Fonctions trigonométriques 1 Définitions 2 Propriétés

Base raisonn´ee d’exercices de math´ematiques (Braise) Fonctions de R dans R
El´ement de cours des exercices
Fonctions trigonom´etriques
1 D´efinitions
Dans un rep`ere orthonorm´e O,~ i,~ j, on consid`ere le cercle trigonom´etrique, c’est
`a dire le cercle de centre O, origine du rep`ere, et de rayon ´egal `a 1.
Soit Mun point du cercle trigonom´etrique. On note ala mesure en radians de
l’angle \
~
i, −−→ OM, c’est `a dire la longueur de l’arc de cercle IM, o`u Iest le point de
coordonn´ees (0,1).
On d´efinit alors le cosinus de a, not´e cos a, comme ´etant l’abscisse du point Met
le sinus de a, not´e sin a, comme ´etant l’ordonn´ee du point M.
La tangente de aest l’ordonn´ee du point Hd’intersection de la droite d’´equation
x= 1 et de la droite (O M).
Graphiquement, on a :
2 Propri´et´es
– Trois formules fondamentales :
cos2a+ sin2a= 1,tan a=sin a
cos aet 1 + tan2a=1 cos2a.
– La fonction cos est paire et les fonctions sin et tan sont impaires.
– Les fonctions cos et sin sont 2π−p´eriodiques et la fonction tan est π−p´eriodique.
– Les d´eriv´ees se calculent facilement et on a :
∀x∈R,cos′(x) = −sin xet sin′(x) = cos x
∀x∈R\nπ
2+kπ, k ∈Zo,tan′(x) = 1 + tan2x=1 cos2x
– Quelques limites importantes :
lim
x→0
sin x
x= 1 lim
x→0
cos x−1
x= 0.
lim
x→0
tan x
x= 1 lim
x→0
cos x−1
x2=−1 2
1

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3 Repr´esentations graphiques
3.1 Graphes de sin et cos
Les fonctions sinus et cosinus sont d´efinies sur R.Elles sont 2π−p´eriodiques. Il
suffit de les ´etudier sur l’intervalle [−π, π](invariance par translation). De plus, cosinus
est paire et sinus impaire, l’´etude peut donc ˆetre r´eduite `a [0, π](axe et centre de
sym´etrie).
– On a cos (π−x) + cos x= 0, d’o`u la courbe Crepr´esentative de cosinus est
sym´etrique par rapport au point de coordonn´ees π
2,0.
– De mˆeme, sin (π−x) = sin x, d’o`u la courbe Srepr´esentative de sinus est
sym´etrique par rapport `a la droite d’´equation x=π
2.
Finalement, on peut donc r´eduire l’´etude de ces deux fonctions `a l’intervalle h0,π
2i.
La d´eriv´ee de sin est positive sur cet intervalle et celle de cos y est n´egative. D’o`u
sin est strictement croissante sur h0,π
2i, tandis que cos y est strictement d´ecroissante.
Voici les graphes de ces deux fonctions :
3.2 Graphe de tan
La fonction tangente est π−p´eriodique. Il suffit donc de l’´etudier sur i−π
2,π 2h.
D’autre part, elle est impaire (donc sa courbe repr´esentative Test sym´etrique par
rapport `a l’origine). On l’´etudie finalement sur h0,π
2h.
La d´eriv´ee de la fonction tangente strictemement positive sur cet intervalle et tan
est donc croissante sur h0,π
2h.
Voici son graphe :
2

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4 Tableau de valeurs
Les valeurs particuli`eres suivantes des fonctions sin,cos et tan sont `a connaitre
absolument :
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos x1√3
2
√2
2
1
20−1
sin x01
2
√2
2
√3
21 0
tan x01
√31√3k0
3