Fonctions trigonométriques 1 Définitions 2 Propriétés

Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Fonctions de R dans R
Elément de cours des exercices
Fonctions trigonométriques
1
Définitions
Dans un repère orthonormé O,~i, ~j , on considère le cercle trigonométrique, c’est
à dire le cercle de centre O, origine du repère, et de rayon égal à 1.
Soit M un point du cercle trigonométrique. On note a la mesure en radians de
\
−−→
~
l’angle i, OM , c’est à dire la longueur de l’arc de cercle IM, où I est le point de
coordonnées (0, 1).
On définit alors le cosinus de a, noté cos a, comme étant l’abscisse du point M et
le sinus de a, noté sin a, comme étant l’ordonnée du point M.
La tangente de a est l’ordonnée du point H d’intersection de la droite d’équation
x = 1 et de la droite (O M).
Graphiquement, on a :
2
Propriétés
– Trois formules fondamentales :
sin a
1
et 1 + tan2 a =
.
cos a
cos2 a
– La fonction cos est paire et les fonctions sin et tan sont impaires.
– Les fonctions cos et sin sont 2π−périodiques et la fonction tan est π−périodique.
– Les dérivées se calculent facilement et on a :
cos2 a + sin2 a = 1, tan a =
∀x ∈ R, cos′ (x) = − sin x et sin′ (x) = cos x
nπ
o
1
∀x ∈ R\
+ kπ, k ∈ Z , tan′ (x) = 1 + tan2 x =
2
cos2 x
– Quelques limites importantes :
sin x
cos x − 1
= 1 lim
= 0.
lim
x→0 x
x→0
x
tan x
cos x − 1
1
lim
= 1 lim
=−
2
x→0 x
x→0
x
2
1
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
3
3.1
Fonctions de R dans R
Représentations graphiques
Graphes de sin et cos
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R. Elles sont 2π−périodiques. Il
suffit de les étudier sur l’intervalle [−π, π] (invariance par translation). De plus, cosinus
est paire et sinus impaire, l’étude peut donc être réduite à [0, π] (axe et centre de
symétrie).
– On a cos (π − x) + cos x = 0, d’où la courbe C représentative
de cosinus est
π
symétrique par rapport au point de coordonnées 2 , 0 .
– De même, sin (π − x) = sin x, d’où la courbe S représentative de sinus est
π
symétrique par rapport à la droite d’équation x = .
2
h πi
Finalement, on peut donc réduire l’étude de ces deux fonctions à l’intervalle 0, .
2
La dérivée de sin est positive hsur cet
intervalle
et
celle
de
cos
y
est
négative.
D’où
πi
sin est strictement croissante sur 0, , tandis que cos y est strictement décroissante.
2
Voici les graphes de ces deux fonctions :
3.2
Graphe de tan
i π πh
La fonction tangente est π−périodique. Il suffit donc de l’étudier sur − , .
2 2
D’autre part, elle est impaire (donc sa courbeh représentative
T
est
symétrique
par
πh
rapport à l’origine). On l’étudie finalement sur 0, .
2
La dérivée de la fonction
h π htangente strictemement positive sur cet intervalle et tan
est donc croissante sur 0, .
2
Voici son graphe :
2
Fonctions de R dans R
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
4
Tableau de valeurs
Les valeurs particulières suivantes des fonctions
absolument :
π
π
π
x
0
3
√6 √4
3
2 1
cos x 1
2 √2
2
1
2 √3
sin x 0
2
2
2
√
1
tan x 0 √
1
3
3
3
sin, cos et tan sont à connaitre
π
2
π
0 −1
1
0
k
0