Feuille d`exercices n˚17 Arithmétique

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚17
Arithm´etique
Exercice 147 (Divisibilit´e)
1. Soient a∈N≥2et n∈N≥2. D´emontrer que a−1 divise an−1.
2. Soit n∈N≥2. D´emontrer que
n
X
k=1
kdivise (n+ 1)!.
Exercice 148 (Puissances d’une matrice d’ordre fini)
1. Soit A∈ Mn(K) o`u n∈N≥2et K∈ {R,C}. On suppose que la matrice Aest d’ordre fini, i.e. que
∃r∈N∗Ar=In.
(a) Justifier que l’ensemble
{k∈N∗|Ak=In}
admet un plus petit ´el´ement. Ce dernier est appel´e ordre de Aet est not´e ord(A).
(b) Soit s∈N∗un multiple de ord(A). Calculer As.
(c) Soit s∈N∗tel que As=In. D´emontrer que sest un multiple de ord(A).
(d) Soient s1et s2deux entiers naturels non nuls ayant le mˆeme reste dans la division euclidienne par
ord(A). Que peut-on dire de As1et As2?
(e) Justifier avec soin que, pour d´eterminer toutes les puissances de A, il suffit de calculer ord(A) puis-
sances de A. On pr´ecisera lesquelles.
2. Soit la matrice A=1
21−√3
√3 1 ∈ M2(R).
(a) D´emontrer que Aest d’ordre fini et pr´eciser l’ordre de A.
(b) Expliciter Akpour tout k∈N.
Exercice 149 (Racines enti`eres d’un polynˆome `a coefficients entiers)
1. Soit P=anXn+an−1Xn−1+...+a2X2+a1X+a0un polynˆome `a coefficients entiers. D´emontrer que
si αest une racine enti`ere de Palors αdivise a0.
2. Le polynˆome P=X4−2X+ 4X+ 6 poss`ede-t-il des racines enti`eres ?
3. Le polynˆome P=X3−7X2+ 3X−21 poss`ede-t-il des racines enti`eres ?
Exercice 150 (Puissances de nombres premiers entre eux)
Soient aet bdes entiers naturels non nuls premiers entre eux.
1. D´emontrer que pour tout n∈N∗, les entiers anet bnsont premiers entre eux.
2. D´eduire de 1. que pour tout (n, m)∈(N∗)2les entiers anet bmsont premiers entre eux.
Exercice 151 (Racines rationnelles d’un polynˆome `a coefficients entiers)
1. D´emonter que pour tout x∈Q>0, il existe un unique couple (p, q)∈(N∗)2tel que
x=p
qet PGCD(p,q) = 1.
On dit que p
qest la forme irr´eductible de x.
2. D´emontrer que le polynˆome P=X3−X+ 1 n’a pas de racine rationnelle.
1

Exercice 152 (PGCD, relation de B´ezout, PPCM)
Pour chacun des couples (a, b) suivants calculer PGCD(a,b), donner une relation de B´ezout liant aet bet
calculer PPCM(a,b).
(a, b) = (654,120) ; (a, b) = (2014,1995) ; (a, b) = (1234,1000).
Exercice 153 (Choix d’un d´enominateur commun dans un calcul de somme de rationnels)
On souhaite calculer la somme 19
2247 +51 1070
sans calculateur ©.
1. Quel choix judicieux de d´enominateur commun peut-on proposer ?
2. Calculer le d´enominateur commun choisi en 1.
3. Calculer la somme 19
2247 +51 1070.
Exercice 154 (Une ´equation diophantienne)
On consid`ere l’´equation
(E) : 154 x+ 15 y= 1
d’inconnue (x, y)∈Z2.
1. Calculer le PGCD de 154 et 15 `a l’aide de l’algorithme d’Euclide et en d´eduire une solution (x0, y0) de
l’´equation (E).
2. Soit (x, y) une solution de (E). D´emontrer qu’il existe k∈Ztel que x=x0+ 15ket y=y0−154k.
3. Conclure quant `a l’ensemble solution de (E).
Exercice 155 (Crible d’´ Eratosth`ene)
1. Soit n∈N≥2. D´emontrer que nest premier si et seulement si
∀p∈ P 2≤p≤√n⇒p∤n.
2. D´emontrer qu’un entier n∈J11,120Kest premier si et seulement si il n’est ni multiple de 2, ni multiple
de 3, ni multiple de 5, ni multiple de 7.
3. D´eduire de 2. une m´ethode pour ne laisser visibles que les nombres premiers dans la grille suivante.
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Exercice 156 (Entier dont la racine carr´ee n’est pas un nombre rationnel)
1. D´ecomposer 132 en produit de facteurs premiers et en d´eduire que √132 /∈Q.
2. Conjecturer une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un entier n∈N≥2ait une racine carr´ee non
rationnelle. On pourra consid´erer des valuations p-adiques.
3. D´emontrer la conjecture ´enonc´ee en 2.
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