licence CC-BY-NC-SA

[email protected] licence CC-BY-NC-SA
DUT Informatique
semestre 4
arithm´etique/cryptographie
Arithm´etique Euclidienne
Math´ematiques
TD n◦1
Exercice 1
´ecrire xen base p: la m´ethode du bit de poids faible
•initialisation x0=x
•`a chaque ´etape on fait la division enti`ere de xipar p:xi=xi+1p+ai
—aiest donc le reste de la division de xipar p
—xi+1 est donc le quotient de la division de xipar p
•il n’est plus n´ecessaire de continuer d`es que xi= 0.
1. Convertir 1000 en bases 2, 3, 4, 5, 7, 11 et 13.
2. Convertir en base 10 (11111)p,(10101)p,(1010)psuivant que p= 2 ou 3.
3. Exprimer par une formule en fonction de net pla valeur des nombres `a nchiffres
dont l’´ecriture en base pest (111111 ...11)p,(101010 ...01)p,(101010 ...10)p
et v´erifier avec les exemples de la question pr´ec´edente.
Indication : Utiliser la formule de la s´erie g´eom´etrique PN
k=0 qk=qN+1−1
q−1.
Exercice 2
Calculer le PGCD des couples suivant en utilisant l’algorithme d’Euclide et en d´eduire
une identit´e de Bezout : 43 et 16, 232 et 744, 6234 et 3312, 12342 et 5643, 44231 et 2750,
1111111111 et 111111.
Exercice 3
Trouver les solutions enti`eres des ´equations suivantes :
1. 17x+ 24y= 3
2. 27x+ 48y= 1
3. 102x+ 30y= 66
4. 29x+ 73y= 8
5. 232x+ 744y= 24
6. 1443x+ 567y= 48
Exercice 4
[extrait du DS d’avril 2005 (3 points)]
1. Trouver toutes les solutions (x, y)∈Z2de l’´equation : 2x+ 5y= 37
2. Pour payer une somme de 37 Euros on ne dispose que de pi`eces de 2 Euros et de
billets de 5 Euros. Soit xle nombre de pi`eces et yle nombres de billets n´ecessaires
pour payer, alors x+yest le nombre total de pi`eces et billets utilis´es. Quelle est la
valeur minimale de x+y? Que valent xet ydans ce cas ?
Exercice 5
[extrait du DS de F´evrier 2003 (5 points)]
Le but de cet exercice est de trouver toutes les solutions enti`eres (x, y, z) de l’´equation :
30x+ 34y+ 39z= 66 (1)
1) Trouver toutes les solutions enti`eres de l’´equation : 2t+ 39z= 66,(t, z)∈Z2
2) Trouver, en fonction du param`etre c∈Z, toutes les solutions enti`eres de l’´equation :
30x+ 34y= 2c, (x, y)∈Z2
3) D´emontrer que 30x+ 34y+ 39z= 66 ⇐⇒ ∃t∈Z,tel que 
30x+ 34y= 2t
et
2t+ 39z= 66
Indication : Pour le sens ⇒on pourra commencer par regarder la parit´e de 30x+34y.
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semestre 4
arithm´etique/cryptographie
Arithm´etique Euclidienne
Math´ematiques
TD n◦1
4) En d´eduire que toutes les solutions enti`eres de (1) peuvent s’exprimer par les formules
suivantes :
30x+ 34y+ 39z= 66 ⇐⇒ 
x=−10032 + 312 ×l+ 17 ×k
y= 8778 −273 ×l−15 ×k
z= 66 −2×l
avec l, k ∈Z
Exercice 6
[extrait du DS de Mars 2004 (8 points)]
Soit M=a b
c dune matrice `a coefficients entiers. Le but de cet exercice est de trou-
ver une condition n´ecessaire et suffisante sur les coefficients a, b, c, d pour que les deux
conditions suivantes soient r´ealis´ees :
•La matrice Msoit inversible ⇔ ∃M−1∈ M2(R), M ×M−1=M−1×M=Id2
•La matrice M−1soit `a coefficients entiers
1. On suppose que l’inverse de Mexiste et a des coefficients entiers, et on pose
M−1=x y
z t,x, y, z, t ∈Z. Faire le produit M×M−1et `a partir de l’´egalit´e :
a b
c d×x y
z t=1 0
0 1
dire pour chacune des propri´et´es suivante quelle ´equation permet de l’obtenir
•aet bsont premiers entre eux
•xet zsont premiers entre eux
•cet dsont premiers entre eux
•yet tsont premiers entre eux
Indication : Penser `a l’identit´e de Bezout
2. ` A partir des ´equations non utilis´ees dans la question 1 expliquer comment vous
pouvez obtenir les propositions :
• ∃k∈Z, z =kc et x=−kd • ∃q∈Z, t =qa et y=−qb
3. D’apr`es les questions 1 et 2 on a obtenu que si M−1existe alors elle s’´ecrit
M−1=−kd −qb
kc qa avec ket qentiers
Recalculer le produit M×M−1`a partir de cette nouvelle expression pour M−1et
en d´eduire que M−1existe et est `a coefficients entiers si et seulement si
ad −bc = 1 ou −1
Indication : On pourra ramener l’´equation obtenue `a l’´equation enti`ere u×v= 1,
(u, v)∈Z2, dont on donnera les solutions en une phrase.
4. Exprimer ket qen fonction de ad −bc puis donner une formule pour M−1.
5. Trouver toutes les identit´es de Bezout entre 13 et 23 (i.e. trouver tous les (x, y)∈Z2
tels que 13x+ 23y= 1).
6. La matrice M=13 23
−4−7a-t-elle un inverse M−1`a coefficients entiers ? Si oui
calculer la matrice M−1.
Indication : On pourra utiliser les r´esultats des questions 4 et 5.
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