DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

CHAPITRE II
DÉRIVATION ET CONTINUITÉ
1 Dérivation
1.1 Nombre dérivé, tangente à une courbe
1
2
3
4
5
6
−1
12345678910−1
×A
×M1
×M2
a
f(a)
(T)
Sur le graphique ci-dessus, Cfest la courbe d’une fonction fet passe par le point A(a;f(a)).
Le point M1est aussi sur Cf. On dit que la droite (AM1)est une sécante à Cf. Lorsque le
point M1"se rapproche de A" en parcourant Cf, on obtient d’autres sécantes (Par exemple
(AM2)sur le dessin). Il existe une position limite des sécantes correspondant à la droite (T)
sur le dessin. On dit que (T)est tangente à Cfen A. Par définition, le coefficient directeur de
cette tangente est le nombre dérivé de fen a. On le note f′(a). Au voisinage de A(imaginer
un zoom autour de A), Cfse comporte comme la droite (T). Une droite étant associée à une
fonction affine (simple à étudier), on peut ainsi obtenir des informations sur la fonction f
notamment sur son sens de variation. C’est l’objet de la dérivation.
Définition 1 Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert Iet a∈Iun réel. On ap-
pelle nombre dérivé de fen ale coefficient directeur de la tangente à Cfau point de coordonnées
(a;f(a)).
Remarque 1 On peut donc lire un nombre dérivé sur un graphique à condition que la
tangente soit tracée.
Propriété 1 Equation de la tangente
Si fest dérivable en a, alors une équation de la tangente en A(a, f(a)) à la courbe représentative
de fest :
y=f′(a)(x−a) + f(a)
1

1.2 Fonction dérivée
Définition 2 Si une fonction fdéfinie sur un intervalle Iest dérivable en tout point de Ion dit
que la fonction est dérivable sur I.
Dans ce cas, on définit la fonction dérivée de fnotée f′f′:I→R
x7→f′(x)
1.3 Dérivées des fonctions usuelles
fdéfinie sur . . . f(x)f′(x)fdérivable sur . . .
Rk
Rax +b
Rxn
R∗1
x
R∗1
xn
[0; +∞[√x
1.4 Dérivées et opérations
uet vsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I:
•(u+v)′=•(ku)′=•(uv)′=
•u2′=•Si nest un entier non nul, (un)′=
Si la fonction vne s’annule pas sur l’intervalle I(si v(x)6=0sur I)
•1
v′
=•u
v′
=
1.5 Dérivée et sens de variation
Théorème 1 Soit fune fonction définie et dérivable sur un intervalle Iet f′sa fonction dérivée.
Alors :
Si f′(x)≥0pour tout x∈Ialors fest croissante sur I
Si f′(x)≤0pour tout x∈Ialors fest décroissante sur I
Si f′(x) = 0pour tout x∈Ialors fest constante sur I
Propriété 2
Soit fune fonction définie et dérivable sur un intervalle Iet f′sa fonction dérivée.
Si f′(x)> 0 pour tout x∈I(respectivement f′(x)< 0), fest strictement croissante sur I(resp.
strictement décroissante)
2

2 Continuité
2.1 Approche graphique
Définition 3 Une fonction fdéfinie sur un intervalle Iest continue en a∈Isi lorsque xs’ap-
proche de a, les valeurs prises par f(x)s’approchent de f(a). On dit qu’une fonction est continue
sur un intervalle Isi elle est continue en tout point de I.
Intuitivement, cela signifie que la courbe représentative de fne présente pas de « saut », ou encore
qu’on peut la tracer sans lever le crayon.
Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet aun réel de I.
On note Cfla courbe représentative de la fonction fet Ale point de Cfd’abscisse a.
Pour tout réel xde l’intervalle I, on considère le point Mde la courbe Cfd’abscisse x
Ox
y
Cf
a
A
f(a)
x
M
f(x)
Ox
y
Cf
a
A
f(a)
x
M
f(x)
La fonction fest continue.
Pour tout réel ade I, on peut rendre f(x)aussi
proche que l’on veut de f(a)pourvu que xsoit
suffisamment proche de a.
La fonction fn’est pas continue en a.
La courbe Cfprésente un saut au point d’abscisse
a.
Le point Mn’est pas proche du point Aquand x
est proche de a.
Exercice 1 Représenter graphiquement la fonction partie entière sur R+. Cette fonction
est-elle continue ?
2.2 Propriétés
Propriété 3 :
•Les fonctions usuelles étudiées depuis la seconde sont continues sur leur ensemble de définition :
– Les fonctions polynômes (du type f(x) = anxn+···+a2x2+a1x+a0) sont continues sur
R.
– Les fonctions rationnelles (quotient de deux fonctions polynômes) sont continues sur leur
ensemble de définition.
– La fonction racine carrée est continue sur R+
•Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir
de fonctions de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie.
3

Propriété 4 Si une fonction est dérivable sur un intervalle Ialors elle est continue sur I.
2.3 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 2 Si fest une fonction continue sur un intervalle [a, b]alors fprend toutes les va-
leurs entre f(a)et f(b). Autrement dit, pour tout réel kcompris entre f(a)et f(b), l’équation
f(x) = kadmet une solution.
fest continue sur I f n’est pas continue sur I
0x
y
k
a
f(a)
b
f(b)
0x
y
k
a
f(a)
m′
f(b)
m
b
Tout réel kcompris entre f(a)et f(b)est
l’image d’au moins un élément de [a;b].
Il existe des réels kcompris entre f(a)et
f(b)pour lesquels l’équation f(x) = kn’a
pas de solution.
Corollaire 1 Si fest continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout réel kcom-
pris entre f(a)et f(b), l’équation f(x) = kadmet une solution unique cappartenant à [a;b].
O
x
y
a
f(a)
c
k
b
f(b)
O
x
y
a
f(a)
c
k
b
f(b)
fest continue et strictement croissante sur
l’intervalle [a;b]. L’équation f(x) = kadmet
une unique solution.
fest continue et strictement décroissante sur
l’intervalle [a;b]. L’équation f(x) = kadmet
une unique solution.
Remarque 2 :Tableau de variation
Par convention, les flèches obliques d’un tableau de variation signifient que sur l’inter-
valle considéré la fonction est soit continue et strictement croissante, soit continue et stricte-
ment décroissante. On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur cet
intervalle.
4

Exemple 1 : On donne le tableau de variations suivant pour une fonction fdéfinie sur
[−5, 7]. Existe-t-il des réels xtels que : f(x) = 0?, f(x) = 3, 5 ?, f(x) = −3?
x−53 7
f(x)
4
−2
3
Sur l’intervalle [−5, 3],fest continue et strictement décroissante. De plus, f(−5) = 4et
f(3) = −2. Or −2 < 0 < 4 donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
f(x) = 0admet une solution unique sur [−5, 3]. Pour les mêmes raisons, cette équation
admet une solution unique sur [3, 7]. Finalement , l’équation f(x) = 0admet deux solutions
sur [−5, 7].
On montre de même que l’équation f(x) = 3, 5 admet une solution unique sur [−5, 7](elle
est dans [−5, 3]).
L’équation f(x) = −3n’admet quant à elle pas de solution sur [−5, 7]. En effet, −2≤f(x)≤
4pour tout x∈[−5, 7].
5