jLj = def: card( I) si I est un ensemble ni 1 sinon

Familles
Famille
La notion de famille est techniquement identique à celle de fonction oiu application , mais c'est un point de vue est diérent.
Dénition 1. Soit V un espace vectoriel et I un ensemble. On appelle famille d'éléments de
V indexée par I une fonction : I ! V . On appelle I ensemble d'indices. On parle de famille
nie si jI j < 1 (c'est à dire si I a un nombre ni d'éléments).
Notation. Soit a: I ! V une famille d'éléments de V indexée par I. On pose ai := a(i) et
on écrit (ai)i2I pour dire a. On écrit (ai)16i6n pour le cas où I = f1; ; ng , où carrément
(ai) si l'ensemble d'indices est entendu.
Remarque 1. Un famille nie est plus prosaiquement une liste d'éléments de V . On peut
en particulier avoir des répétions, par exemple (1; 1; 1) est une famille légit d'éléments de N.
Dénition 2. Soit V un espace vectoriel et L = (ai)i2I une famille indexée dans V . La taille
jLj de L est donnée par
def:
card(I) si I est un ensemble ni
jLj =
1
sinon
Combinaison linéaire
Soit V un espace vectoriel et K = (vi)16i6p une famille nie d'éléments de V . Une combinaison linéaire de K est une somme
p
X
ivi 2 V
i=1
où i 2 K pour tout 1 6 i 6 p.
Notation. On écrit Vect(K) pour l'ensemble f
combis linéaires de K.
Pp
i=1
ivi j1 6 i 6 p; i 2 Kg de toutes les
Proposition 1. Vect(K) < V .
Famille libre, famille liée
Dénition 3. Une famille (vi)16i6 p d'éléments de V est
Pp
i. libre si
i=1 ivi = 0 implique i = 0 pour tout 1 6 i 6 p;
ii. liée si elle n'est pas libre.
Exemple.
1. La famille
2
32
3!
1
0
4 0 5;4 0 5
0
1
dans R3 est libre car une combi linéaire
2
3
2
3
1
0
4 0 5+4 0 5
0
1
= 0
nous renseigne que ; = 0 en lisant coordonnée par coordonnée.
2
32
32
3!
2. La famille
1
0
1
4 0 5;4 0 5;4 0 5
0
1
1
dans R3 est liée car
2
3 2
3 2
3
1
0
1
4 0 5+4 0 5¡ 4 0 5
0
1
1
Observons que
2
3
1
4 0 5
0
+
2
3
0
4 0 5
1
=
2
= 0
3
1
4 0 5
1
.
Remarque 2. Soit (vi)16i6p une famille libre dans V . On a nécéssairement vi =
/ v j pour tout
i=
/ j (pas de répétitions, ce qui revient à dire que la fonction v: f1; ; pg ! V est injective).
On peut voir ça par contraposition. Supposons qu'il existe des indices i; j 2 f1; ; pg tels
que vi = v j . À ce moment-là on peut construire une combinaison linéaire 1v1 + + pv p
non triviale avec
k
8
<
1
:=
¡1
:
0
k=i
k=j
sinon
Cette combinaison linéaire est bien sûr nulle, donc (vi) n'est pas libre.
Remarque 3. Soit (vi)16i6p une famille libre dans V et une permutation de l'ensemble
des indices f1; ; pg. Il est immédiat que la famille (v(i))16i6p est libre.
Remarque 4. Soit (vi)16i6p une famille libre dans V . On a vi =
/ 0 pour tout 1 6 i 6 p, ce
qui se voit par contraposition. Supposons que vi = 0 pour un indice 1 6 i 6 p. À ce momentlà on trouve une combi linéaire nulle mais non-triviale:
0v1 + + 0vi¡1 + vi + 0vi+1 + + 0v p = 0 = 0
Proposition 2. Soit L = (vi)16i6p une famille dans V . Les assertions suivantes sont
équivalentes
i. L est liée;
ii. il existe un indice 1 6 j 6 p tel que v j 2 Vect(Lnv j );
iii. il existe un indice 1 6 j 6 p tel que Vect(L) = Vect(Lnv j ).
Démonstration. (i) ) (ii) Supposons une combi linéaire non-triviale de L tele que
p
X
i=1
ivi = 0
Il existe à ce moment-là indice 1 6 j 6 p tel que j =
/ 0, du coup
p X
vj =
¡ i vi 2 Vect(Lnv j )
j
i=
/j
(ii) ) (iii) Supposons un indice 1 6 j 6 p tel que v j 2 Vect(Lnv j ). Il est immédiat que
Vect(Lnv j ) Vect(L). Pour montrer l'inclusion inverse, supposons 0 =
/ x 2 Vect(L). On
a donc des combis linéaires non-triviales
x =
vj =
p
X
i=1
X
ivi
ivi
i=
/j
du coup
x =
=
=
=
p
X
i=1
X
i=
/j
X
i=
/j
X
i=
/j
ivi
ivi + jv j
ivi + j
X
ivi
i=
/j
(i ji)vi 2 Vect(Lnv j )
(iii) ) (i) Supposons un indice 1 6 j 6 p tel que Vect(L) = Vect(Lnv j ) et 0 =
/ x 2 V . On
a donc des combis linéaires non-triviales
x =
x =
p
X
i=1
X
ivi
ivi
i=
/j
Du coup on a la combi linéaire non-triviale
0 = x¡x
p
X
X
=
ivi ¡
ivi
i=1
/j
X i=
= jv j +
(i ¡
i=
/j
i)vi
Famille genératrice
Dénition 4. Une famille (vi)16i6 p d'éléments de V est génératrice si
V = Vect(v1; ; v p)
Remarque 5. La famille (vi) est genératrice lorsque tout élément x 2 V est une combinaison
linéaire de (vi), ceci de manière non-nécéssairement unique (autrement dit on peut avoir
plusieurs combinaisons linéaires diérentes donnant le même élément).
Exemple. La famille
1
0
;
0
1
;
1
1
genère R2. Quiz: est-ce une famille libre?
Remarque 6. Soit (vi)16i6p une famille génératrice dans V .
1. Soit une permutation de l'ensemble des indices f1; ; pg. Il est immédiat que la famille
(v(i))16i6p est génératrice.
2. Soit (vi)16i6r une famille obtenue à partir de de (vi)16i6 p en collapsant les répétitions.
On a
Vect(v1; ; v p) = Vect(v1; ; vr)
car si on a des répetitions, mettons vi = v = v j , alors ivi + jv j = (i + j )v .
Bases
Base
Dénition 5. Une famille B d'éléments de V est une base si elle est libre et genératrice.
Remarque 7. Soit (vi)16i6p une base de V et une permutation de l'ensemble des indices
f1; ; pg. Il est immédiat que la famille (v(i))16i6p est une base.
Unicité des combinaisons linéaires
Proposition 3. Soit B = (vi)16i6p une base de V . Il existe pour tout x 2 V une unique
Pp
combi linéaire de B telle que x = i=1 ivi.
Démonstration. Soit B = (vi)16i6p une base deP
V . Puisque B est génératrice, il P
existe pour
p
p
tout x 2 V une combi linéaire de B telle que x = i=1 ivi. Supposons que x = i=1 ivi.
on a alors
0 = x¡x
p
p
X
X
ivi ¡
ivi
i=1
=
p
X
i=1
i=1
(i ¡ i)vi
Mais B est libre, donc i ¡ i = 0 pour tout 1 6 i 6 p.
Unicité des tailles
Théorème 1. Soit V un espace vectoriel, G := (gi)16i6r une famille generatrice de V et
F := (f j )16j 6n une famille libre dans V . Alors
jF j 6 jG j
Démonstration. On construit une série de familles génértatrices de taille constante jG j
à partir de G, en insérant à chaque itération un élément de F et en eaçant un élement
approprié.
¡ G0 := G. C'est une famille génératrice par construction;
¡ Puisque G0 est génératrice, (f1; g1; ; gr) l'est à fortiori. Comme
/ 0.
PrF est libre on a f1 =
Mais comme G0 est génératrice, on a une combi linéaire f1 = i=1 i gi. Il existe donc
un indice 1 6 t 6 r tel que t =
/ 0 , du coup
X i
gt = ¡f1 +
gi
t
i=
/t
donc G1 := (f1; g1; ; gt¡1; gt ; ; gr) est génératrice;
¡ Supposons que Gs := (f1; ; fs ; gm1; ; gmk(s)) est génératrice. Dans ce cas
(f1; ; fs ; fs+1; gm1; ; gmk(s))
l'est à fortiori. Comme F est libre on a fs+1 =
/ 0. Comme Gs est génératrice par
hypothèse, on a une combi linéaire
fs+1 =
s
X
i fi +
i=1
k(s)
X
j gm j
j =1
Mais comme F est libre, les j ne peuvent pas tous être nuls. Il existe donc un indice
1 6 l 6 k(s) tel que l =
/ 0, du coup
gml = ¡fs+1 +
s
X
i
i=1
l
fi +
X
j=
/l
j
l
gm j
donc Gs+1 := (f1; ; fs ; fs+1; gm1; ; gml¡1; gml+1; ; gmk(s)) est génératrice;
¡ Après n itérations on obtient une famille génératrice Gn = (f1; ; fn ; gm1; ; gmk(n)) de
taille jG j telle que F Gn, donc en particulier jF j 6 jG j.
Corollaire 1. En particulier si B1 et B2 sont des bases de V , on a jB1j = jB2j.
Bases (cont.)
Le théorème de la base incomplète Lemme 1. Soit V un espace vectoriel, une famille G génératrice de V et F une famille libre
dans V telle que F G. Il existe dans V une famille libre X de taille maximale telle que
F X G.
def:
Démonstration. Soit F = fF X G jX libreg. On a
i. F =
/ ? car F 2 F;
ii. jFj < 1 car G est nie;
iii. (X ) < 1 pour tout X 2 F car X G par construction et (G) < 1 par hypothèse. Théorème 2. Soit V un espace vectoriel, G une famille génératrice de V et L une famille
libre dans V telle que L G. Il existe une base B de V telle que L B G.
Démonstration. En vertu de Lemme 1 il existe dans V une famille libre B := (bi)16i6r de
taille maximale telle que L B G . Soit w 2 G nB. La famille
(b1; ; br ; w)
est liée par maximalité de B. Il existe donc une combinaison linéaire non-triviale telle que
1b1 + + pbp + w =
/ 0. Il est en particulier nécéssaire que =
/ 0 car B est libre par
hypothèse, donc
w =
¡
1
b1 + + ¡ p bp
Comme on a pas fait d'hypothèse sur w, tout élément de G est combinaison linéaire d'éléments de B , donc B est génératrice puisque G l'est. En particulier B est une base.
Toute famille genératrice contient une base
Si V = f0g est l'espace vectoriel trivial, on a rien à montrer. Autrement supposons que
G = (vi)16i6p genère V et posons w := vi pour un indice 1 6 i 6 p. On a bien sûr (w) G .
Mais toute famille à 1 élément est trivialement libre, donc G contient une base en vertu de
Théorème 2.
Dimension
Dénition 6. On dit que V est de dimension nie s'il admet une famille génératrice, dans
quel cas sa dimension dim(V ) est la taille de ses bases. Autrement on dit que V est de
dimension innie.