Racines de l`unité

Atelier de découverte
Atelier de découverte du Deug MIAS 1999-2000
par E.Cousquer (USTL)
Etude des racines de l’unité, des sous-groupes et des polynômes
associés à ces racines.
Préliminaires :
– On désigne par U l’ensemble des nombres complexes eiθ de
module 1. Il forme un groupe pour la multiplication, (le justifier). Pour chaque élément eiθ de U , donner le polynôme irréductible de R[x] dont il est racine.
– On désigne par Un , l’ensemble des racines n ièmes de l’unité,
pour n entier. Montrer que Un est un sous-groupe fini de U .
– Pour chaque racine n -èmes r de l’unité, on montrera que l’ensemble des puissances distinctes de r, Gr = {r, r2 , r3 , ...} forment
un sous-groupe de Un .
Des exemples pour se faire une idée :
2iπ
– Placer sur le cercle les racines 6 ièmes de l’unité. Si r1 = e 6 ,
2ikπ
on désignera par rk = e 6 , la racine r1k et on appelle racine
primitive sixième de l’unité, une racine sixième de l’unité qui
n’est pas racine pième pour p < 6. Quelles sont les racines primitives sixièmes de l’unité ? Quel est le nombre de ces racines
primitives ?
Pour chaque racine r, donner le sous-groupe Gr associé à cette
racine. Quel est le sous-groupe associé à une racine primitive ?
Décomposer le polynôme x6 − 1 en facteurs irréductibles dans
R[x]. Donner le polynôme dont les racines sont exactement les
racines primitives sixièmes de l’unité.
– Faites le même travail avec les racines douzièmes de l’unité.
1
2iπ
Si r = e n , et si rk = rk , quel est le
nombre d’éléments de Gr ? À quelle condition sur k, rk est-elle une
racine primitive n ièmes de l’unité ? Quel est le sous-groupe associé
à une racine primitive ?
Conjectures et démonstrations
Quelles sont les racines primitives 24 ièmes de l’unité ?
Décomposer le polynôme x24 −1 en facteurs irréductibles dans R[x].
Comment peut-on à partir des coefficients de ces polynômes irréductibles trouver les valeurs de cos( kπ
12 ) pour les différentes valeurs de
k?
Quel est le polynôme dont les racines sont exactement toutes les
racines primitives 24-ièmes de l’unité ?
Application :
2
Préliminaires
– L’ensemble U des nombres complexes eiθ de module 1 est
stable par multiplication, par passage à l’inverse et contient
l’unité de la multiplication. Il forme donc un sous-groupe de
C∗ .
Nous distinguerons la racine 1 de l’unité et son polynôme associé x−1, la racine −1 et son polynôme associé x+1. Les autres
racines de l’unité sont de la forme eiθ . Pour chaque élément
eiθ , le polynôme irréductible de R[x] dont il est racine est le
polynôme du second degré dont les racines sont eiθ et e−iθ soit
P (x) = (x−eiθ )(x−e−iθ ) ou encore P (x) = x2 −2 cos θx+1.
– Comme le produit dans C est commutatif, si z et z 0 sont des
racines nimes de l’unité, on a :
z n = 1, z 0 n = 1, (zz 0 )n = z n z 0 n = 1.
Un est donc stable par multiplication et contient l’unité. D’autre
n
part si z n = 1 on a (z −1 ) = 1. Donc Un est donc stable par
passage à l’inverse d’un élément. Les racines nimes de l’unité
2ikπ
sont les nombres complexes de la forme z = e n ; elles sont
donc en nombre fini.
Un est donc un sous-groupe fini de U .
– Soit r une racine nime de l’unité. Alors pour toute valeur de
l’entier k rk est aussi une racine nime de l’unité. En effet :
(rk )n = rnk = (rn )k = 1 Donc l’ensemble Gr est contenu
dans Un
0
0
Gr est stable par multiplication : rk × rk = rk+k , il contient
l’unité puisque rn = 1, et chaque élément rk a son inverse rn−k
dans Gr .
Gr est donc un sous-groupe de Un .
Des exemples pour se faire une idée
Racines sixièmes de l’unité
r1 = e
2iπ
6
iπ
=e3
3
r2
r3
r4
r5
r6
4iπ
2iπ
=e6 =e3
6iπ
= e 6 = eiπ = −1
4iπ
8iπ
=e6 =e3
10iπ
5iπ
=e 6 =e3
12iπ
= e 6 = e2iπ = 1
On peut remarquer que r2 et r4
sont des racines troisièmes de l’unité, que r3 est une racine carrée
de l’unité et que r6 est l’unité. Les racines primitives sixièmes de
l’unité sont donc les deux racines r1 et r5 .
Racines primitives sixièmes de l’unité :
Sous-groupes associés
Nous calculons les puissances successives de
chaque racine :
Gr1 = {r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , 1}
Gr2 = {r2 , r4 , 1}
Gr3 = {r3 , 1}
Gr4 = {r4 , r2 , 1}
Gr5 = {r5 , r4 , r3 , r2 , r1 , 1}
Gr6 = {1}
On constate que le sous-groupe engendré par une racine primitive
sixième de l’unité est le groupe U6 .
Décomposition du polynôme x6 − 1 dans R[x].
On utilise des identités
remarquables connues :
x6 −1 = (x3 −1)(x3 +1) = (x−1)(x2 +x+1)(x+1)(x2 −x+1)
et l’on voit que les racines primitives sixièmes de l’unité sont exactement les racines du polynôme Φ6 (x) = x2 − x + 1 (appelé polynôme
cyclotomique).
4
Racines douzièmes de l’unité
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
r10
r11
r12
2iπ
= e 12
4iπ
= e 12
6iπ
= e 12
8iπ
= e 12
10iπ
= e 12
12iπ
= e 12
14iπ
= e 12
16iπ
= e 12
18iπ
= e 12
20iπ
= e 12
22iπ
= e 12
24iπ
= e 12
iπ
=e6
racine 12 ième de 1.
2iπ
=e6
racine 6 ième de 1.
iπ
=e2
= i racine 4 ième de 1.
2iπ
=e3
racine 3 ième de 1.
5iπ
=e6
racine 12 ième de 1.
iπ
=e
= −1 racine carrée de 1.
7iπ
=e6
racine 12 ième de 1.
4iπ
=e3
racine 3 ième de 1.
3iπ
= e 2 = −i racine 4 ième de 1.
5iπ
=e3
racine 6 ième de 1.
11iπ
=e 6
racine 12 ième de 1.
2iπ
=e
=1
On peut remarquer que :
r2 et r10 sont des racines sixièmes de l’unité,
r3 et r9 sont des racines quatrièmes de l’unité,
r4 et r8 sont des racines troisièmes de l’unité,
r6 est une racine carrée de l’unité,
r12 est l’unité,
r1 , r5 , r7 et r11 sont les quatre racines primitives douzièmes de
l’unité.
Racines primitives douzièmes de l’unité :
Sous-groupes associés
On calcule les puissances successives de la
racine.
Gr1 = {r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9 , r10 , r11 , 1}
Gr2 = {r2 , r4 , r6 , r8 , r10 , 1}
Gr3 = {r3 , r6 , r9 , 1}
Gr4 = {r4 , r8 , 1}
Gr5 = {r5 , r10 , r3 , r8 , r1 , r6 , r11 , r4 , r9 , r2 , r7 , 1}
Gr6 = {r6 , 1}
5
Gr7 = {r7 , r2 , r9 , r4 , r11 , r6 , r1 , r8 , r3 , r10 , r5 , 1}
Gr8 = {r8 , r4 , 1}
Gr9 = {r9 , r6 , r3 , 1}
Gr10 = {r10 , r8 , r6 , r4 , r2 , 1}
Gr11 = {r11 , r10 , r9 , r8 , r7 , r6 , r5 , r4 , r3 , r2 , r1 , 1}
Gr12 = {1}
On constate que le sous-groupe engendré par une racine primitive
douzième de l’unité est le groupe U12 .
Décomposition du polynôme x12 − 1 dans R[x].
On utilise des identités
remarquables connues :
x12 − 1 = (x6 − 1)(x6 + 1)
x6 −1 = (x3 −1)(x3 +1) = (x−1)(x2 +x+1)(x+1)(x2 −x+1)
x6 + 1 = (x2 + 1)(x4 − x2 + 1)
Pour décomposer x4 − x2 + 1, on utilise (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1,
et on écrit x4 − x2 + 1 = (x2 + 1)2 − 3x2 ,
et on obtient la décomposition
:
√
√
4
2
2
x − x + 1 = (x − 3x + 1)(x2 + 3x + 1). Finalement :
√
√
2
x −1 = (x−1)(x +x+1)(x+1)(x −x+1)(x +1)(x − 3x+1)(x + 3x+1)
12
2
2
2
2
et l’on voit que les racines primitives douzièmes de l’unité sont exactement les racines du polynôme :
4
2
2
Φ12 (x) = x − x + 1 = (x −
√
2
3x + 1)(x +
√
3x + 1)
Conjectures et démonstrations
On considère les racines nimes de l’unité, et
r = e , le sous-goupe Gr comporte exactement n éléments. Il suffit
de montrer que les rk pour k ≤ n sont tous distincts. En effet si nous
avons rk = rh avec k > h alors rk−h = 1. Or les entiers p tels que
Première conjecture :
2iπ
n
6
rp = 1 sont les entiers divisibles par n. Donc les éléments rk tels
que k ≤ n sont tous distincts. Cqfd.
Les entiers k tels que rk soit une racine primitive nimes de l’unité sont les entiers k premiers avec n.
Plus précisement, soit d le pgcd(k, n). On a n = dn0 et k = dk 0 .
2ik0 π
2ikπ
Alors rk = e n = e n0 . Alors le plus petit entier p tels que rkp = 1
est obtenu pour kp = ppcm(k, n) = kn0 . rk est donc une racine
n0 imes de l’unité.
Les racines primitives nimes de l’unité sont celles où le plus
petit entier p tel que rkp égale 1 est l’entier n. Cela signifie d = 1. Le
nombre de racines primitives nimes de l’unité est donc donné par le
nombre φ(n) d’entiers inférieurs à n et premiers avec n.
Deuxième conjecture
On a vu que le plus petit entier p tel que deux
éléments du sous-groupe Gr rk et rk+p soient égaux était obtenu
comme le plus petit entier tel que rkp = 1. Donc le sous-groupe
associé à une racine primitive comporte exactement n éléments.
Troisième conjecture :
Application aux racines 24imes de l’unité
Les entiers premiers avec 24 sont les entiers qui ne comprennent
ni 2 ni 3 dans leur décomposition en facteurs premiers.
Ce sont donc les entiers 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Donc φ(24) = 8 et il y a huit racines primitives 24imes de l’unité.
2iπ
Si r = e 24 , alors l’ensemble des racines primitives est l’ensemble :
{r, r5 , r7 , r11 , r13 , r17 , r19 , r23 }
On remarque que ces racines sont conjuguées deux à deux.
{r, r23 },
{r5 , r19 },
{r7 , r17 },
{r11 , r13 }
Comment décomposer x24 −1 ? On utilise des identités remarquables.
7
x24 − 1 = (x12 − 1)(x12 + 1) = (x12 − 1)(x4 + 1)(x8 − x4 + 1)
Les racines de x12 − 1 sont des racines 12imes de l’unité, et on sait
décomposer x12 − 1.
les racines de x4 + 1 sont des racines 8imes
de l’unité,√
et
√
4
2
2
2
2
2
x + 1 = (x + 1) − 2x = (x − 2x + 1)(x + 2x + 1)
donc les racines primitives 24imes de l’unité sont les racines du
polynôme Φ24 (x) = x8 − x4 + 1.
x8 − x4 + 1
√
x4 − 3x2 + 1
√
x4 − 3x2 + 1
√
x4 + 3x2 + 1
√
x4 + 3x2 + 1
√
√
= (x4 + 1)2 − 3x4 = (x4 − 3x2 + 1)(x4 + 3x2 + 1)
√
= (x2 + 1)2 − (2 + 3)x2
q
q
√
√
2
2
= (x − (2 + 3)x + 1)(x + (2 + 3)x + 1)
√
= (x2 + 1)2 − (2 − 3)x2
q
q
√
√
= (x2 − (2 − 3)x + 1)(x2 + (2 − 3)x + 1)
On a vu initialement dans les préliminaires que le polynôme irréductible associé à eiθ dans R[x] est P (x) = x2 − 2 cos θx + 1.
Les valeurs de cos θ sont donc, rangées par ordre décroissant :
q
√
(2 + 3)
q
√
(2 − 3)
q
√
− (2 − 3)
,
,
,
2
2
2
Elles correspondent respectivement à :
q
√
(2 + 3)
iπ
cos( ) =
12
q 2 √
(2 − 3)
5iπ
cos(
) =
12
q2 √
− (2 − 3)
7iπ
cos(
) =
12
q 2 √
− (2 + 3)
11iπ
cos(
) =
12
2
8
q
√
− (2 + 3)
2
.