TD 4 : Décomposition des nombres premiers et groupe des classes

d6= 0,1K=Q(√d)
(a)OK
pOK
(b)pOK
d p
(c)K
n≥3ζn=e2iπ/n K=Q(ζn)
ζnΦn∈Z[X]Q(ζn)
Z[ζn]
(a)p n
Φnp
(b)pOKp n
K d Cl(OK)
α1,··· , αdZOKσ1,··· , σdKC
G=
d
Y
i=1 d
X
j=1 |σi(αj)|!.
(a)IOKm md≤N(I)<(m+ 1)d
n1,··· , nd
|ni| ≤ m i
α=n1α1+··· +ndαd∈I.
(b)NK/Q(α)≤GN(I)
(c) Cl(OK)
G
G
(d)
Z[√d]−2,−1,2,3
(e) (2) = (2 −√6)2(3) = (3 −√6)2(5) = (√6−1)(√6 + 1)
(7) Z[√6]
(11) Cl(Z[√6]) = Z/2Z

p
K d pOK=Pd
p p
α∈P\P2P=Xd+ad−1Xd−1+···+a0
(a) (α) = PI I OKP
a0p p2
(b)p a0,··· , aii≤d−1
i<d−1
αd+ad−1αd−1+··· +ai+1αi+1 ≡0 mod pOK,
ai+1αd−1∈pOK
(c)p ai+1
(d)P