Compléments sur les groupes

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Compléments sur les groupes
1 Quelques théorèmes
Soit f:G G un homomorphisme de groupes surjectif. Nous allons désigner
par S G l’ensemble des sous-groupes de Get par SfGcelui des sous-groupes de
Gcontenant Ker f .
Théorème Il existe une bijection de S G sur SfG.
Démonstration Soit ϕl’application de SGdans SfGqui associe à Hle sous-
groupe f1Hde G.ϕest injective, car nous avons
ϕHϕK f 1H f 1K
f f 1H f f 1K
H K
vu que fest surjective. D’un autre côté, si H SfG, alors
H f H S G et ϕH f 1H H
car nous avons
x f 1f H f x f H
y H f x f y
x y Ker f H
x H
D’où f1f H H. L’autre inclusion est évidente. Ainsi ϕest surjective.
Théorème La bijection ϕest croissante.
Démonstration Si H K , alors
xϕH x f 1H
f x H
f x K
x f 1KϕK
D’où ϕHϕK.
Théorème Hest un sous-groupe distingué de Gsi, et seulement si, le sous-
groupe HϕHde Gest distingué.

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Démonstration Si Hest un sous-groupe distingué de G, alors nous avons
x G,y H f x G ,f y H
f x 1yx f x 1fy f x H
x1yx f1H H
Réciproquement, si le sous-groupe Hde Gest distingué, alors Hest un sous-groupe
distingué de G. En effet, si x G et y H , alors il existe x G et y H tels que
x f x et y f y (H f f 1H f H car fest surjective). Nous avons
x1yx f x 1fy f x f x 1yx f H H
car x1yx H.
Théorème Si Hest distingué dans Get HϕH, alors G H est isomorphe à
G H.
Démonstration L’application
g;GfGpG H
où pest la surjection canonique qui est un homomorphisme de groupes. Il est surjectif
et son noyau est Hcar
x Ker g p f x g x e f x H x H
D’où G H Im g G H.
2 Chaînes normales
Soient G1et G2deux sous-groupes de Gtels que G1G2.
Définition On appelle chaîne normale de Gentre G2et G1toute chaîne de sous-
groupes de GG1H0H1HnG2
telle que chaque Hisoit un sous-groupe distingué de son successeur Hi1. Les groupes
quotients FiHi1Hipour i0 1 n1 sont appelés les facteurs de la chaîne.
Définition On appelle chaîne normale du groupe Gtoute chaîne normale de G
entre eet G.
Exemple Soit S3le groupe des permutations de l’ensemble 1 2 3 et A3le groupe
alterné d’ordre 3. La chaîne i A3S3

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est une chaîne normale du groupe S3.
Théorème Si f;G G est un homomorphisme surjectif, alors ftransforme
toute chaîne normale e H0H1HnG
de Gen une chaîne normale
e H0H1HnG
de Get il existe un homomorphisme surjectif uidu facteur FiHi1Hisur le facteur
FiHi1Hipour i0 1 n1.
Démonstration L’homomorphisme ftransforme la chaîne
e H0H1HnG
en la chaîne e H0H1HnG
où Hif Hipour i0 1 n1. Cette chaîne est normale, car l’image d’un sous-
groupe distingué par un homomorphisme surjectif est un sous-groupe distingué. D’un
autre côté, L’application uidéfinie par
uipix pif x
est bien définie, car nous avons
pix piy xy 1Hi
f x f y 1f xy 1f HiHi
pif x pif y
où piet pisont les surjections canoniques. Il est facile de vérifier que uiest un homo-
morphisme de groupes surjectif.
Théorème Si f;GGest un homomorphisme injectif, alors toute chaîne nor-
male e H0H1HnG
de Gest transformée par f1en une chaîne normale
e H0H1Hnf1G G
de f1Get il existe un homomorphisme injectif vidu facteur FiHi1Hidans le
facteur FiHi1Hipour i0 1 n1.
Démonstration Soit Hif1Hipour i0 1 n1. Les sous-groupes Hide
Gforment une chaîne
e H0H1Hnf1G G

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où H0f1H0f1e Ker f e . Cette chaîne est normale car nous avons
x Hi1,yHif x Hi1,f y Hi
f x 1yx f x 1fy f x Hi
x1yx Hi
L’application viest définie comme l’application uidu théorème précédent. C’est un
homomorphisme de groupes. Il est injectif car nous avons
vipix e pif x e
f x Hi
x f 1HiHi
pix e
Théorème Si chaque facteur d’une chaîne normale de Gpossède une chaîne nor-
male, alors nous obtenons une chaîne normale de Gen concaténant les différentes
chaînes des facteurs. Les facteurs de la nouvelle chaîne sont isomorphes aux facteurs
des chaînes des différents facteurs.
Démonstration Soit
e H0H1HnG
une chaîne normale de Get soit
e Ki0Ki1KiniFi
une chaîne normale du facteur Fipour i1 2 n1. La surjection canonique pi;Hi1
Fitransforme cette chaîne en une chaîne normale de Gentre Hiet Hi1
HiLi0Li1LiniHi1
où Lij p1
iKij LijHiKij. Il en résulte que la chaîne
e H0L00L01L0n0H1Hn1
Ln1 0 Ln1 1 Ln1niHnG
est une chaîne normale de G. Il nous reste à prouver que le facteur Lij1Lijest iso-
morphe au facteur Ki j 1Kijet ceci pour j0 1 ni1 et pour i0 1 n1. La
restriction de piàLij1est un homomorphisme surjectif de Li j 1sur Ki j 1. Le der-
nier théorème de la section précédente nous donne l’isomorphisme recherché (prendre
GKij1,HKijet HLij).

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3 Groupes résolubles
Définition On dit qu’un groupe Gest résoluble si, et seulement si, il possède une
chaîne normale dont les facteurs sont abéliens.
Exemple Le groupe symétrique S3est résoluble.
Théorème Tout groupe abélien est résoluble.
Démonstration Il suffit de prendre la chaîne e G.
Théorème Tout groupe cyclique est résoluble.
Démonstration Car un groupe cyclique est abélien.
Théorème Toute image par un homomorphisme d’un groupe résoluble est un
groupe résoluble.
Démonstration Si Gest une image homomorphe du groupe résoluble G, alors il
existe un homomorphisme surjectif f;G G . Si
e H0H1HnG
est une chaîne normale de Gà facteurs abéliens, alors la chaîne
e H0H1HnG
où Hif Hipour i0 1 n1 est normale et ses facteurs sont des images ho-
momorphes de ceux de la chaîne de G(par l’homomorphisme ui). Il en résulte que la
chaîne Gest une chaîne normale à facteurs abélien. Ceci prouve que Gest résoluble.
Corollaire Tout groupe quotient d’un groupe résoluble est un groupe résoluble.
Démonstration En effet, un groupe quotient de Gest une image homomorphe de
Gpar la surjection canonique.
Théorème Si f;G G est un homomorphisme injectif et si Gest résoluble,
alors Gest résoluble.
Démonstration Si Gest résoluble, alors il possède une chaîne normale
e H0H1HnG
à facteurs abéliens. La chaîne
e H0H1HnG
où Hif1Hipour i0 1 nest une chaîne normale et il existe homomorphisme
injectif vi;Hi1HiHi1Hi. Il en résulte que les facteurs de la chaîne de Gsont