2nde 00-01 Devoir n°01a

Feuille d’exercices n°13 : Equations différentielles.
BTS Opticien Lunetier 2ème année.
Exercice n °1 :
Résoudre dans
les équations différentielles suivantes :
1)
4)
2)
5)
3)
6)
Exercice n °2 :
1)
2)
Dans chacun des cas suivants :
Donner la solution générale de l’équation différentielle.
Déterminer la solution particulière
qui vérifie la condition initiale indiquée
a)
c)
b)
d)
5)
Montrer que la fonction est croissante sur et tracer sa courbe
représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique cm.
On précisera les coefficients directeurs des tangentes aux deux points de la
courbe d’abscisses
et .
Exercice n °5 :
On considère l’équation différentielle
Soit l’équation différentielle
. Résoudre
.
Déterminer les réels et tels que la fonction définie pour tout réel par
soit une solution particulière de l’équation
.
3)
Résoudre l’équation différentielle
.
4)
Déterminer la fonction
solution sur
de l’équation différentielle
satisfaisant la condition initiale
.
1)
2)
Exercice n °6 :
Exercice n °3 :
Dans chacun des cas suivants :
1)
Déterminer les solutions de l’équation différentielle sans le second membre.
2)
Vérifier que la fonction
est une solution particulière de l’équation
différentielle.
3)
Déterminer la solution générale de l’équation différentielle.
a)
c)
d)
b)
Exercice n °4 :
On veut résoudre sur
l’équation différentielle :
1)
Prouver que la fonction définie sur par
est une solution
particulière de l’équation
.
2)
Déterminer les solutions de l’équation différentielle sans second membre.
3)
Donner la solution générale de l’équation
.
4)
Déterminer l’unique solution de l’équation
telle que
.
:
Partie A :
Voir feuille d’exercices n°14.
Deuxième patie :
1)
La courbe ci après
représente dans un repère
orthogonal
une
fonction définie sur par
où
et
sont deux nombres
réels.
La droite
est la
tangente à la courbe
au
point
d’abscisse . Cette
tangente passe par le point
de coordonnées
.
a)
Déterminer graphiquement
.
b)
Déterminer, graphiquement ou par le calcul,
.
c)
Déterminer les valeurs des nombres réels et .
Dans la suite on admet que la fonction est définie sur par :
2)
a)
b)
c)
Démontrer que pour tout réel ,
Résoudre dans l’inéquation
En déduire le sens de variation de
.
.
sur
.
Troisième patie :
Exercice n °7 :
1)
La fonction définie dans la deuxième partie est une solution de l’équation
différentielle
de la 1ère partie. Donc, pour tout réel ,
.
En déduire une primitive de sur .
Les trois parties de ce problème sont indépendantes.
Première patie :
On considère l’équation différentielle
:
où
est une
fonction de la variable réelle définie et dérivable sur .
1)
Déterminer les solutions sur de l’équation différentielle
.
2)
Soit la fonction définie sur par :
.
Démontrer que la fonction
est une solution particulière de l’équation
différentielle
.
3)
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle
.
4)
Déterminer la solution
de l’équation différentielle
dont la courbe
représentative dans un repère orthonormal passe par le point de coordonnées
.
Démontrer que
. Doner la valeur arrondie à
de .
a)
Démontrer que
.
b)
Donner la valeur arrondie à
près de .
c)
Vérifier que les valeurs arrondies obtenues ci-dessus pour
différent de moins de
.
et