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Algèbre linéaire Matrice de changement de base
Composantes et changement de base
Si B=−→ e1,
−→
e2,...,
−→
enest une base et −→ v∈V, alors −→ vs’écrit de manière
unique comme combinaison linéaire des éléments de B:
−→
v=v1−→ e1+v2−→ e2+· · · +vn−→ en
Définition
Les coefficients (v1,...,vn)sont appelés les composantes de −→ vdans la
base B. On notera généralement (v)Bla colonne formée de ces nombres :
(v)B=
v1
.
.
.
vn
.

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Algèbre linéaire Matrice de changement de base
Composantes et changement de base
Si B=−→ e1,
−→
e2,...,
−→
enet B0=n−→ e0
1,
−→
e0
2,...,
−→
e0
nosont des bases, on peut
écrire chaque élément de la seconde base B0comme combili des éléments
de la base B(puisque Best une base), c’est-à-dire qu’il existe des
constantes Mij avec :
−→
e0
1=M11−→
e1+M21−→ e2+· · · Mn1−→ en
.
.
.
−→
e0
n=M1n−→
e1+M2n−→ e2+· · · Mnn−→ en
On peut écrire les relations ci-dessus sous la forme condensée :
−→
e0
j=
n
X
i=1
Mij −→ ei.
Les nombres Mij (les composantes de la base B0dans la premiere base B)
peuvent se ranger dans une matrice, appelée la matrice de changement de
base de BàB0:
M=
M11 . . . M1n
.
.
.....
.
.
Mn1. . . Mnn

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Algèbre linéaire Matrice de changement de base
Composantes et changement de base
Considérons maintenant trois bases : B,B0et B”. Notons Mla matrice de
changement de la base BàB0, notons M0celle passant de B0àB”, et notons
enfin M”la matrice passant de BàB”.
On a : −→
e0
j=
n
X
i=1
Mij −→ eiet −→ e00
j=
n
X
i=1
M0
ij
−→
e0
iet −→
e00
j=
n
X
i=1
M00
ij −→
ei
donc nous pouvons exprimer les composantes des éléments de B00 dans la toute
première base B:
−→
e00
j=
n
X
k=1
M00
kj −→
ek=
n
X
i=1
M0
ij
−→
e0
i=
n
X
i=1
M0
ij
n
X
k=1
Mki −→ ek=
n
X
k=1 n
X
i=1
Mki M0
ij !−→
ek.
On en déduit donc :
M00
kj = n
X
i=1
Mki M0
ij !.
ce qui apparait comme un produit matriciel.On peut donc écrire matriciellement :
Résultat
M” = MM0.

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Algèbre linéaire Matrice de changement de base
Composantes et changement de base
Considérons maintenant le cas particulier où B=B00 (la troisième base est
en fait la première), alors M00 a une forme particulière. En effet l’équation
−→
e00
j=
n
X
i=1
M00
ij −→
ei.
se ré-écrit
−→
ej=
n
X
i=1
M00
ij −→
ei.
(puisqu’en fait −→ e00
j=−→
ej). Il faut donc M00
jj =1 et M00 ij =0 lorsque i6=j
(car −→ ejne peut pas s’écrire comme combili des autres −→ ei). Une telle
matrice n’est autre que la matrice identité. Or cette matrice vaut aussi le
produit MM0. On peut en fait prouver le résultat suivant :
Corollaire
Une matrice de changement de base est inversible.

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Algèbre linéaire Matrice de changement de base
Composantes et changement de base
Démonstration.
Nous avons montré que lorsque B=B00 , la matrice de changement de base M00
est égale à la matrice identité, or, MM0=M00 , donc MM0=Id, ce qui prouve
que M0est l’inverse de M, donc que Mest inversible.
Nous avons le résultat suivant qui vient préciser le corollaire précédent :
Théorème
Soit B = (−→ e1,...,
−→
en)une base, et soit B0= (−→ f1,...,
−→
fn)un n-uple de
vecteurs. Soit M la matrice dont les coefficients sont les composantes des
éléments de B0dans la base B :
−→
fj=
n
X
i=1
Mij −→ ei.
Alors B0est une base si et seulement si M est inversible.