1 Ordre d`un élément dans un groupe fini.

Agrégation interne de mathématiques RK
Séance n◦
Thème :
Définitions :
•On abrègera “groupe abélien fini" en “g.a.f.". La loi de tous les groupes cités dans le problème sera
notée multiplicativement et l’élément neutre sera noté e.
•Si n∈N∗, on note Unle groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l’unité dans C.
•Si xest un élément d’un groupe G, on note hxi={xk, k ∈Z}le sous-groupe de Gengendré par x.
•Si Gest un g.a.f., on adopte les définitions suivantes :
– On appelle exposant de G, et on note e(G), le ppcm des ordres des éléments de G.
– On appelle caractère de Gtout morphisme de Gdans C∗; l’ensemble des caractères de Gest noté
b
G.
Le but de ce problème est d’élucider la structure des groupes abéliens finis en montrant qu’un tel groupe
est isomorphe à un produit de groupes cycliques dont les cardinaux forment une suite croissante pour la
relation de divisibilité (cf l’énoncé exact dans l’unique question de la partie VII).
1 Ordre d’un élément dans un groupe fini.
On rappelle le résultat classique suivant, qui donne la structure des sous-groupes de (Z,+).
Théorème. Soit Hun sous-groupe de (Z,+) non réduit à {0}. Si nest le plus petit élément strictement
positif de H, on a
H=nZ={kn, k ∈Z}
En d’autres termes, il existe un unique entier de N∗tel que Hsoit l’ensemble des multiples de cet
entier.
On considère dans cette partie un groupe Gfini, et xun élément de G.
1. Montrer que Ax={k∈Z, xk=e}est un sous-groupe de (Z,+) non réduit à {0}.
Le théorème ci-dessus permet de définir l’ordre de xdans Gcomme l’unique entier n>1tel que Ax=nZ
ou, de façon équivalente, comme le plus petit n > 0tel que xn=e.
On observera que, par définition même, on a, pour k∈Z, équivalence entre ndivise ket xk=e. Seule
cette dernière propriété est utilisée dans la suite, et les questions suivantes de cette partie ont pour seul but
de se familiariser avec la notion d’ordre.
2. Quelques exemples.
(a) Quels sont les éléments de Gd’ordre 1?
(b) Ici, Gest le groupe symétrique (S3,◦)(groupe des permutations de l’ensemble {1,2,3}).
Enumérer les éléments de Get préciser l’ordre de chaque élément.
(c) Ici, Gest le groupe Un, avec n>2. Soit x=e2ikπ
navec 06k6n−1. Montrer que l’ordre
de xest n
d, où dest le pgcd de net k.
3. On revient au cas général. Montrer, si xest d’ordre n, que les xisont deux à deux distincts pour
06i6n−1, et que hxi={xi,06i6n−1}(donc que nest le cardinal de hxi).
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2 Facteurs directs
Soient Gun groupe, Het Kdeux sous-groupes de G. On dit que Het Ksont facteurs directs si
H∩K={eG},HK =G(ie tout élément de Gpeut s’écrire hk,h∈H,k∈K), et si tout élément de
Hcommute avec tout élément de K.
Montrer que, dans ces conditions, l’application ξ: (h, k)7→ hk est un isomorphisme de H×Kdans G.
3 Caractères des groupes cycliques.
Ici, Gest un groupe cyclique, engendré par un élément x(ce qui signifie que G=hxi). On note n
l’ordre de x.
1. Soit ϕ∈b G. Montrer que ϕ(x)∈Un.
2. Inversement, soit ω∈Un. Montrer qu’il existe un et un seul caractère ϕde Gtel que ϕ(x) = ω.
4 Prolongement des caractères.
Soient Gun g.a.f., Hun sous-groupe de G, et ϕ∈b H. Le but de cette partie est de montrer qu’il existe
un caractère de Gprolongeant ϕ. Soit x∈G\H.
1. Soit L={xkh, (k, h)∈Z×H}. Vérifier que Lest un sous-groupe de Gcontenant Het x.
2. On pose n= min{l∈N∗, xl∈H}. Justifier cette définition, et expliquer pourquoi il existe
ω∈C∗tel que ωn=ϕ(xn).
3. Etablir l’existence d’une application ˜ϕde Ldans C∗telle que pour tous k∈Zet h∈Hon ait
˜ϕ(xkh) = ωkϕ(h).
4. Montrer que ˜ϕest un caractère de L; quelle est sa restriction à H?
5. Prouver le résultat annoncé au début de cette partie.
5 L’exposant d’un groupe abélien fini.
Soit Gun g.a.f. Le but de cette partie est de montrer que Gcontient un élément dont l’ordre est e(G).
1. (a) Soient xet ydans G, d’ordres respectifs met npremiers entre eux. Montrer que xy est
d’ordre mn.
(b) Si x1, . . . , xrsont des éléments de Gd’ordres respectifs n1, . . . , nrdeux à deux premiers
entre eux, quel est l’ordre de x1. . . xr?
2. Écrivons e(G) =
r
Y
i=1
pαi
ila décomposition en facteurs premiers de l’exposant de G. Les pisont
des nombres premiers deux à deux distincts, et α1, . . . , αrsont des entiers >1.
(a) Si i∈ {1, . . . , r}, montrer qu’il existe gidans Gdont l’ordre soit de la forme pαi
imi, où mi
est un entier premier avec pi. Quel est l’ordre de gmi
i?
(b) Démontrer le résultat annoncé au début de cette partie.
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6 Mise en évidence d’un facteur direct cyclique.
Soit Gun g.a.f. Grâce à la partie V, on choisit xdans Gd’ordre e(G). On pose ω=e2iπ
e(G), et on dispose,
grâce à la partie III, d’un caractère ϕde hxitel que ϕ(x) = ω. Enfin, grâce à la partie IV, on prolonge
ϕen un caractère ˜ϕde G.
Montrer que hxiet Ker( ˜ϕ)sont facteurs directs.
7 Preuve du théorème.
Démontrer que tout g.a.f de cardinal >2est isomorphe à un produit direct
Un1×Un2× · · · × Unr
où n1, . . . , nrsont des entiers >2tels que n1|n2|···|nr.
8 Unicité
Cette question est assez difficile. Montrer que la suite (n1, . . . , nr)décrite ci-dessus est unique.
9 Application
Combien y a-t-il, à isomorphisme près, de groupes abéliens d’ordre 2000 ?
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