Feuille d`exercices n˚17 Arithmétique

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Feuille d’exercices n˚17
Arithmétique
Exercice 147 (Divisibilité)
1. Soient a ∈ N≥2 et n ∈ N≥2 . Démontrer que a − 1 divise an − 1.
n
X
2. Soit n ∈ N≥2 . Démontrer que
k divise (n + 1)!.
k=1
Exercice 148 (Puissances d’une matrice d’ordre fini)
1. Soit A ∈ Mn (K) où n ∈ N≥2 et K ∈ {R, C}. On suppose que la matrice A est d’ordre fini, i.e. que
∃ r ∈ N∗
Ar = In .
(a) Justifier que l’ensemble
{ k ∈ N∗ | Ak = In }
admet un plus petit élément. Ce dernier est appelé ordre de A et est noté ord(A).
(b) Soit s ∈ N∗ un multiple de ord(A). Calculer As .
(c) Soit s ∈ N∗ tel que As = In . Démontrer que s est un multiple de ord(A).
(d) Soient s1 et s2 deux entiers naturels non nuls ayant le même reste dans la division euclidienne par
ord(A). Que peut-on dire de As1 et As2 ?
(e) Justifier avec soin que, pour déterminer toutes les puissances de A, il suffit de calculer ord(A) puissances de A. On précisera lesquelles.
√ 1
√1 − 3
∈ M2 (R).
2. Soit la matrice A =
3
1
2
(a) Démontrer que A est d’ordre fini et préciser l’ordre de A.
(b) Expliciter Ak pour tout k ∈ N.
Exercice 149 (Racines entières d’un polynôme à coefficients entiers)
1. Soit P = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a2 X 2 + a1 X + a0 un polynôme à coefficients entiers. Démontrer que
si α est une racine entière de P alors α divise a0 .
2. Le polynôme P = X 4 − 2X + 4X + 6 possède-t-il des racines entières ?
3. Le polynôme P = X 3 − 7X 2 + 3X − 21 possède-t-il des racines entières ?
Exercice 150 (Puissances de nombres premiers entre eux)
Soient a et b des entiers naturels non nuls premiers entre eux.
1. Démontrer que pour tout n ∈ N∗ , les entiers an et bn sont premiers entre eux.
2. Déduire de 1. que pour tout (n, m) ∈ (N∗ )2 les entiers an et bm sont premiers entre eux.
Exercice 151 (Racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers)
1. Démonter que pour tout x ∈ Q>0 , il existe un unique couple (p, q) ∈ (N∗ )2 tel que
x=
p
q
et PGCD(p,q) = 1.
p
est la forme irréductible de x.
q
2. Démontrer que le polynôme P = X 3 − X + 1 n’a pas de racine rationnelle.
On dit que
1
Exercice 152 (PGCD, relation de Bézout, PPCM)
Pour chacun des couples (a, b) suivants calculer PGCD(a,b), donner une relation de Bézout liant a et b et
calculer PPCM(a,b).
(a, b) = (654, 120) ;
(a, b) = (2014, 1995) ;
(a, b) = (1234, 1000).
Exercice 153 (Choix d’un dénominateur commun dans un calcul de somme de rationnels)
On souhaite calculer la somme
51
19
+
2247 1070
sans calculateur ©.
1. Quel choix judicieux de dénominateur commun peut-on proposer ?
2. Calculer le dénominateur commun choisi en 1.
19
51
3. Calculer la somme
+
.
2247 1070
Exercice 154 (Une équation diophantienne)
On considère l’équation
(E) : 154 x + 15 y = 1
d’inconnue (x, y) ∈ Z2 .
1. Calculer le PGCD de 154 et 15 à l’aide de l’algorithme d’Euclide et en déduire une solution (x0 , y0 ) de
l’équation (E).
2. Soit (x, y) une solution de (E). Démontrer qu’il existe k ∈ Z tel que x = x0 + 15k et y = y0 − 154k.
3. Conclure quant à l’ensemble solution de (E).
Exercice 155 (Crible d’Ératosthène)
1. Soit n ∈ N≥2 . Démontrer que n est premier si et seulement si
√
∀ p ∈ P 2 ≤ p ≤ n ⇒ p ∤ n.
2. Démontrer qu’un entier n ∈ J11, 120K est premier si et seulement si il n’est ni multiple de 2, ni multiple
de 3, ni multiple de 5, ni multiple de 7.
3. Déduire de 2. une méthode pour ne laisser visibles que les nombres premiers dans la grille suivante.
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Exercice 156 (Entier dont la racine carrée n’est pas un nombre rationnel)
√
/ Q.
1. Décomposer 132 en produit de facteurs premiers et en déduire que 132 ∈
2. Conjecturer une condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier n ∈ N≥2 ait une racine carrée non
rationnelle. On pourra considérer des valuations p-adiques.
3. Démontrer la conjecture énoncée en 2.
2