Terminale S spécialité Année scolaire 2014

Terminale S sp´ecialit´e Ann´ee scolaire 2014-2015
Devoir maison num´ero 1
Exercice 1 (et unique)
Pr´eliminaire : choisir un entier aimpair, compris strictement entre 4 et 20.
Partie A — Diviseurs communs `a deux entiers
Soient deux nombres entiers positifs Net Mtels que N=M+ 2.
Soit dun entier positif, diviseur commun `a Net `a M.
D´emontrer que dest un diviseur de 2, et en d´eduire les valeurs possibles de d.
D´efinition
Soit l’ensemble des entiers positifs divisant deux nombres entiers Net M.
Alors le plus grand ´el´ement de cet ensemble est appel´e le Plus Grand Commun Diviseur (pgcd) de Net M.
Exemple : d´eterminer le pgcd de deux nombres entiers de votre choix, tous deux pairs et compris entre 20 et 50.
Partie B — Deux entiers impairs successifs
1. On suppose dans cette partie que Net Msont deux entiers positifs, impairs et successifs.
D´emontrer que le pgcd de Net Mest 1.
2. On ´ecrit Msous la forme M= 2n−1, o`u nest un entier.
Etudier la parit´e de M×N.
Partie C — Etude en plusieurs ´etapes
Soit nun entier naturel non nul, on consid`ere les entiers suivants : N=a×n+ 1 et M=a×n−1.
1. On suppose que nest un entier pair. On pose n= 2p, avec pentier naturel non nul.
a) Montrer que Met Nsont des entiers impairs.
b) En d´eduire le pgcd de Met N.
2. On suppose que nest un entier impair. On pose n= 2p+ 1 , avec pentier naturel.
Montrer que Met Nsont des entiers pairs, puis conclure quant `a leur pgcd.
3. Pour tout entier naturel non nul n, on consid`ere l’entier a2×n2−1.
a) Exprimer cet entier en fonction des entiers Met N.
b) D´emontrer que si nest pair alors a2×n2−1 est impair.
c) D´emontrer que a2×n2−1 est divisible par 4 si et seulement si nest impair.
N’oubliez pas que deux et deux ´egalent quatre — pas quelquefois mais tout le temps.
Jacques Futrelle, Treize enquˆetes de la Machine `a Penser.