corrigé

EXAMEN ANNEE 2012-2013
Licence Economie 2e année
1re SESSION
3e SEMESTRE
Matière : Mathématiques Appliquées : Éléments de correction
Durée : 2H
Exercice I (25 min, 4 points)
On considère la série de fonctions suivante :
S.x/ D
C1
X
e
nx
8x > 0
n3
nD1
1) Pour tout x 2 RC , on a
nx 6 0 H) 0 6 e
nx
6 1 H) 0 6
e
nx
n3
6
1
n3
P 1
Comme la série
converge (série de Riemann avec ˛ D 3 > 1), on en déduit que la série S.x/ converge
n3
normalement.
nx
2) Pour tout n > 0, la fonction e n3 est continue sur RC (et même R). Comme la série converge normalement sur RC , on en déduit que sa somme S.x/ est continue sur RC .
nx
3) Pour tout n > 0, la fonction e n3 est dérivable sur RC (et même R). De plus, on a
e
nx
0
D
n3
e
nx
ˇ
ˇ
ˇ e nx ˇ
1
ˇ
ˇ
ˇ n2 ˇ 6 n2
et
n2
8x > 0
P 1
Comme la série
converge (toujours Riemann), la série des dérivées converge normalement sur RC . On
n2
en déduit que S.x/ est dérivable et que sa dérivée est
C1
X
e
0
S .x/ D
nD1
nx
n2
4) On ne peut plus utiliser l’argument précédent pour la dérivée seconde, car
e
nx
00
n3
D
e
nx
n
et
e
nx
n2
6
1
n
8x > 0
P1
Or la série
ne converge pas. Pour pouvoir conclure, il faudrait étudier la convergence (normale) sur un
n
intervalle Œa; C1 avec a > 0. (Cf exemple vu en cours.)
Exercice II (25 min, 4 points)
On considère la série entière suivante :
S.x/ D
C1
X
nD0
2 nxn
1) Il s’agit d’une série entière de coefficient an D 2
n
. On a
2 .nC1/
1
anC1
D lim
D
H) R D 2
lim
n
n
n
an
2
2
2) La série converge donc (au moins) sur l’intervalle ouvert  2; C2Œ.
3) En x D 2, on a
C1
X
n n
2 2 D
nD0
En x D
C1
X
1
diverge (car 1 ¹ 0)
nD0
2, on a
C1
X
n
n
2 . 2/ D
nD0
C1
X
. 1/n
diverge (car . 1/n ¹ 0)
nD0
4) On sait que
C1
X
1
D
. 1/n x n
1Cx
nD0
5) On en déduit que
1
1
x
D
C1
X
C1
xn
et que
nD0
C1
X
X
1
D
.x=2/n D
2 n x n D S.x/
1 x=2 nD0
nD0
Exercice III (25 min, 4 points)
Soit .un /n la suite définie par
u0 D 1
1) On a
u1 D
unC1 D
21
1
D
3C1
2
2un
3 C un
u2 D
8n 2 N
2 1=2
2
D
3 C 1=2
7
2) On sait que u0 D 1 > 0. Supposons un > 0. On a alors
2un > 0 et 3 C un > 0 H) unC1 D
2un
>0
3 C un
Donc la suite est bien à termes positifs.
3) Montrons que la suite est décroissante :
unC1
2
2
D
6 61
un
3 C un
3
car un > 0
4) La suite est décroissante et minorée (par 0) donc convergente.
5) On a unC1 D f .un / avec f .x/ D 2x=.3 C x/ continue. La limite ` de la suite vérifie donc ` D f .`/.
D’où ` D 0 ou ` D 1. Comme la suite est positive, ` D 0.
6) Si u0 D 1, alors u1 D 1. La suite est donc stationnaire (et donc convergente).
2
Exercice IV (25 min, 4 points)
On considère la série .†un / de terme général
nC1
Z
un D
t
e
n
8n 2 N dt
t
1) Pour n 2 N , on a
8t 2 Œn; n C 1;
2) On a 0 6 un 6
e
n
n
06
t
e
6
t
n
e
nC1
Z
H) 0 6 un D
n
t
e
dt 6
t
n
Pe
. D’après le critère de D’Alembert, la série
nC1
Z
dt D
n
n
n
n
e
n
e
n
est convergente :
n
.nC1/
e
nC1 D n e
e n
nC1
n
1
1
<1
e
!
3) On calcule la somme partielle à l’aide la formule de Chasles :
2
Z
Sn D u1 C u2 C C un D
1
D’où
C1
X
SD
t
e
3
Z
dt C
t
2
t
e
t
Z
Z
dt C C
nC1
n!1
n!1
t
e
t
1
t
e
C1
Z
dt D
1
nC1
Z
dt D
t
n
un D lim Sn D lim
nD1
nC1
1
t
e
t
dt
t
e
t
dt
Exercice V (20 min, 4 points)
L’intégrale I est généralisée (a priori) en 0 et en C1. On la décompose donc en deux intégrales :
C1
Z
I D
0
dx
D
x ˛ .1 C x/˛
1
Z
0
dx
C
x ˛ .1 C x/˛
Z
C1
1
dx
D I1 C I2
x ˛ .1 C x/˛
Convergence de I1 :
06
x ˛ .1
1
1
˛ H) I1 converge ” ˛ < 1
˛
C x/ 0 x
Convergence de I2 :
06
1
1
H) I2 converge ” 2˛ > 1
x ˛ .1 C x/˛ C1 x 2˛
Donc I converge si et seulement si 1=2 < ˛ < 1.
L’intégrale J est généralisée uniquement en C1 :
Z
J D
C1
e
0
˛x
Z
dx D lim
x!1
C1
˛t
e dt D lim
x!1
0
Pour que la limite existe il faut donc ˛ < 0.
3
e˛t
˛
x
e˛x
x!1 ˛
D lim
0
1
˛