2nde 00-01 Devoir n°01a

Feuille d’exercices n°13 : Equations différentielles.
BTS Opticien Lunetier 2ème année.
Exercice n °1 :
Résoudre dans  les équations différentielles suivantes :
1)   
2)   
3)   
4)  
5)  
6)   
Exercice n °2 :
Dans chacun des cas suivants :
1) Donner la solution générale de l’équation différentielle.
2) Déterminer la solution particulière  qui vérifie la condition initiale indiquée
a)    
b)    
c)    
d) 
Exercice n °3 :
Dans chacun des cas suivants :
1) Déterminer les solutions de l’équation différentielle sans le second membre.
2) Vérifier que la fonction  est une solution particulière de l’équation
différentielle.
3) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle.
a)    
b)     
c)   
d)    
Exercice n °4 :
On veut résoudre sur  l’équation différentielle :
1) Prouver que la fonction  définie sur  par   est une solution
particulière de l’équation .
2) Déterminer les solutions de l’équation différentielle sans second membre.
3) Donner la solution générale de l’équation .
4) Déterminer l’unique solution  de l’équation  telle que  .
5) Montrer que la fonction  est croissante sur  et tracer sa courbe
représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique  cm.
On précisera les coefficients directeurs des tangentes aux deux points de la
courbe d’abscisses  et .
Exercice n °5 :
On considère l’équation différentielle  :
1) Soit l’équation différentielle   . Résoudre .
2) Déterminer les réels  et  tels que la fonction  définie pour tout réel  par
 soit une solution particulière de l’équation .
3) Résoudre l’équation différentielle .
4) Déterminer la fonction  solution sur  de l’équation différentielle 
satisfaisant la condition initiale  .
Exercice n °6 :
Partie A : Voir feuille d’exercices n°14.

Exercice n °7 :
Les trois parties de ce problème sont indépendantes.
Première patie :
On considère l’équation différentielle  :    où  est une
fonction de la variable réelle  définie et dérivable sur .
1) Déterminer les solutions sur  de l’équation différentielle   .
2) Soit  la fonction définie sur  par :  .
Démontrer que la fonction  est une solution particulière de l’équation
différentielle .
3) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle .
4) Déterminer la solution  de l’équation différentielle  dont la courbe
représentative dans un repère orthonormal passe par le point de coordonnées .
Deuxième patie :
1) La courbe ci après
représente dans un repère
orthogonal  une
fonction  définie sur  par
 où 
et  sont deux nombres
réels. La droite  est la
tangente à la courbe  au
point  d’abscisse . Cette
tangente passe par le point 
de coordonnées .
a) Déterminer graphiquement .
b) Déterminer, graphiquement ou par le calcul, .
c) Déterminer les valeurs des nombres réels  et .
Dans la suite on admet que la fonction  est définie sur  par :
2) a) Démontrer que pour tout réel , .
b) Résoudre dans  l’inéquation  .
c) En déduire le sens de variation de  sur .
Troisième patie :
1) La fonction  définie dans la deuxième partie est une solution de l’équation
différentielle  de la 1ère partie. Donc, pour tout réel ,  .
En déduire une primitive  de  sur .
Démontrer que   
. Doner la valeur arrondie à  de .
a) Démontrer que   
.
b) Donner la valeur arrondie à  près de .
c) Vérifier que les valeurs arrondies obtenues ci-dessus pour  et 
différent de moins de .