MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 2.

MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 2.
Ex.1 Laurent a étudié, pour l’examen oral, les trois premiers chapitres de son cours de
probabilité qui en compte 6. Le professeur prépare une question par chapitre et imprime
un énoncé par feuille. Il met les feuilles à l’envers et dans le désordre. En tirant donc deux
énoncés au hasard, quelle est la probabilité que Laurent ait deux questions parmi les 3
premiers chapitres. Quelle est la probabilité qu’il ait la moitié des points s’il est certain de
répondre parfaitement aux chapitres étudiés ? Et la probabilité qu’il rate ?
Ex.2 On tire trois nombres au hasard dans l’ensemble {1,2, . . . ,10} et on veut calculer
(i) la probabilité que “1” fait partie de la sélection ;
(ii) la probabilité que “1” fait partie au moins une fois de la sélection si on effectue trois
fois l’expérience ?
Ex.3 On veut placer 5 boules rouges, 5 boules bleues et 10 boules vertes dans 20 urnes
numérotées de 1 à 20 (1 boule par urne).
(i) Combien y a-t-il de manières de disposer ces boules ?
(ii) Quel est ce nombre si on veut que les trois premières urnes contiennent des boules de
même couleur ?
Ex.4 Soit Ω = {1,2,3,4,5} munie de la sigma-algèbre P(Ω) de tous les sous-ensembles de
Ω, et de la mesure de probabilité P telle que P ({i}) = 15i . Ensuite on considère la variable
aléatoire X définie par X(i) = i mod 3. On demande de
(i) déterminer l’ensemble des images de X ;
(ii) calculer la probabilité P (X ≤ 1) ;
(iii) calculer P (X = 1) ;
(iv) déterminer la loi de X (la pmf : (pk ,k = 1,2, . . . )) ;
(v) dessiner la fonction de répartition (cdf ) de X.
Ex.5 Soit Y la variable aléatoire qui donne la somme des résultats du lancer de deux dés.
def
Avec B =]2,5[, déterminez l’ensemble des résultats Y −1 (B) = {ω ∈ Ω : Y (ω) ∈ B}. Même
question pour C =] 94 , 52 ].
Ex.6 On joue à la roulette 10 fois et on note X le nombre de fois que le nombre 6 est
apparu. Quelle est l’allure générale de la fonction de répartition de X ?
Ex.7 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez k pour que celles-ci soient des fonctions de densité de probabilité :
i) f (x) = 1[0,1] (x)k(x(1 − x)) ;
ii) g(x) = 1[0,10] (x)kx ;
iii) h(x) = 1R+ (x)kxe−x ;
où, à chaque fois, x ∈ R.
2
Ex.8 Déterminez un k et un l pour que la fonction f (x) = 1[0,2π] k(l + cos(x)) soit une
fonction de densité.
Ex.9 Soit F : R → R la fonction définie par
Z
F (x) =
x
f (t) dt
−∞
où f est une fonction de densité de probabilité (f est Riemann-intégrable,
et f ≥ 0 ). Montrez que F est une fonction de répartition.
1
R +∞
−∞
f (t) dt = 1