licence CC-BY-NC-SA

-SA
arithmétique/cryptographie
Mathématiques
TD n◦ 1
Arithmétique Euclidienne
CC
-BY
Exercice 1
écrire x en base p : la méthode du bit de poids faible
• initialisation x0 = x
• à chaque étape on fait la division entière de xi par p : xi = xi+1 p + ai
— ai est donc le reste de la division de xi par p
— xi+1 est donc le quotient de la division de xi par p
• il n’est plus nécessaire de continuer dès que xi = 0.
-NC
DUT Informatique
semestre 4
1. Convertir 1000 en bases 2, 3, 4, 5, 7, 11 et 13.
2. Convertir en base 10 (11111)p, (10101)p, (1010)p suivant que p = 2 ou 3.
lice
nce
3. Exprimer par une formule en fonction de n et p la valeur des nombres à n chiffres
dont l’écriture en base p est (111111 . . . 11)p ,
(101010 . . . 01)p ,
(101010 . . . 10)p
et vérifier avec les exemples de la question précédente.
P
q N+1 −1
k
Indication : Utiliser la formule de la série géométrique N
.
k=0 q =
q−1
nes
Exercice 3
Trouver les solutions entières des équations suivantes :
1.fr
Exercice 2
Calculer le PGCD des couples suivant en utilisant l’algorithme d’Euclide et en déduire
une identité de Bezout : 43 et 16, 232 et 744, 6234 et 3312, 12342 et 5643, 44231 et 2750,
1111111111 et 111111.
3. 102x + 30y = 66
5. 232x + 744y = 24
2. 27x + 48y = 1
4. 29x + 73y = 8
6. 1443x + 567y = 48
Exercice 4
[extrait du DS d’avril 2005 (3 points)]
-ren
1. 17x + 24y = 3
uni
v
1. Trouver toutes les solutions (x, y) ∈ Z2 de l’équation : 2x + 5y = 37
ux@
2. Pour payer une somme de 37 Euros on ne dispose que de pièces de 2 Euros et de
billets de 5 Euros. Soit x le nombre de pièces et y le nombres de billets nécessaires
pour payer, alors x + y est le nombre total de pièces et billets utilisés. Quelle est la
valeur minimale de x + y ? Que valent x et y dans ce cas ?
e.ro
Exercice 5
[extrait du DS de Février 2003 (5 points)]
Le but de cet exercice est de trouver toutes les solutions entières (x, y, z) de l’équation :
30x + 34y + 39z = 66
(1)
lipp
1) Trouver toutes les solutions entières de l’équation : 2t + 39z = 66, (t, z) ∈ Z2
phi
2) Trouver, en fonction du paramètre c ∈ Z, toutes les solutions entières de l’équation :
30x + 34y = 2c, (x, y) ∈ Z2

 30x + 34y = 2t
et
3) Démontrer que 30x + 34y + 39z = 66 ⇐⇒ ∃t ∈ Z, tel que

2t + 39z = 66
Indication : Pour le sens ⇒ on pourra commencer par regarder la parité de 30x+34y.
1
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arithmétique/cryptographie
Mathématiques
TD n◦ 1
Arithmétique Euclidienne
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DUT Informatique
semestre 4
-BY
4) En déduire que toutes les solutions entières de (1) peuvent s’exprimer par les formules
suivantes :

 x = −10032 + 312 × l + 17 × k
y =
8778 − 273 × l − 15 × k avec l, k ∈ Z
30x + 34y + 39z = 66 ⇐⇒

z =
66 − 2 × l
Exercice 6
CC
[extrait du DS de Mars 2004 (8 points)]
a b
une matrice à coefficients entiers. Le but de cet exercice est de trouc d
ver une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients a, b, c, d pour que les deux
conditions suivantes soient réalisées :
• La matrice M soit inversible ⇔ ∃M −1 ∈ M2 (R), M × M −1 = M −1 × M = Id2
• La matrice M −1 soit à coefficients entiers
nce
Soit M =
1.fr
lice
1. On suppose
que
l’inverse de M existe et a des coefficients entiers, et on pose
x y
, x, y, z, t ∈ Z. Faire le produit M × M −1 et à partir de l’égalité :
M −1 =
z t
1 0
x y
a b
=
×
0 1
z t
c d
dire pour chacune des propriétés suivante quelle équation permet de l’obtenir
• c et d sont premiers entre eux
• y et t sont premiers entre eux
nes
• a et b sont premiers entre eux
• x et z sont premiers entre eux
• ∃q ∈ Z, t = qa et y = −qb
uni
v
• ∃k ∈ Z, z = kc et x = −kd
-ren
Indication : Penser à l’identité de Bezout
2. À partir des équations non utilisées dans la question 1 expliquer comment vous
pouvez obtenir les propositions :
ux@
3. D’après les questions 1 et 2 on a obtenu que si M −1 existe alors elle s’écrit
−kd −qb
−1
M =
avec k et q entiers
kc
qa
e.ro
Recalculer le produit M × M −1 à partir de cette nouvelle expression pour M −1 et
en déduire que M −1 existe et est à coefficients entiers si et seulement si
ad − bc = 1 ou − 1
phi
lipp
Indication : On pourra ramener l’équation obtenue à l’équation entière u × v = 1,
(u, v) ∈ Z2 , dont on donnera les solutions en une phrase.
4. Exprimer k et q en fonction de ad − bc puis donner une formule pour M −1 .
5. Trouver toutes les identités de Bezout entre 13 et 23 (i.e. trouver tous les (x, y) ∈ Z2
tels que 13x + 23y = 1).
13 23
a-t-elle un inverse M −1 à coefficients entiers ? Si oui
6. La matrice M =
−4 −7
calculer la matrice M −1 .
Indication : On pourra utiliser les résultats des questions 4 et 5.
2