jLj = def: card( I) si I est un ensemble ni 1 sinon

Familles
•Famille
La notion de « famille » est techniquement identique à celle de « fonction » oiu « applica-
tion », mais c'est un point de vue est différent.
Définition 1. Soit Vun espace vectoriel et Iun ensemble. On appelle famille d'éléments de
Vindexée par Iune fonction ι:I!V. On appelle Iensemble d'indices. On parle de famille
finie si jIj<1(c'est à dire si Ia un nombre fini d'éléments).
Notation. Soit a:I!Vune famille d'éléments de Vindexée par I. On pose ai:= a(i)et
on écrit (ai)i2Ipour dire a. On écrit (ai)16i6npour le cas où I=f1;···; ng, où carrément
(ai)si l'ensemble d'indices est entendu.
Remarque 1. Un famille finie est plus prosaiquement une liste d'éléments de V. On peut
en particulier avoir des répétions, par exemple (1;1;1) est une famille légit d'éléments de N.
Définition 2. Soit Vun espace vectoriel et L= (ai)i2Iune famille indexée dans V. La taille
jLj de Lest donnée par
jLj =
def:card(I)si Iest un ensemble fini
1sinon
•Combinaison linéaire

Soit Vun espace vectoriel et K= (vi)16i6pune famille finie d'éléments de V. Une combi-
naison linéaire de Kest une somme
X
i=1
p
λivi2V
où λi2Kpour tout 16i6p.
Notation. On écrit Vect(K)pour l'ensemble fPi=1
pλivij16i6p; λi2Kgde toutes les
combis linéaires de K.
Proposition 1. Vect(K)< V.
•Famille libre, famille liée
Définition 3. Une famille (vi)16i6pd'éléments de Vest
i. libre si Pi=1
pλivi=0implique λi= 0 pour tout 16i6p;
ii. liée si elle n'est pas libre.
Exemple.
1. La famille 2
4
1
0
0
3
5;2 4
0
0
1
3
5!dans R3est libre car une combi linéaire
λ
2
4
1
0
0
3
5+µ2 4
0
0
1
3
5=0

nous renseigne que λ; µ = 0 en lisant coordonnée par coordonnée.
2. La famille 2
4
1
0
0
3
5;2 4
0
0
1
3
5;2 4
1
0
1
3
5!dans R3est liée car
2
4
1
0
0
3
5+2 4
0
0
1
3
5¡2 4
1
0
1
3
5=0
Observons que 2
4
1
0
0
3
5+2 4
0
0
1
3
5=2 4
1
0
1
3
5.
Remarque 2. Soit (vi)16i6pune famille libre dans V. On a nécéssairement vi=/ vjpour tout
i=/ j(pas de répétitions, ce qui revient à dire que la fonction v:f1;···; pg ! Vest injective).
On peut voir ça par contraposition. Supposons qu'il existe des indices i; j 2 f1;···; pgtels
que vi=vj. À ce moment-là on peut construire une combinaison linéaire λ1v1+··· +λpvp
non triviale avec
λk:= 8
<
:
1k=i
¡1k=j
0sinon
Cette combinaison linéaire est bien sûr nulle, donc (vi)n'est pas libre.

Remarque 3. Soit (vi)16i6pune famille libre dans Vet πune permutation de l'ensemble
des indices f1;···; pg. Il est immédiat que la famille (vπ(i))16i6pest libre.
Remarque 4. Soit (vi)16i6pune famille libre dans V. On a vi=/ 0pour tout 16i6p, ce
qui se voit par contraposition. Supposons que vi=0pour un indice 16i6p. À ce moment-
là on trouve une combi linéaire nulle mais non-triviale:
0v1+··· + 0vi¡1+λvi+ 0vi+1 +··· + 0vp=λ0=0
Proposition 2. Soit L= (vi)16i6pune famille dans V. Les assertions suivantes sont
équivalentes
i. Lest liée;
ii. il existe un indice 16j6ptel que vj2Vect(Lnvj);
iii. il existe un indice 16j6ptel que Vect(L) = Vect(Lnvj).
Démonstration. (i))(ii)Supposons une combi linéaire non-triviale de Ltele que
X
i=1
p
λivi=0

Il existe à ce moment-là indice 16j6ptel que λj=/ 0, du coup
vj=X
i=/ j
p¡λi
λjvi2Vect(Lnvj)
(ii))(iii)Supposons un indice 16j6ptel que vj2Vect(Lnvj). Il est immédiat que
Vect(Lnvj)⊂Vect(L). Pour montrer l'inclusion inverse, supposons 0=/ x2Vect(L). On
a donc des combis linéaires non-triviales
x=X
i=1
p
θivi
vj=X
i=/ j
µivi
du coup
x=X
i=1
p
θivi
=X
i=/ j
θivi+θjvj
=X
i=/ j
θivi+θjX
i=/ j
µivi
=X
i=/ j
(θiθjµi)vi2Vect(Lnvj)