valeurs de α l'application f est de classe C 1 au voisinage de (0, 0).
Exercice 35. Montrer que l'application ϕ dénie sur E = C 0 ([0, 1]; R) par
Z
ϕ(f ) =
1
sin(f (t))dt
0
est de classe C 1 sur E .
Exercice 36. Soit E := C 0 ([0, 1], R) muni de la norme k · k∞ dénie par
kf k∞ := sup |f (x)| pour tout f ∈ E.
x∈[0,1]
Pour tout f ∈ E , on dénit ϕ(f ) par
Z
ϕ(f )(x) :=
x
f 2 (t)dt, pour tout x ∈ [0, 1].
0
(a) Justier rapidement que ϕ(f ) ∈ E pour tout f ∈ E .
(b) Montrer que Φ est de classe C 1 et déterminer dϕ.
(c) Montrer que pour tout f ∈ E on a
kdf ϕkLc (E,E) 6 2kf k∞
Exercice 37. On considère l'application f : R2 → R dénie par
f (x, y) =
sin(xy)
si y 6= 0, et f (x, 0) = x.
y
Étudier l'existence des dérivées partielles de f sur R2 , étudier la diérentiabilité de f sur R2 , puis
étudier le cas échéant si f est de classe C 1 sur R2 .
(Indication : s'inspirer de l'exercice 3 du contrôle de novembre 2006 et utiliser l'exercice ci-dessus.)
Exercice 38. Soit f
: R2 → R une application diérentiable. On considère l'application F : R3 → R
dénie par F (x, y, z) := f (x2 − y 2 , x3 + y + z 2 ) pour (x, y, z) ∈ R3 . Montrer que F est diérentiable sur
R3 et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de f .
Exercice 39. Soit
E = Rn l'espace euclidien canonique
p de dimension n muni du produit scalaire
x 7→ hx, xi et de la norme euclidienne x 7→ kxk := hx, xi. On considère l'application Soit ϕ un
endomorphisme de Rn . On considère l'application f : Rn → R dénie par f (x) := hx, ϕ(x)i pour tout
x ∈ Rn . On cherche à montrer que f est diérentiable sur Rn .
On rappelle la méthode vue en cours pour trouver la diérentielle présumée :
1) Soit x0 ∈ Rn xé. soit v ∈ Rn r {0}. Étudier la dérivabilité de t ∈ R 7→ g(t) := f (x0 + tv) en t = 0.
2) En supposant que f est diérentiable en x0 , en déduire la valeur de de dx0 f (v) en tout vecteur
v ∈ Rn .
3) En revenant à la dénition et en utilisant la valeur présumée de dx0 , établir la diérentiabilité de f
en x0 .
4) En revenant à la dénition, étudier également la continuité de x 7→ dx f .
Exercice 40. Soient E, F1 , . . . , Fq des espaces vectoriels normés. On dénit F
munit F de la norme suivante
kykF :=
q
X
= F1 × · · · × Fq et on
kyr kFr pour tout y = (y1 , . . . , yq ) ∈ F1 × · · · × Fq .
r=1
Pour tout r ∈ {1, . . . , q}, on note pr l'application de F dans Fr dénie par
pr (y) = yr , pour tout y = (y1 , . . . , yq ) ∈ F1 × · · · × Fq .
Soit U un ouvert de E et soit f : U → F une application. On note fr := pr ◦ f pour tout
r ∈ {1, . . . , q}.
(a) Soit a ∈ U . Montrer que f est diérentiable en a si et seulement si les applications fr , 1 6 r 6 q
le sont.
(b) Montrer que f est de classe C 1 sur U si et seulement si les applications fr , 1 6 r 6 q le sont.
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Calcul diérentiel
Année 2007/2008
Fonctions implicites et inversion locale
Exercice 41.
Extrait de l'épreuve de janvier 2007
Montrer que l'équation ex + ey + x + y − 2 = 0 dénit au voisinage de (0, 0) le graphe y = ϕ(x)
d'une fonction implicite de classe C 1 dont on calculera le développement limité à l'ordre 1.
Exercice 42. On considère les deux équations
(1 + x + y) cos z + x3 = 1
x − y − sin z = 0
1. Montrer que ces deux équations déterminent pour |z| assez petit deux fonctions de classe C 1
z 7→ x(z), z 7→ y(z) telles que x(0) = y(0) = 0.
2. Calculer les dérivées en 0 de ces deux fonctions.
Exercice 43. Soit F
: R2 → R, (u, v) 7→ F (u, v) une application de classe C 1 telle que
F (0, 0) = 0 et
∂F
(0, 0) 6= 0.
∂v
On considère ϕ : R3 → R2 dénie par ϕ(x, y, z) := (xy, x2 − y 2 − z), et on considère l'application
f = F ◦ ϕ.
Montrer que l'équation f (x, y, z) = 0 dénit au voisinage de (0, 0) une application z = ψ(x, y)
vériant
x
∂ψ
∂ψ
−y
= 2(x2 + y 2 ).
∂x
∂y
Exercice 44. Soit a, b ∈ R et f : R2 → R2 dénie par
f (x, y) = (x + a sin y, y + b sin x).
1. Montrer que si |ab| < 1, alors f est un diéomorphisme de R2 sur lui-même.
2. Montrer que si |ab| = 1, f n'est plus un diéomorphisme mais reste un homéomorphisme de R2
sur lui-même.
Exercice 45.
1. Soit f une application de R dans R, dérivable en tout point de R et telle que, pour tout x de R,
f 0 (x) 6= 0. Montrer que f est un homéomorphisme de R sur f (R) et que f −1 est diérentiable en
tout point de f (R).
2. Soit f dénie par f (x) = x + x2 sin πx si x 6= 0 et f (0) = 0. Montrer que f 0 (0) existe et est 6= 0,
mais que f n'est inversible sur aucun voisinage de 0. Expliquer.
Exercice 46.
Extrait de l'épreuve de décembre 2006
On considère E = M3 (R) l'espace des matrices 3 × 3 à coecients réels. On considère M : R → E
l'application dénie par


1 + et t2 t3
cos t 0 
M (t) :=  t
0
sin t t
(t ∈ R).
Pour tout t ∈ R, on note χt (X) ∈ R[X] le polynôme caractéristique de la matrice M (t), et on
considère
4
3
ϕ:
R
→
R
(t, x, y, z) 7→ (χt (x), χt (y), χt (z)).
1) Montrer que ϕ est de classe C 1 sur R4 .
2) Montrer qu'il existe α > 0 et des fonctions réelles t 7→ λ(t), t 7→ µ(t) et t 7→ ν(t) de classe C 1 sur
] − α, α[ telles que λ(0) = 2, µ(0) = 1 et ν(0) = 0, et telles que pour tout t ∈] − α, α[, les réels
λ(t), µ(t) et ν(t) soient valeurs propres de la matrice M (t). [Indication : on utilisera le théorème
des fonctions implicites].
3) Montrer que si |t| est susamment petit, alors λ(t), µ(t) et ν(t) sont exactement les valeurs propres
de M (t). [Indication : on pourra commencer par établir que, pour |t| susamment petit, les réels
λ(t), µ(t) et ν(t) sont deux à deux distincts].
Exercice 47.
1. Soit U le plan privé de l'origine, et f (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy).
Montrer que f est un diéomorphisme local au voisinage de tout point de U mais n'est pas un
diéomorphisme global.
2. Soit h l'application de R2 dans R2 dénie par (x, y) 7→ (ex cos y, ex sin y).
Montrer que h est de classe C 1 dans R2 , que dh(x, y) est un élément de Isom(R2 , R2 ) pour tout
(x, y) ∈ R2 , mais que h n'est pas un homéomorphisme de R2 sur h(R2 ).
Exercice 48.
Extrait de l'épreuve de janvier 2007
Soit k ∈]0, 1[. Soit f : R → R une application de classe C 1 telle que |f 0 (t)| 6 k pour tout t ∈ R.
On considère l'application ϕ : R2 → R2 dénie par ϕ(x, y) := (x + f (y), y + f (x)) pour tout
(x, y) ∈ R2 .
1) Montrer que ϕ est injective.
2) Montrer que ϕ est un diéomorphisme de R2 sur ϕ(R2 ).
3) Soit (a, b) ∈ R2 xé. On xe (x0 , y0 ) ∈ R2 et on considère les suites (xn )n∈N et (yn )n∈N dénies pour
tout n ∈ N par
xn+1 = a − f (yn )
yn+1 = b − f (xn ).
On pose également un := (xn , yn ) pour tout n ∈ N.
1) Montrer que pour tout n ∈ N on a kun+2 − un+1 k2 6 kkun+1 − un k2 , où k · k2 désigne la norme
euclidienne sur R2 .
2) Montrer que (un )n∈N converge.
4) Déduire de la question précédente que ϕ(R2 ) = R2 .
Université Jean Monnet
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul diérentiel
Année 2007/2008
Diérentielles d'ordre supérieur
Exercice 49. Écrire le développement de Taylor-Young à l'ordre 2 au voisinage de (0, 0) de la fonction
(x, y) 7→ f (x, y) :=
ex
cos y
. En déduire l'existence et la valeur de
ex − (1 + x) cos y
.
k(x,y)k→0 (x2 + y 2 ) cos y
lim
Exercice 50. On se propose de déterminer les applications f de classe C 2 sur R2 telles que
∂2f
∂2f
−
= 0.
∂x2
∂y 2
On pourra utiliser l'application ϕ : R2 → R2 dénie par ϕ(u, v) :=
u+v u−v
, 2
2
et étudier G := f ◦ ϕ.
Exercice 51. Soit f : R2 → R l'application dénie par f (x, y) := (x2 + y2 )e−(x +y ) .
2
2
1) Calculer les dérivées partielles et déterminer les points critiques de f .
2) Étudier la fonction u 7→ ue−u sur R+ .
3) En déduire les extrema de f sur R2 .
Exercice 52. Soit a ∈ R, et f :]0, +∞[→ R dénie par f (x, y) := x ln y + y ln x + a(x3 + y3 ).
1) Calculer les dérivées partielles de f jusqu'à l'ordre 2 en (1, 1).
2) Pour quelles valeurs de a la fonction f admet-elle un extremum local en (1, 1) ? Préciser s'il s'agit
d'un maximum ou d'un minimum.
Exercice 53. Calculer l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur une ellipse.
Exercice 54. Calculer le maximum et le minimum de f (x, y, z) := x+2y+3z sur R3 sous les contraintes
x + y + z = 3 et x2 + y 2 + z 2 = 5.
Exercice 55. Soient E et F deux espaces de Banach. On considère
ϕ:
1) Montrer que
L∗c (E, F ) → L∗c (F, E)
u
7→
u−1
du ϕ(h) = u−1 ◦ h ◦ u−1
pour tout u ∈ L∗c (E, F ) et pour tout h ∈ Lc (E, F ).
2) On considère
B:
Lc (F, E) × Lc (F, E) → Lc (Lc (E, F ), Lc (F, E))
(a, b)
7→
B(a, b)
où pour tout (a, b) ∈ Lc (F, E) × Lc (F, E) l'application B(a, b) est dénie par
B(a, b)(h) := a ◦ h ◦ b,
pour tout h ∈ Lc (E, F ).
Montrer que B est une application bilinéaire continue. Montrer que B est de classe C ∞ .
3) En déduire que ϕ est de classe C ∞ . Indication : on pourra exprimer du ϕ en fonction de B et de
ϕ(u) pour tout u ∈ L∗c (E, F ) .
2
4) Donner un expression de d2u ϕ(h, k) pour tout (h, k) ∈ Lc (E, F ) .
Exercice 56. Soient E et F deux espaces de Banach. Soit U un ouvert de E , et V un ouvert de F .
On suppose maintenant que f : U → V est un C 1 -diéomorphisme. On suppose en outre que f est de
classe C n sur U pour un certain n > 2.
En utilisant l'exercice précédent, montrer que sa réciproque f −1 est de classe C n sur V .
Exercice 57. Soit E et F deux espaces de Banach et f
: E → F une application diérentiable.
Soit
x : R → E, t →
7 x(t) une fonction dérivable sur R. Montrer que la fonction t 7→ f x(t) est dérivable
sur R et donner l'expression de sa dérivée.
Dans la cas particulier où E = Rn et F = R, et où x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), exprimer cette dérivée
en fonction des x(t), des xj (t) et des dérivées partielles de f .
Exercice 58. Soit E un espace de Banach et U un ouvert de E . On se propose ici de démontrer la
formule de Taylor avec reste intégral dans la cas des applications f : U → R de classe C n+1 .
On rappelle le cas des fonctions d'une variable réelle. Soit x0 ∈ R et α > 0. si ϕ :]x0 − α[→ R est
de classe C n+1 , alors pour tout h ∈] − α, α[
ϕ(x0 + h) =
n
X
ϕ(k)(x0 )
k=0
k!
Z
+
0
1
(1 − t)n (n+1)
ϕ
(x0 + t h)dt.
n!
1) Redémontrer le résultatR ci-dessus par récurrence sur n. On pourra commencer par remarquer que
1
ϕ(x0 + h) − ϕ(x0 ) = h 0 ϕ0 (x0 + t h)dt en faisant un changement de variables.
2) On étudie maintenant le cas général : soit f : U → R une application diérentiable, où U est un
ouvert d'un espace de Banach E .
Soit x0 ∈ U et h ∈ E tel que [x0 , x0 + h] ⊂ U . On pose
ϕ(t) := f (x0 + t h) pour tout t ∈ [0, 1].
Montrer que ϕ est de classe C n+1 sur [0, 1], et calculer ϕ0 (t), ϕ00 (t), . . . ϕn+1 (t) pour tout t ∈ [0, 1].
(On pourra utiliser l'exercice précédent).
3) En appliquant à ϕ le résultat préliminaire, en déduire la formule de Taylor énoncée dans le cours.
Université Jean Monnet
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul diérentiel
Année 2006/2007
Exercices de révisions
Exercice 59. Soit
E = Rn l'espace euclidien canonique
de dimension n muni du produit scalaire
p
x→
7 hx, xi et de la norme euclidienne x 7→ kxk := hx, xi. En utilisant la diérentielle des fonctions
composées, montrer que
f : x 7→ kxk
est diérentiable en tout point x 6= 0 et calculer sa diérentielle en tout point x 6= 0.