invariants de similitude Exercice 1 : Exercice 2 :

Université Joseph Fourier
M1, 2015-2016
invariants de similitude
Exercice 1
:
Soit k un corps. Soit V un k -espace vectoriel de dimension nie n et f un endomorphisme de V . On note Vf le k[X]-module déni par
∀P ∈ k[X], ∀v ∈ V, P.v = P (f )(v)
1. Montrer que Vf est un k[X]-module de type ni.
2. Montrer que les sous-modules de Vf sont les k -sous-espaces vectoriels de V qui
sont stables par f .
3. Montrer que Vf est un module de torsion. En déduire qu'il existe un entier s,
des polynômes µi , 1 ≤ i ≤ s, tels que (i ≤ j ⇒ µi |µj ) et un isomorphisme de
k[X]-modules φ de Vf sur le produit k[X]/(µ1 ) × ... × k[X]/(µs ).
4. Montrer que pour tout endomorphisme g de V , le k[X]-module Vg est isomorphe
à Vf si et seulement si les endomorphismes f et g sont semblables.
5. En déduire que l'entier s et le s-uplet de polynômes (µ1 , ..., µs ) charactérisent
la classe de similitude de f . Ces polynômes sont de ce fait appelés les invariants
de similitude de f .
6. Soit (u1 , ..., us ) la base canonique du produit k[X]/(µ1 ) × ... × k[X]/(µs ). Soit,
pour 1 ≤ i ≤ s, wi = φ−1 (ui ) et Ei le sous espace vectoriel de V engendré par
la famille (f j (wi ), j ∈ N). Montrer que Ei est un sous espace vectoriel de V
stable par f dont la dimension est le degré di de µi et que le polynôme µi est le
polynôme minimal de la restriction f|Ei de f au sous-espace Ei .
7. Quelle est la matrice de f|Ei dans la base (wi , f (wi ), ..., f di −1 (wi )) de Ei ?
8. En déduire la décomposition de Frobenius de f .
9. Quel est le polynôme charactéristique de f ?
10. Quel est le polynôme minimal de f ?
Exercice 2
:
Pour un endomorphisme f du k -espace vectoriel V , les invariants de similitudes sont
les polynômes que l'on obtient en réduisant la matrice XI − M où M est la matrice
de f écrite dans une base quelconque de V .
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M1, 2015-2016
Soit k ⊂ L une extension de corps, M1 et M2 deux matrices de Mn (k). Montrer que
M1 et M2 sont semblables sur k si et seulement si elles le sont sur L.
Exercice 3
:
1. Quels sont ,à conjugaison prés, les endomorphismes de Q6 dont le polynôme
charactéristique est (X − 2)5 ?
2. Quels sont ,à conjugaison prés, les endomorphismes de Q6 dont le polynôme
charactéristique est (X − 1)3 (X − 2)2 (X − 3) ?
Donner dans chaque cas les invariants de similitude des endomorphismes considérés.

Exercice 4
:

3
0
8
On considère la matrice M =  3 −1 6 .
−2 0 −5
1. Calculer une matrice réduite équivalente à XI − M .
2. Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice est M dans la base canonique
(e1 , e2 , e3 ) de R3 . Quels sont les invariants de similitude du R[X]-module R3f ?
3. Donner une décomposition de Frobenius de f et la matrice de Frobenius associée.

Exercice 5
:

1 4 −2
On considère la matrice M =  0 6 −3.
−1 4 0
1. Calculer une matrice réduite équivalente à XI − M .
2. Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice est M dans la base canonique
(e1 , e2 , e3 ) de R3 . Quels sont les invariants de similitude du R[X]-module R3f ?
3. Donner une décomposition de Frobenius de f et la matrice de Frobenius associée.
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