corrigé

EXAMEN ANNEE 2012-2013
Licence Economie 2eannée
1re SESSION 3eSEMESTRE
Matière : Mathématiques Appliquées : Éléments de correction Durée : 2H
Exercice I (25 min, 4 points)
On considère la série de fonctions suivante :
S.x/ D
C1
X
nD1
enx
n38x>0
1) Pour tout x2RC, on a
nx 60H) 06enx 61H) 06enx
n361 n3
Comme la série P1
n3converge (série de Riemann avec ˛D3>1), on en déduit que la série S.x/ converge
normalement.
2) Pour tout n > 0, la fonction enx
n3est continue sur RC(et même R). Comme la série converge normale-
ment sur RC, on en déduit que sa somme S.x/ est continue sur RC.
3) Pour tout n>0, la fonction enx
n3est dérivable sur RC(et même R). De plus, on a
enx
n30
D  enx
n2et ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
enx
n2ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
61
n28x>0
Comme la série P1
n2converge (toujours Riemann), la série des dérivées converge normalement sur RC. On
en déduit que S.x/ est dérivable et que sa dérivée est
S0.x/ D 
C1
X
nD1
enx
n2
4) On ne peut plus utiliser l’argument précédent pour la dérivée seconde, car
enx
n300
Denx
net enx n261 n8x>0
Or la série P1
nne converge pas. Pour pouvoir conclure, il faudrait étudier la convergence (normale) sur un
intervalle Œa; C1avec a > 0. (Cf exemple vu en cours.)
Exercice II (25 min, 4 points)
On considère la série entière suivante :
S.x/ D
C1
X
nD0
2nxn

1) Il s’agit d’une série entière de coecient anD2n. On a
lim
n
anC1
an
Dlim
n
2.nC1/
2nD1 2H) RD2
2) La série converge donc (au moins) sur l’intervalle ouvert 2; C2Œ.
3) En xD2, on a
C1
X
nD0
2n2nD
C1
X
nD0
1diverge (car 1¹0)
En xD 2, on a
C1
X
nD0
2n.2/nD
C1
X
nD0
.1/ndiverge (car .1/n¹0)
4) On sait que
1
1CxD
C1
X
nD0
.1/nxn
5) On en déduit que
1
1xD
C1
X
nD0
xnet que 1
1x=2 D
C1
X
nD0
.x=2/nD
C1
X
nD0
2nxnDS.x/
Exercice III (25 min, 4 points)
Soit .un/nla suite définie par
u0D1 unC1D2un
3Cun
8n2N
1) On a
u1D21
3C1D1 2u2D21=2 3C1=2 D2 7
2) On sait que u0D1>0. Supposons un> 0. On a alors
2un> 0 et 3Cun> 0 H) unC1D2un
3Cun
> 0
Donc la suite est bien à termes positifs.
3) Montrons que la suite est décroissante :
unC1
un
D2
3Cun
62
361car un> 0
4) La suite est décroissante et minorée (par 0) donc convergente.
5) On a unC1Df .un/avec f .x/ D2x=.3 Cx/ continue. La limite `de la suite vérifie donc `Df .`/.
D’où `D0ou `D 1. Comme la suite est positive, `D0.
6) Si u0D 1, alors u1D 1. La suite est donc stationnaire (et donc convergente).
2

Exercice IV (25 min, 4 points)
On considère la série .†un/de terme général
unDZnC1
n
et
tdt8n2N
1) Pour n2N, on a
8t2Œn; n C1; 0 6et
t6en nH) 06unDZnC1
n
et
tdt6ZnC1
n
en
ndtDen n
2) On a 06un6en
n. D’après le critère de D’Alembert, la série Pen nest convergente :
e.nC1/
nC1
en
n
Dn
nC1e1! 1 e< 1
3) On calcule la somme partielle à l’aide la formule de Chasles :
SnDu1Cu2C    C unDZ2
1
et
tdtCZ3
2
et
tdtC    C ZnC1
n
et
tdtDZnC1
1
et
tdt
D’où
SD
C1
X
nD1
unDlim
n!1 SnDlim n!1 ZnC1
1
et
tdtDZC1
1
et
tdt
Exercice V (20 min, 4 points)
L’intégrale Iest généralisée (a priori) en 0et en C1. On la décompose donc en deux intégrales :
IDZC1
0
dx
x˛.1 Cx/˛DZ1
0
dx
x˛.1 Cx/˛CZC1
1
dx
x˛.1 Cx/˛DI1CI2
Convergence de I1:
061
x˛.1 Cx/˛
0
1
x˛H) I1converge ”˛ < 1
Convergence de I2:
061
x˛.1 Cx/˛
C1
1
x2˛ H) I2converge ”2˛ > 1
Donc Iconverge si et seulement si 1=2 < ˛ < 1.
L’intégrale Jest généralisée uniquement en C1 :
JDZC1
0
e˛x dxDlim
x!1 ZC1
0
e˛t dtDlim
x!1 e˛t
˛x
0
Dlim
x!1
e˛x
˛1 ˛
Pour que la limite existe il faut donc ˛ < 0.
3