1 Ordre d`un élément dans un groupe fini.

Agrégation interne de mathématiques
RK
Séance n◦
Thème :Sˆt‰rˆu€c‰t‰uˆr€e
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Définitions :
• On abrègera “groupe abélien fini" en “g.a.f.". La loi de tous les groupes cités dans le problème sera
notée multiplicativement et l’élément neutre sera noté e.
• Si n ∈ N∗ , on note Un le groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l’unité dans C.
• Si x est un élément d’un groupe G, on note hxi = {xk , k ∈ Z} le sous-groupe de G engendré par x.
• Si G est un g.a.f., on adopte les définitions suivantes :
– On appelle exposant de G, et on note e(G), le ppcm des ordres des éléments de G.
– On appelle caractère de G tout morphisme de G dans C∗ ; l’ensemble des caractères de G est noté
b
G.
Le but de ce problème est d’élucider la structure des groupes abéliens finis en montrant qu’un tel groupe
est isomorphe à un produit de groupes cycliques dont les cardinaux forment une suite croissante pour la
relation de divisibilité (cf l’énoncé exact dans l’unique question de la partie VII).
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Ordre d’un élément dans un groupe fini.
On rappelle le résultat classique suivant, qui donne la structure des sous-groupes de (Z, +).
Théorème. Soit H un sous-groupe de (Z, +) non réduit à {0}. Si n est le plus petit élément strictement
positif de H, on a
H = nZ = {kn, k ∈ Z}
En d’autres termes, il existe un unique entier de N∗ tel que H soit l’ensemble des multiples de cet
entier.
On considère dans cette partie un groupe G fini, et x un élément de G.
1. Montrer que Ax = {k ∈ Z, xk = e} est un sous-groupe de (Z, +) non réduit à {0}.
Le théorème ci-dessus permet de définir l’ordre de x dans G comme l’unique entier n > 1 tel que Ax = nZ
ou, de façon équivalente, comme le plus petit n > 0 tel que xn = e.
On observera que, par définition même, on a, pour k ∈ Z, équivalence entre n divise k et xk = e. Seule
cette dernière propriété est utilisée dans la suite, et les questions suivantes de cette partie ont pour seul but
de se familiariser avec la notion d’ordre.
2. Quelques exemples.
(a) Quels sont les éléments de G d’ordre 1 ?
(b) Ici, G est le groupe symétrique (S3 , ◦) (groupe des permutations de l’ensemble {1, 2, 3}).
Enumérer les éléments de G et préciser l’ordre de chaque élément.
2ikπ
(c) Ici, G est le groupe Un , avec n > 2. Soit x = e n avec 0 6 k 6 n − 1. Montrer que l’ordre
n
de x est , où d est le pgcd de n et k.
d
3. On revient au cas général. Montrer, si x est d’ordre n, que les xi sont deux à deux distincts pour
0 6 i 6 n − 1, et que hxi = {xi , 0 6 i 6 n − 1} (donc que n est le cardinal de hxi).
1
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Facteurs directs
Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que H et K sont facteurs directs si
H ∩ K = {eG }, HK = G (ie tout élément de G peut s’écrire hk, h ∈ H, k ∈ K), et si tout élément de
H commute avec tout élément de K.
Montrer que, dans ces conditions, l’application ξ : (h, k) 7→ hk est un isomorphisme de H × K dans G.
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Caractères des groupes cycliques.
Ici, G est un groupe cyclique, engendré par un élément x (ce qui signifie que G = hxi). On note n
l’ordre de x.
b Montrer que ϕ(x) ∈ Un .
1. Soit ϕ ∈ G.
2. Inversement, soit ω ∈ Un . Montrer qu’il existe un et un seul caractère ϕ de G tel que ϕ(x) = ω.
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Prolongement des caractères.
b Le but de cette partie est de montrer qu’il existe
Soient G un g.a.f., H un sous-groupe de G, et ϕ ∈ H.
un caractère de G prolongeant ϕ. Soit x ∈ G\H.
1. Soit L = {xk h, (k, h) ∈ Z × H}. Vérifier que L est un sous-groupe de G contenant H et x.
2. On pose n = min{l ∈ N∗ , xl ∈ H}. Justifier cette définition, et expliquer pourquoi il existe
ω ∈ C∗ tel que ω n = ϕ(xn ).
3. Etablir l’existence d’une application ϕ̃ de L dans C∗ telle que pour tous k ∈ Z et h ∈ H on ait
ϕ̃(xk h) = ω k ϕ(h).
4. Montrer que ϕ̃ est un caractère de L ; quelle est sa restriction à H ?
5. Prouver le résultat annoncé au début de cette partie.
5
L’exposant d’un groupe abélien fini.
Soit G un g.a.f. Le but de cette partie est de montrer que G contient un élément dont l’ordre est e(G).
1. (a) Soient x et y dans G, d’ordres respectifs m et n premiers entre eux. Montrer que xy est
d’ordre mn.
(b) Si x1 , . . . , xr sont des éléments de G d’ordres respectifs n1 , . . . , nr deux à deux premiers
entre eux, quel est l’ordre de x1 . . . xr ?
r
Y
i
2. Écrivons e(G) =
pα
i la décomposition en facteurs premiers de l’exposant de G. Les pi sont
i=1
des nombres premiers deux à deux distincts, et α1 , . . . , αr sont des entiers > 1.
i
(a) Si i ∈ {1, . . . , r}, montrer qu’il existe gi dans G dont l’ordre soit de la forme pα
i mi , où mi
est un entier premier avec pi . Quel est l’ordre de gimi ?
(b) Démontrer le résultat annoncé au début de cette partie.
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Mise en évidence d’un facteur direct cyclique.
2iπ
Soit G un g.a.f. Grâce à la partie V, on choisit x dans G d’ordre e(G). On pose ω = e e(G) , et on dispose,
grâce à la partie III, d’un caractère ϕ de hxi tel que ϕ(x) = ω. Enfin, grâce à la partie IV, on prolonge
ϕ en un caractère ϕ̃ de G.
Montrer que hxi et Ker(ϕ̃) sont facteurs directs.
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Preuve du théorème.
Démontrer que tout g.a.f de cardinal > 2 est isomorphe à un produit direct
Un1 × Un2 × · · · × Unr
où n1 , . . . , nr sont des entiers > 2 tels que n1 |n2 | · · · |nr .
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Unicité
Cette question est assez difficile. Montrer que la suite (n1 , . . . , nr ) décrite ci-dessus est unique.
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Application
Combien y a-t-il, à isomorphisme près, de groupes abéliens d’ordre 2000 ?
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