DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

C HAPITRE II
D ÉRIVATION
ET CONTINUITÉ
1 Dérivation
1.1 Nombre dérivé, tangente à une courbe
6
5
f(a)
×
b
4
A
3
×
2
M2
(T )
1
×
M1
b
−1
1
2
3
5a
4
6
7
8
9
10
−1
Sur le graphique ci-dessus, Cf est la courbe d’une fonction f et passe par le point A(a; f(a)).
Le point M1 est aussi sur Cf . On dit que la droite (AM1 ) est une sécante à Cf . Lorsque le
point M1 "se rapproche de A" en parcourant Cf , on obtient d’autres sécantes (Par exemple
(AM2 ) sur le dessin). Il existe une position limite des sécantes correspondant à la droite (T )
sur le dessin. On dit que (T ) est tangente à Cf en A. Par définition, le coefficient directeur de
cette tangente est le nombre dérivé de f en a. On le note f ′ (a). Au voisinage de A (imaginer
un zoom autour de A), Cf se comporte comme la droite (T ). Une droite étant associée à une
fonction affine (simple à étudier), on peut ainsi obtenir des informations sur la fonction f
notamment sur son sens de variation. C’est l’objet de la dérivation.
Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I un réel. On appelle nombre dérivé de f en a le coefficient directeur de la tangente à Cf au point de coordonnées
(a; f(a)).
Remarque 1 On peut donc lire un nombre dérivé sur un graphique à condition que la
tangente soit tracée.
Propriété 1 Equation de la tangente
Si f est dérivable en a, alors une équation de la tangente en A(a, f(a)) à la courbe représentative
de f est :
y = f ′ (a)(x − a) + f(a)
1
1.2 Fonction dérivée
Définition 2 Si une fonction f définie sur un intervalle I est dérivable en tout point de I on dit
que la fonction est dérivable sur I.
f′ : I → R
Dans ce cas, on définit la fonction dérivée de f notée f ′
x 7→ f ′ (x)
1.3 Dérivées des fonctions usuelles
f définie sur . . .
f(x)
R
k
R
ax + b
R
xn
1
x
1
xn
√
x
R∗
R∗
[0; +∞[
f ′ (x)
f dérivable sur . . .
1.4 Dérivées et opérations
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I :
•
•
(u + v) ′ =
u2
′
• (ku)
′
=
• (uv)
=
• Si
′
=
n est un entier non nul, (un ) ′ =
Si la fonction v ne s’annule pas sur l’intervalle I (si v(x) 6= 0 sur I)
′
u′
1
=
•
=
•
v
v
1.5 Dérivée et sens de variation
Théorème 1 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ′ sa fonction dérivée.
Alors :
Si f ′ (x) ≥ 0 pour tout x ∈ I alors f est croissante sur I
Si f ′ (x) ≤ 0 pour tout x ∈ I alors f est décroissante sur I
Si f ′ (x) = 0 pour tout x ∈ I alors f est constante sur I
Propriété 2
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ′ sa fonction dérivée.
Si f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ I (respectivement f ′ (x) < 0), f est strictement croissante sur I (resp.
strictement décroissante)
2
2 Continuité
2.1 Approche graphique
Définition 3 Une fonction f définie sur un intervalle I est continue en a ∈ I si lorsque x s’approche de a, les valeurs prises par f(x) s’approchent de f(a). On dit qu’une fonction est continue
sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Intuitivement, cela signifie que la courbe représentative de f ne présente pas de « saut », ou encore
qu’on peut la tracer sans lever le crayon.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
On note Cf la courbe représentative de la fonction f et A le point de Cf d’abscisse a.
Pour tout réel x de l’intervalle I, on considère le point M de la courbe Cf d’abscisse x
y
y
f(x)
M
f(x)
A
f(a)
f(a)
O
M
xa
x
Cf
O
b
xa
A
x
Cf
La fonction f est continue.
La fonction f n’est pas continue en a.
Pour tout réel a de I, on peut rendre f(x) aussi
proche que l’on veut de f(a) pourvu que x soit
suffisamment proche de a.
La courbe Cf présente un saut au point d’abscisse
a.
Le point M n’est pas proche du point A quand x
est proche de a.
Exercice 1 Représenter graphiquement la fonction partie entière sur R+ . Cette fonction
est-elle continue ?
2.2 Propriétés
Propriété 3 :
• Les fonctions usuelles étudiées depuis la seconde sont continues sur leur ensemble de définition :
– Les fonctions polynômes (du type f(x) = anxn + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 ) sont continues sur
R.
– Les fonctions rationnelles (quotient de deux fonctions polynômes) sont continues sur leur
ensemble de définition.
– La fonction racine carrée est continue sur R+
• Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir
de fonctions de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie.
3
Propriété 4 Si une fonction est dérivable sur un intervalle I alors elle est continue sur I.
2.3 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 2 Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b] alors f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). Autrement dit, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation
f(x) = k admet une solution.
f est continue sur I
f n’est pas continue sur I
y
y
f(a)
f(b)
k
m′
k
m
a
a
b x
0
f(a)
b
b
x
0
f(b)
Tout réel k compris entre f(a) et f(b) est
l’image d’au moins un élément de [a; b].
Il existe des réels k compris entre f(a) et
f(b) pour lesquels l’équation f(x) = k n’a
pas de solution.
Corollaire 1 Si f est continue et strictement monotone sur [a; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet une solution unique c appartenant à [a; b].
f(b) y
k
f(a)
f(a) y
k
f(b)
x
O
a
x
c b
O
f est continue et strictement croissante sur
l’intervalle [a ; b]. L’équation f(x) = k admet
une unique solution.
a c
b
f est continue et strictement décroissante sur
l’intervalle [a ; b]. L’équation f(x) = k admet
une unique solution.
Remarque 2 : Tableau de variation
Par convention, les flèches obliques d’un tableau de variation signifient que sur l’intervalle considéré la fonction est soit continue et strictement croissante, soit continue et strictement décroissante. On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur cet
intervalle.
4
Exemple 1 : On donne le tableau de variations suivant pour une fonction f définie sur
[−5, 7]. Existe-t-il des réels x tels que : f(x) = 0 ?, f(x) = 3, 5 ?, f(x) = −3 ?
x
−5
3
4
7
3
f(x)
−2
Sur l’intervalle [−5, 3], f est continue et strictement décroissante. De plus, f(−5) = 4 et
f(3) = −2. Or −2 < 0 < 4 donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
f(x) = 0 admet une solution unique sur [−5, 3]. Pour les mêmes raisons, cette équation
admet une solution unique sur [3, 7]. Finalement , l’équation f(x) = 0 admet deux solutions
sur [−5, 7].
On montre de même que l’équation f(x) = 3, 5 admet une solution unique sur [−5, 7] (elle
est dans [−5, 3]).
L’équation f(x) = −3 n’admet quant à elle pas de solution sur [−5, 7]. En effet, −2 ≤ f(x) ≤
4 pour tout x ∈ [−5, 7].
5